海伦市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

海伦市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在区间上恒正，则的取值范围为（
）
()(
)2
2f x a
x a =-+[]0,1
A ．
B ．
C ．
D ．以上都不对
0a >0a <<
02a <<2． 已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=
（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
3． 函数 y=x 2﹣4x+1，x ∈[2，5]的值域是（ ）
A ．[1，6]
B ．[﹣3，1]
C ．[﹣3，6]
D ．[﹣3，+∞）
4． 若f （x ）=sin （2x+θ），则“f （x ）的图象关于x=对称”是“θ=﹣
”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件5． 使得（3x 2+）n （n ∈N +）的展开式中含有常数项的最小的n=（ ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．10
6． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（
）
A ．M ∪N
B ．M ∩N
C ．∁I M ∪∁I N
D ．∁I M ∩∁I N
7． 边长为2的正方形ABCD 的定点都在同一球面上，球心到平面ABCD 的距离为1，则此球的表面积为（
）A ．3π
B ．5π
C ．12π
D ．20π
8． 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（
）
A ．2
B ．
C ．﹣1
D ．以上都不正确
9． 函数f （x ）=xsinx 的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a ，则不等式ln （3a ﹣1）＜0成立的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知点是双曲线C ：左支上一点，，是双曲线的左、右两个焦点，且
P 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>1F 2F ，与两条渐近线相交于，两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率
12PF PF ⊥2PF M N N 2PF 是（ ）
A.
B.2
D.5
2
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.12．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．（0，+∞）
B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1）
二、填空题
13．S n =
+
+…+
= ．
14．设函数f （x ）=
，则f （f （﹣2））的值为 ．
15．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．
16．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．
17．的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）8
1(x x
-【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.
18．若数列满足，则数列的通项公式为
.
{}n a 2
12332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅{}n a 三、解答题
19．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n （单位：台，n ∈N ）的函数解析式f （n ）；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n （单位：台），整理得表：
周需求量n
1819202122频数
1
2
3
3
1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X 表示当周的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望．
20．已知等差数列{a n }中，其前n 项和S n =n 2+c （其中c 为常数），（1）求{a n }的通项公式；
（2）设b 1=1，{a n +b n }是公比为a 2等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．
21．已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）+f（x+1）≤2
（2）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（2a）
22．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
23．已知函数f （x ）=log 2（m+）（m ∈R ，且m ＞0）．
（1）求函数f （x ）的定义域；
（2）若函数f （x ）在（4，+∞）上单调递增，求m 的取值范围．
24．（本小题满分12分）
已知平面向量，，.
(1,)a x = (23,)b x x =+-
()x R ∈（1）若，求；
//a b ||a b -
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
海伦市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数在区间上恒正，则
()(
)2
2f x a
x a =-+[]0,1，即，解得，故选C.(0)0
(1)0f f >⎧⎨>⎩2
020
a a a >⎧⎨-+>⎩02a <<考点：函数的单调性的应用.2． 【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log 23＜4，所以f （2+log 23）=f （3+log 23）且3+log 23＞4
∴f （2+log 23）=f （3+log 23）
=
故选A ．　
3． 【答案】C
【解析】解：y=x 2﹣4x+1=（x ﹣2）2﹣3∴当x=2时，函数取最小值﹣3当x=5时，函数取最大值6
∴函数 y=x 2﹣4x+1，x ∈[2，5]的值域是[﹣3，6]故选C
【点评】本题考查了二次函数最值的求法，即配方法，解题时要分清函数开口方向，辨别对称轴与区间的位置关系，仔细作答　
4． 【答案】B
【解析】解：若f （x ）的图象关于x=对称，
则2×
+θ=
+k π，
解得θ=﹣+k π，k ∈Z ，此时θ=﹣
不一定成立，
反之成立，
即“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．
5．【答案】B
【解析】解：（3x2+）n（n∈N+）的展开式的通项公式为T r+1=•（3x2）n﹣r•2r•x﹣3r=•x2n﹣5r ，
令2n﹣5r=0，则有n=，
故展开式中含有常数项的最小的n为5，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．　
6．【答案】D
【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，
∴M∪N={1，2，3，6，7，8}，
M∩N={3}；
∁I M∪∁I N={1，2，4，5，6，7，8}；
∁I M∩∁I N={2，7，8}，
故选：D．
7．【答案】C
【解析】解：∵正方形的边长为2，
∴正方形的对角线长为=2，
∵球心到平面ABCD的距离为1，
∴球的半径R==，
则此球的表面积为S=4πR2=12π．
故选：C．
【点评】此题考查了球的体积和表面积，求出球的半径是解本题的关键．
8．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序，可得
a=2，n=1
执行循环体，a=，n=3
满足条件n≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5
满足条件n≤2016，执行循环体，a=2，n=7
满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=9
…
由于2015=3×671+2，可得：
n=2015，满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=2017
不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为．
故选：B．
9．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=xsinx满足f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），函数的偶函数，排除B、C，
因为x∈（π，2π）时，sinx＜0，此时f（x）＜0，所以排除D，
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．
10．【答案】C
【解析】解：由ln（3a﹣1）＜0得＜a＜，
则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是P=，
故选：C．
11．【答案】A.
【解析】
12．【答案】D
【解析】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0＜k＜1
故选D．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：∵==（﹣），
∴S n=++…+
=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）
=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
14．【答案】　﹣4　．
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣2）=4﹣2=，
f（f（﹣2））=f（）==﹣4．
故答案为：﹣4．
15．【答案】 ．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．　
16．【答案】0
【解析】
【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值．
【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，∴A 1（1，0，2），E （0，0，1），G （0，2，1），F （1，1，0），
=（﹣1，0，﹣1），
=（1，﹣1，﹣1），
=﹣1+0+1=0，
∴A 1E ⊥GF ，
∴异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值为0．故答案为：0
．
17．【答案】70
【解析】的展开式通项为，所以当时，常数项为
81
(x x -8821881((1)r r
r r r r r T C x C x x
--+=-=-4r =.
448(1)70C -=18．【答案】
6,12,2,n n a n n n n *
=⎧⎪
=+⎨≥∈⎪⎩N 【解析】【解析】()()
12312n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；
11:6n a ==
()()
()
123112312:12 1n n n n a a a a a n n a a a a n n --≥⋅=++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅故2
2:n n n a n
+≥=三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I ）当n ≥20时，f （n ）=500×20+200×（n ﹣20）=200n+6000，
当n ≤19时，f （n ）=500×n ﹣100×（20﹣n ）=600n ﹣2000，∴．
（ II ）由（1）得f （18）=8800，f （19）=9400，f （20）=10000，f （21）=10200，f （22）=10400，∴P （X=8800）=0.1，P （X=9400）=0.2，P （X=10000）=0.3，P （X=10200）=0.3，P （X=10400）=0.1，X 的分布列为
X 880094001000010200
10400P 0.10.20.30.3
0.1
∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．
20．【答案】
【解析】解：（1）a 1=S 1=1+c ，a 2=S 2﹣S 1=3，a 3=S 3﹣S 2=5﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
因为等差数列{a n }，所以2a 2=a 1+a 3得c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
∴a 1=1，d=2，a n =2n ﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）a 2=3，a 1+b 1=2∴
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法，考查学生的运算求解能力，属中档题．
21．【答案】
【解析】（1）解：不等式f （x ）+f （x+1）≤2，即|x ﹣1|+|x ﹣2|≤2．
|x ﹣1|+|x ﹣2|表示数轴上的点x 到1、2对应点的距离之和，
而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2，
∴不等式的解集为[0.5，2.5]．
（2）证明：∵a ＜0，f （ax ）﹣af （x ）=|ax ﹣2|﹣a|x ﹣2|=|ax ﹣2|+|2﹣ax|
≥|ax ﹣2+2a ﹣ax|=|2a ﹣2|=f （2a ﹣2），
∴f（ax）﹣af（x）≥f（2a）成立．
22．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，
∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE
解：（Ⅱ）
方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．
所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴
由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，
所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz ．
设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F（0，4，0）．从而，
设平面AEF的法向量为，由得，，取x=1，
则，即，
不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I ）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II ）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．　
23．【答案】
【解析】解：（1）由m+
＞0，（x ﹣1）（mx ﹣1）＞0，
∵m ＞0，
∴（x ﹣1）（x ﹣）＞0，若＞1，即0＜m ＜1时，x ∈（﹣∞，1）∪（，+∞）；若=1，即m=1时，x ∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；若＜1，即m ＞1时，x ∈（﹣∞，）∪（1，+∞）．
（2）若函数f （x ）在（4，+∞）上单调递增，则函数g （x ）=m+
在（4，+∞）上单调递增且恒正．所以
，解得：．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及单调性，不等关系，是函数与不等式的简单综合应用，难度中档．　
24．【答案】（1）2或2）．
(1,0)(0,3)
【解析】
试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量的夹角为锐角的充要条件是且不共线，由此可得范围．,a b 0a b ⋅> ,a b 试题解析：（1）由，得或，//a b 0x =2x =-当时，，，0x =(2,0)a b -=- ||2a b -=
当时，，.2x =-(2,4)a b -=- ||a b -= （2）与夹角为锐角，，，，0a b ∙> 2230x x -++>13x -<<又因为时，，
0x =//a b 所以的取值范围是.
(1,0)(0,3)- 考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．【名师点睛】由向量的数量积可得向量的夹角公式，当为锐角时，，但当cos a b a b θ⋅= cos 0θ>cos 0
θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是且不同0a b a b
⋅> ,a b 向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是且不反向．0a b a b
⋅< ,a b。