北京市海淀区2009届高三上学期期末考试(数学文)

北京市海淀区
2008—2009学年度高三第一学期期末练习
数学试题（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。

1．若角α的终边经过点P （1，-2），则αtan 的值为 （ ）
A ．2
1
-
B ．
2
1 C ．-
2 D ．2
2．已知向量b a b a 与则向量与向量),3,1()0,1(-==的夹角是 （ ）
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
3
2π D ．6
5π 3．和直线x y x 关于0543=+-轴对称的直线方程为
（ ）
A ．0543=++y x
B ．0543=-+y x
C ．0543=-+-y x
D ．0543=++-y x
4．若抛物线y x C 4:2
=上一点P 到定点A （0，1）的距离为2，则点P 到x 轴的距离为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
5．βα,,,是不同的直线n m 是不重合的平面，下列命题是真命题的是 （ ）
A ．若αα//,//,//n n m m 则
B ．若m n n m ⊥⊥⊥则,,βα
C ．若βαβα⊥⊥则,//,m m
D ．若βαβα⊥⊂⊥m m 则,,
6．函数3)2(log log 22+-==x y a x y 平移后可以得到函数的图像按向量的图象，则
（ ）
A ．)3,2(=a
B ．)3,2(-=a
C ．)3,2(-=a
D ．)3,2(--=a
7．5个人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数
是 （ ）
A ．54
B ．45
C ．5×4×3×2
D ．
!
42
345⨯⨯⨯
8．如果直线202
2
=+=++y x m y x 与图交于相异两点A 、B ，O 是坐标原点。

m 那么实数|,|||->+的以值范围是
（ ）
A ．)2,2(-
B ．)2,2(
C ．)2,2()2,2(⋃--
D ．（-2，2）
二、填空题：本大题共6小题，每小 题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9．若实数y x z y y x x y y x +=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+-≥2151
2,且满足的最大值是 。

10．已知正四棱锥的底面边长是4㎝，侧棱长是32㎝，则此正四棱锥的高为 ㎝。

11．已知=-=)cos(,3
1
2tan
απα
则 。

12．已知正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 的内切球的体积为
3
4π
，则这个正方体的边长为 ，这个正方体的外接球的表面积为 。

13
．
在
,
,,,,,c b a C B A ABC 所对的边分别为角中∆且
满
足
C B A c b a s i n 2s
i n s
i n ,12=++=++，则=c ；若,3
π=
C 则ABC
∆的面积为S= 。

14．若}{n a 是等差数列，公差为n n S n a R d a d d 项和记为的前且}{,,,01∈≠，设集合
},,|),{(},,,14|),{(*22
N n n
S y a x y x Q R y x y x y x P n n ∈===∈=-=
给出下列命题：
①集合Q 表示的图形是一条直线 ②φ=⋂Q P
③Q P ⋂只有一个元素 ④Q P ⋂可以有两个元素
⑤Q P ⋂至多有一个元素
其中正确的命题序号是 。

（注：把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题共12分）
已知函数).1cos 2(3cos sin 2)(2
-+=x x x x f
（I ）将函数)2
||,0)(sin()(π
ϕωϕω<
>+x A x f 化为的形式，填写下表，并画出函数
)(x f 在区间⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-ππ65,61上的图象；
（II ）求函数)(x f 的单调减区间。

16．（本小题共14分）
直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，.3,3,1,,1==
=⊥A A AC CB AB D CB AC 中点为
（I ）求证：BC 1//平面A 1CD ；
（II ）求二面角A —A 1C —D 的大小。

17．（本小题共14分）
已知点A （-3，0），B （3，0），动点P 满足.||2||PB PA =
（I ）若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；
（II ）若点Q 在直线2,03:l y x l 直线上=++经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，
求||QM 的最小值，并求此时直线2l 的方程。

18．（本小题共14分） 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间有关，每台这种家用电器若无
故障使用时间不超过一年，则销售利润为0元，若无故障使用时间超过一年不超过三年，则销售利润为100元；若无故障使用时间超过三年，则销售利润为200元。

已知每台该种电器的无故障使用时间不超过一年的概率为,5
1
无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为.5
2
（I ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的概率； （II ）求销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的概率；
19．（本小题共14分）
已知椭圆),0(122
22>>=+b a b
y a x A 1、A 2、B 是椭圆的顶点（如图），直线l 与椭圆交于
异于椭圆顶点的P 、Q 两点，且l //A 2B 。

若此椭圆的离心率为
5|B A |,2
3
2=且 （I ）求此椭圆的方程；
（II ）设直线A 1P 和直线BQ 的倾斜角分别为βαβα+试判断,,是否为定值？若是，求
出此定值；若不是，请说明理由。

20．（本小题共13分）
已知数列 ,3,2,1,2,0,,0,}{111=+=>+⋅==+-n a b q q q a a a a n
n n n n n n 中
（I ）求证数列}{
n
n
q a 是等差数列； （II ）试比较2
231b b b 与的大小；
（III ）求正整数k ，使得对于任意的正整数1
1,++≤n n k k b b
b b n 恒成立。

参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1—5CCABC 6—8ADC
二、二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2
分，共30分） 9．7 10．2 11．5
4-
12．π12,2 13．12
3
,
1 14．⑤ 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共12分） 解：（I ）)1cos 2(3cos sin 2)(2
-+=x x x x f
x x 2cos 32sin +=
………2分（化对一个给一分）
)2sin(2π
+
=x …………3分分
…………6分
（x 的值对两个给一分 ，全对给2分，不出现0.5分，)(x f 的值全对给1分）
图象略。

（图象完全正确给分）…………8分
（II ）由)(2
323
22
2Z k k x k ∈+
≤+
≤+π
ππ
π
π…………9分 得)(12
712Z k k x k ∈+≤≤+π
πππ
单调减区间为)](12
7,12[Z k k k ∈++π
πππ…………12分
注：))(12
7,12(Z k k k ∈++ππππ也可以 16．（本小题共14分）
（I ）证明：连结AC 1，设E C A AC =⋂11连结DE ，…………1分
A 1
B 1
C 1—ABC 是直三棱柱，且31==AA AC
∴AA 1CC 1是正方形，E 是AC 1的中点，
又D 为AB 中点，
∴ ED//BC 1…………3分
又CD A BC CD A ED 111,面平面⊄⊂
∴BC 1//平面A 1CD …………5分 （II ）法一：设H 是AC 中点，F 是EC 中点，连接DH ，HF ，FD …………6分
D 为AB 中点， ∴ DH//BC ，同理可证HF//A
E ，
又AC DH BC AC ⊥⊥故, 又侧棱ABC AA 平面⊥1
DH AA ⊥∴1
C C AA DH 11平面⊥∴…………8分
由（I ）得AA 1C 1C 是正方形，则AE C A ⊥1
HF C A ⊥∴1
DF HF 是 在平面AA 1C 1C 上的射影， C A DF 1⊥∴
DFH ∠∴是二面角A —A 1C —D 的平面角…………10分
又4
642,211====
AC AE HF DH ……12分
.36
4
6
21
tan ,===∴HF DH DFH DFH 中在直角三角形…………13分
3
6a r c t a n 1的大小为二面角D C A A --∴…………14分 法二：在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，
∴⊥,CB AC 分别以CA ，CB ，CC 1所在的直线为轴轴轴z y x ,,建立空间直角坐标系，
,3,1,1===-AC AA BC xyz C 因为
则).0,2
1
,23(
),0,1,0(),3,0,3(),0,0,3(),0,0,0(1D B A A O ……7分
设平面A 1DC 的法向量为),,,(z y x n =则
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅.
0,
01CA n n …………8分
),3,0,3(),0,2
1
,23(
1==CA
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+∴.033,02
1
23z x y x
则,3⎩
⎨
⎧-=-=x z x
y …………9分 取)1,3,1(,11--==n DC A x 的一个法向量为得平面……10分
)0,1,0(==CB m 为平面CAA 1C 1的一个法向量…………11分
5
15
513||||,cos -
=⨯-=⋅>=
<n m n m n m …………12分
由图可知，二面角A —A 1C —D 的大小为5
15
arccos
…………14分 17．（本小题共14分） 解：（I ）设点P 的坐标为),(y x …………1分 则,)3(2)3(2
222y x y x +-=++…………3分
化简可得16)5(2
2
=+-y x 即为所求…………5分
（II ）曲线C 是以点（5，0）为圆心，4为半径的圆，如图 则直线2l 是此圆的切线，连接CQ ，
则16||||||||2
2
2
-=-=CQ CM CQ QM …………7分 当||,1CQ l CQ 时⊥取最小值…………8分
242
|35|||=+=
CQ …………10分（公式，结果各一分）
此时|QM|的最小值为.41632=-…………12分
这样的直线2l 有两条，设满足条件的两个公共点为M 1，M 2， 易证四边形M 1CM 2Q 是正方形
.412-==∴y x l 或的方程是的…………14分
18．（本小题共13分） 解：（I ）无故障使用时间不超过一年的概率为,51
无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为,5
2
无故障使用时间超过三年的概率为,5
2
…………1分
设销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的事件为A …………2分
.25
4
5252)(=⨯=
A P …………7分
答：销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的概率为
.25
4 （II ）设销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的事件为B …………8分 5
2
52516525252)(⨯⨯⨯+⨯⨯=B P …………12分（两类情况，每类2分） 125
32
=
…………13分
答：销售三台这种家电器的销售利润总和为300元的概率为
.125
32 19．（本小题共14分） 解：（I ）由已知可得
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=
523
22b a a
c …………2分
所以.1,2==b a …………3分
椭圆方程为14
22
=+y x …………4分 （II ）πβα是定值+ 由（I ），A 2（2，0），B （0，1），且l //A 2B 所以直线l 的斜率,2
1
2-==B A k k …………6分
设直线l 的方程为),(),,(,2
1
2211y x Q y x P m x y +-
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-==+m x y y x 214
22
…………7分 022222=-+-m mx x
.048)22(44222≥-=--=∆∴m m m
即22≤
≤-m …………8分
⎩⎨⎧-==+2
222
2121m x x m
x x …………9分 2
,2
,π
βπ
α≠
≠
∴两点不是椭圆的顶点Q P
2
11
tan ,2tan 2
11x y k x y k BQ P A -==+=
=∴βα…………10分 又因为m x y m x y +-=+-
=22112
1
,21
2
2111
2tan tan x y x y -++=
+βα
2
1122112212112)2(2
2)2()1)(2(x x x y y x y x x x y x y x +--++=+-++=
2
1122112)2(2
)21
(2)21()21(x x x m x m x x m x x ---+-++-++-=
0)2(2
2)22(2)1()2(22))(1(2
12212121=+-+---=+-+-+-x x m m m m x x m x x x x m
0tan tan 1tan tan )tan(=-+=
+β
αβ
αβα
又),0(,πβα∈
)2,0(πβα∈+∴
πβα=+∴是定值。

…………14分
20．（本小题13分）
解：（I ）)0(11>+⋅=++q q q a a n n n ,11111+=+⋅=∴++++n n n n n n n q
a q q q a q a 又,01=q
a 即数列}{
n n q a 是以0为首项，1为公差的等差数列…………3分 且),3,2,1(,)1(,1 =-=-=n q n a n q
a n n n n （II ）n n n n n q n a
b 2)1(2+-=+=…………4分
82,4,233221+=+==∴q b q b b …………5分
164)168()82(2)4(3243222122--++=+-+=-∴q q q q q b b b
0]4)2[()84(842222234>+-=+-=+-=q q q q q q q q 2122b b b >∴…………8分
（III ）0,,3,2,1,2)1(>∴=+-=n n n n b n q n b
1112212,4,2++++=+==n n n nq b q b b .1
2112211+++-=-n n n n n b b b b b b b b b b
又)2(2]2)1)[(4(112112++++-+-+=-n n n n n n nq q n q b b b b
n q q nq n q n 2]2)1)(4[(22⋅+--+=…………9分 ①当,0,1112=-=+n n b b b b n 时即
.121+=n n b b b b
②当q q q q n 4224,0,22=⋅⋅≥+>≥ 时
0)2(22)1(42)1)(4(2≥-=--≥--+∴q n nq q n nq n q 又022>⋅n
q
0112>-∴+n n b b b b
由①②得01
2112211≥-=-+-+n n n n n b b b b b b b b b b ， 即对于任意的正整数121,+≤n n b b b b n 恒成立。

故所求的正整数.1=k …………13分
说明：其他正确解法按相应步骤给分。