18年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十七大题冲关——概率与统计的综合问题试题理

重组十七 大题冲关——概率与统计的综合问题
测试时间：120分钟
满分：150分
解答题(本题共10小题，每小题15分，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤)
1．[2016·湖南重点中学模拟] 在一次全国高中五省大联考中，有90万名学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N (μ，σ2
)．右表用茎叶图列举了20名学生的英语成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9.
(1)求μ，σ；
(2)给出正态分布的数据：P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.9544.
①若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率； ②若从这90万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数，求X 的数学期望．
解 (1)通过计算可得这20个数据的平均数为x －
＝90， ∴由题可得μ＝90－0.9＝89.1，σ＝49.9－0.9＝7.(5分) (2)①∵μ＝89.1，σ＝7，∴(82.1,103.1)＝(μ－σ，μ＋2σ)， ∴该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为0.6826＋0.9544
2＝0.8185.(10分)
②由题可得X 服从二项分布B (10000,0.8185)， ∴E (X )＝10000×0.8185＝8185.(15分)
2．[2016·江西两校联考] 前不久，社科院发布了2015年度“全国城市居民幸福排行榜”，北京市成为本年度最“幸福城”，随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位数字为叶)．
(1)指出这组数据的众数和中位数；
(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
解 (1)众数：8.6；中位数：8.75.(2分)
(2)设A i (i ＝0,1,2,3)表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，
则P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 3
12C 316＋C 14C 2
12C 316＝121
140.(8分)
(3)解法一：ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
343＝2764
；P (ξ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭
⎪⎫34
2
＝2764
； P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭
⎪⎫142×34＝
964
；P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫14
3
＝164
. ξ的分布列为：
(13分)
所以E (ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×1
64＝0.75.(15分)
解法二：ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
则ξ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，14，
P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
343－k
，k ＝0,1,2,3.(13分) 所以E (ξ)＝3×1
4
＝0.75.(15分)
3．[2017·河南开封月考]随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表：
性别与读营养说明列联表
(1)根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？
(2)从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．
(注：K 2
＝
n ad －bc 2a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．)
解 (1)根据性别与读营养说明列联表，计算随机变量K 2
的观测值得：
K 2
＝
－
2
24×16×20×20
≈6.67>6.635，
因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关．(5分) (2)ξ的取值为0,1,2.
P (ξ＝0)＝C 2
12C 216＝1120，P (ξ＝1)＝C 1
12×C 1
4C 216＝25，P (ξ＝2)＝C 2
4C 216＝1
20.
ξ的分布列为
ξ的均值为
E (ξ)＝0×1120
＋1×25
＋2×120＝12
.(15分)
4．[2016·全国卷Ⅱ]某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
解 (1)设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(3分)
(2)设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.10＋0.05＝0.15.(5分)
又P (AB )＝P (B )，故
P (B |A )＝P AB P A ＝P B P A ＝0.150.55＝311
，
因此所求概率为3
11
.(8分)
(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为
(12分)
E (X )＝0.85a ×0.30＋a ×0.15＋1.25a ×0.20＋1.5a ×0.20＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝
1.23a .
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(15分)
5．[2017·天津南开中学月考]某大型汽车城为了了解销售单价(单位：万元)在[8,20]内的轿车的销售情况，从2016年上半年已经销售的轿车中随机抽取100辆，获得的所有样本数据按照[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
已知样本中销售单价在[14,16)内的轿车数是销售单价在[18,20]内的轿车数的2倍． (1)求出x 与y ，再根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆，求至少有1辆轿车的销售单价在[14,16)内的概率；
(3)用分层抽样的方法从销售单价在[8,20]内的轿车中共抽取20辆，再从抽出的20辆轿车中随机抽取2辆，X 表示这2辆轿车中销售单价在[10,12)内的轿车的数量，求X 的分布列及数学期望E (X )．
解 (1)样本中轿车的销售单价在[14,16)内的轿车数是x ×2×100＝200x ，样本中轿车的销售单价在[18,20]内的轿车数是y ×2×100＝200y ，
依题意，有200x ＝2×200y ，即x ＝2y ，①(2分)
根据频率分布直方图可知(0.1×2＋0.025＋x ＋0.05＋y )×2＝1，②(3分) 由①②得x ＝0.15，y ＝0.075.(4分)
根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数为8＋102×0.025×2＋
10＋122×0.05×2＋
12＋142×0.1×2＋14＋162×0.15×2＋16＋182×0.1×2＋18＋20
2
×0.075×2＝0.45＋1.1＋2.6＋4.5＋3.4＋2.85＝14.9(万元)．(6分)
(2)若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆，则至少有1辆轿车的销售单价在[14,16)内的概率为1－C 0
3(0.3)0
×(0.7)3
＝1－0.343＝0.657.(8分)
(3)因为销售单价在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]的轿车的分层抽样比为1∶2∶4∶6∶4∶3，故在抽取的20辆轿车中，销售单价在[10,12)内的轿车有20×2
20
＝2(辆)，
X 的所有可能取值为0,1,2，
则P (X ＝0)＝C 02C 2
18C 220＝153
190，
P (X ＝1)＝C 12C 1
18C 220＝36190＝18
95，
P (X ＝2)＝C 22C 220＝1
190.(12分)
所以X 的分布列为
E (X )＝0×
153190＋1×1895＋2×190＝5
.(15分) 6．[2016·北京高考]A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
(1)试估计C 班的学生人数；
(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
(3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明)
解 (1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为100×
8
20
＝40.(3分) (2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1,2，...，5，事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1,2， (8)
由题意可知，P (A i )＝15，i ＝1,2，…，5；P (C j )＝1
8
，j ＝1,2，…，8.(5分)
P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140
，i ＝1,2，…，5，j ＝1,2，…，8.(7分)
设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，
E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4.(9分)
因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋
P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38
.(12分)
(3)μ1<μ0.(15分)
7．[2017·衡水中学模拟]某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：
且X 1的数字期望E (X 1)＝6，求a ，b 的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3
4 6 3 4 7
5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5
6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②“性价比”大的产品更具可购买性．
解 (1)∵E (X 1)＝6，∴5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2，(2分) 又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5，(4分)
由⎩⎪⎨⎪⎧
6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝0.3，
b ＝0.2.
(5分)
(2)由已知得，样本的频率分布表如下：
(7分)
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：
(9分)
∴E (X 2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(11分)
(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为6
6＝1，∵乙厂
产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为4.8
4＝1.2，据此，乙厂的产
品更具可购买性．(15分)
8．[2016·北京东城区质检]现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打(混双)比赛(注：每名选手打且只打一场比赛)．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如图表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．
(1)求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；
(2)设随机变量X 表示第三场比赛开始时需要等待的时间，求X 的数学期望； (3)若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序(写出结论即可)．
解 (1)三场比赛共有A 3
3＝6种方式，其中按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为1
6
.(4分)
(2)令A 表示女单比赛、B 表示男单比赛、C 表示混双比赛．
按ABC 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是t 1＝20＋25＝45(分钟)． 按ACB 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是t 2＝20＋35＝55(分钟)． 按BAC 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是t 3＝20＋25＝45(分钟)． 按BCA 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是t 4＝35＋25＝60(分钟)． 按CAB 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是t 5＝35＋20＝55(分钟)． 按CBA 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是t 6＝35＋25＝60(分钟)． 且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为1
6
.
(10分)
所以平均等待时间为
E (X )＝
45＋45＋55＋55＋60＋606＝160
3
.(13分)
(3)按照混双、女单、男单的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少．(15分) 9．[2016·全国卷Ⅰ]某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而(2分)
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.(6分)
所以X的分布列为
(7分)
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(10分)
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200
＋3×500)×0.04＝4040.(12分)
当n ＝20时，
E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.(14
分)
可知当n ＝19时所需费用的期望值小于当n ＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.(15分)
10．[2016·黄冈质检]噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解强度D (单位：分贝)与声音能量I (单位：W/cm 2
)之间的关系，将测量得到的声音强度
D i 和声音能量I i (i ＝1,2，…，10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中W i ＝lg I i ，W ＝1
10∑i ＝1
10W i .
(1)根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程D ＝a ＋b lg I ；
(2)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I 1和I 2，且1I 1＋1I 2
＝1010
.已知点P 的声音能量等于
声音能量I 1与I 2之和．请根据(1)中的回归方程，判断P 点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．
附：对于一组数据(μ1，v 1)，(μ2，v 2)，……，(μn ，v n )，其回归直线v ＝α＋βμ的
11 斜率和截距的最小二乘估计分别为：
β^＝∑i ＝1
n u i －u
v i －
v ∑i ＝1
n u i －u 2，α^＝v －β^u .
解 (1)令W i ＝lg I i ，先建立D 关于I 的线性回归方程，由于b ^＝∑i ＝110 W i －W D i －
D ∑i ＝110
W i －W －2
＝5.10.51
＝10，(3分) ∴a ^＝D －b ^W ＝160.7，
∴D 关于W 的线性回归方程是D ^
＝10W ＋160.7，
即D 关于I 的回归方程是：D ^
＝10lg I ＋160.7.(7分)
(2)点P 的声音能量I ＝I 1＋I 2，∵1I 1＋4I 2
＝1010， ∴I ＝I 1＋I 2＝10
－10⎝ ⎛⎭⎪⎫1I 1＋4I 2(I 1＋I 2) ＝10－10⎝ ⎛⎭
⎪⎫5＋I 2I 1＋4I 1I 2≥9×10－10，(10分) 根据(1)中的回归方程，点P 的声音强度D 的预报值： D ^
＝10lg (9×10－10)＋160.7＝10lg 9＋60.7>60， ∴点P 会受到噪声污染的干扰．(15分)。