新人教版九年级上册《第24章 圆》2020年单元测试卷(1)-普通用卷

新人教版九年级上册《第24章圆》2020年单元测试卷（1）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列说法中，不正确的是()
A. 直径是最长的弦
B. 同圆中，所有的半径都相等
C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D. 长度相等的弧是等弧
2.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，
其中，B点坐标为(4,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐
标为()
A. (2,1)
B. (2,2)
C. (2,0)
D. (2,−1)
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，以C为圆心，以5cm为半径
作圆，则此圆和斜边AB的位置关系是()
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 相交或相切
4.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，DB⏜=CD⏜，OD//AC，
下列结论错误的是()
A. ∠C=∠D
B. ∠BOD=∠COD
C. ∠BAD=∠CAD
D. ∠BOD=∠BAC
5.已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P(点E，F在点P
的两旁)，下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是()
A. OP=5
B. OE=OF
C. O到直线EF的距离是4
D. OP⊥EF
6.如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是BE⏜上的三等分点，
∠AOE=60°，则∠COE是()
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 120°
7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2√2，则AB⏜的长是()
A. π
π
B. 3
2
C. 2π
1
8.用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是
()
A. 10
B. 20
C. 10π
D. 20π
9.如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，
则S
阴影
S
空白
=()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=√2，
把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对
应点C、D之间的距离为()
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设______．
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，若以点C为圆心，AC为半径作圆，
则AB边的中点E与⊙C的位置关系为______．
13.如果圆的直径为13cm，直线和圆心的距离为6.5cm，那么直线和圆有______个公
共点．
14.如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C为切点，A
是⊙O上的任意一点，若∠A=70°，则∠E=______．
15.O是△ABC的内心，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是______．
16.已知圆锥的底面半径为20，侧面积为600π，则这个圆锥的母线长为______．
17.如图，已知PA，PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于
E，PO=13，AO=5，则△PCD周长为______．
18.如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD=90°，AB=
AD，点E在CD的延长线上，且DE=BC，连结AE，
若AE=4，则四边形ABCD的面积为______．
三、解答题（本大题共7小题，共46.0分）
19.如图，在⊙O中，∠AOB=100°，AC=AB，求∠CAB的度数．
20.一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法
测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道
边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个
孔道的直径AB．
21.如图，AB是⊙O的直径，C为AB⏜的中点，延长AC到点D，使
CD=AC，连结BD．
(1)求∠A的度数；
(2)求证：BD与⊙O相切．
22.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长
线于点D，且∠D=4∠A．
(1)求∠D的度数；
(2)若CD=2，求BD的长．
23.已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边
形的外接圆半径R、边心距r6、面积S6．
24.如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF
交于点E，AD=8，BH=2．
(1)求⊙O的半径；
(2)若∠EAB=∠EBA，求证：BF=2AH．
25.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC=BC，
直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
(1)求证：CD=CE；
(2)若AC=2，∠E=30°，求阴影部分(弓形)面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、长度相等的弧是等弧，说法错误；
故选：D．
根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
此题主要考查了圆的认识，关键是掌握能重合的弧叫等弧．
2.【答案】C
【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必
过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是(2,0)．
故选：C．
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以
作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，
能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．
3.【答案】A
【解析】解：∵由勾股定理得AB=10cm，
再根据三角形的面积公式得，6×8=10×斜边上的高，
cm，
∴斜边上的高=24
5
∵5>24
，
5
∴⊙C与AB相交．
故选：A．
根据题意可求得直角三角形斜边上的高，再根据直线和圆的位置关系，判断圆心到直线AB的距离与5cm的大小关系，从而确定⊙C与AB的位置关系．
本题考查了直线和圆的位置关系，解决的根据是直线和圆相离⇔圆心到直线的距离大于圆的半径．
4.【答案】A
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD//AC，DB⏜=CD⏜，
∴∠BOD=∠COD，∠BAD=∠CAD，故B、C正确；
∠BOC，∠BOD=∠COD，
∵∠BAC=1
2
∴∠BOD=∠BAC，故D正确．
故选：A．
根据平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系以及圆周角的定理进行做题．
本题考查的是圆周角定理及平行线的性质，能利用排除法求解是解答此题的关键．
【解析】解：
∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故选：D．
根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°−∠AOE=120°，
∴BE⏜的度数是120°，
∵C、D是BE⏜上的三等分点，
∴弧CD与弧ED的度数都是40度，
∴∠COE=80°．
故选：C．
先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．
本题利用了邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】A
【解析】解：连接OA、OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴AB⏜=BC⏜=DC⏜=AD⏜，
×360°=90°，
∴∠AOB=1
4
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=(2√2)2，
解得：AO=2，
=π，
∴AB⏜的长为90π×2
180
故选：A．
连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．8.【答案】A
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr=120π×30
，
180
解得r=10．
故小圆锥的底面半径为10．
故选：A．
母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
9.【答案】C
【解析】解：∵边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，∴设S空白=x，则S阴影=6x−x=5x，
∴S
阴影
S
空白
=5．
故选C．
根据边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍即可得出结论．本题考查的是正多边形和圆，熟知边长为a的正六边形的面积是边长为a的等边三角形的面积的6倍是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接OC、OB、OD，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=60°，
∴△OCB是等边三角形，
∴OC=OB=BC=√2，
由旋转的性质可知，∠COD=90°，
∴CD=√OC2+OB2=2，
故选：D．
连接OC、OB、OD，根据圆周角定理求出∠BOC=60°，得到
△OCB是等边三角形，求出OC=OB=BC=√2，根据旋转的性质得到∠COD=90°，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心的概念和性质，掌握圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定定理是解题的关键．
11.【答案】三角形中最少有两个内角是直角
【解析】解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设三角形中最少有两个内角是直角，
故答案为：三角形中最少有两个内角是直角．
根据反证法的一般步骤，先假设结论不成立．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12.【答案】点E在⊙C外
【解析】解：连接CE，如图所示：
∵∠ACB=90°，
∴AB=√AC2+BC2=√22+42=2√5，
∵E为AB的中点，
∴CE=1
2
AB=√5>AC，
∴点E在⊙C外；
故答案为：点E在⊙C外．
连接CE，由勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=1AB=
本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟记d与r 的数量关系与点与圆的位置关系是解决问题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：∵圆的直径为13 cm，
∴圆的半径为6.5cm，
∵圆心到直线的距离6.5cm，
∴圆的半径=圆心到直线的距离，
∴直线于圆相切，
∴直线和圆有1个公共点．
欲求直线和圆有几个公共点，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线与圆相离．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
14.【答案】40°
【解析】解：连接OB，OC．
则∠BOC=2∠A=2×70=140°，
∵EB、EC是⊙O的两条切线，
∴∠EBO=∠ECO=90°，
∴∠E=360°−∠BOC−∠EBO−∠ECO=360°−
140°−90°−90°=40°．
故答案是：40°．
连接OB，OC，根据圆周角定理即可求得∠BOC的度数，根据切线的性质可以求得∠EBO=∠ECO，在四边形BECO中，利用内角和定理即可求解．
本题考查了切线的性质定理以及圆周角定理，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点．
15.【答案】140°
【解析】解：∵O是△ABC的内心，
∴∠OAC=1
2∠BAC，∠OCA=1
2
∠BCA，
∴∠BAC+∠BCA=2(∠OAC+∠OCA)，
∵△OAC中，∠OAC+∠OCA=180°−∠AOC=180°−
160°=20°，
∴∠BAC+∠BCA=40°，
∴∠BAC=180°−(∠BAC+∠BCA)=180°−40°=140°．
故答案是：140°．
在△AOC中，利用三角形内角和定理即可求得∠OAC和∠OCA的和，然后根据内心的定义可以得到∠BAC+∠BCA=2(∠OAC+∠OCA)，然后利用三角形的内角和定理即可求解．本题考查了内心的性质，以及三角形内角和定理，正确得到∠BAC+∠BCA=2(∠OAC+∠OCA)是关键．
16.【答案】30
【解析】解：设圆锥的母线长为l，
根据题意得1⋅2π⋅20⋅l=600π
即这个圆锥的母线长为30．
故答案为30．
设圆锥的母性长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到1
2
⋅2π⋅20⋅l=600π，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17.【答案】24
【解析】解：连接OB．
∵PA是⊙O的切线，点A是切点，
∴PA⊥OA；
∴PA=√PO2−OA2=12；
∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB；
同理可得：DA=DE，CE=CB．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CB+AD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=24；
故答案是：24．
由切线长定理可得PA=PB，DA=DE，CE=EB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+ PD，所以∴△PCD的周长=PC+CB+AD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．
本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长长度相等，圆心和这一点的连线，平分这两条切线的夹角．
18.【答案】8
【解析】解：如图，连接AC，BD．
∵∠BCD=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠ADE+∠ADC=18°，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
∵AB=AD，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠BAC=∠DAE，AC=AE=4，S△ABC=S△ADE，
∴∠CAE=∠BAD=90°，
∴S
四边形ABCD =S△ACE=1
2
×4×4=8．
S△ADE，推出S四边形ABCD=S△ACE，由此即可解决问题；
本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：连接BC．
∵∠AOB=100°，
∠AOB=50°(同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半)；
∴∠ACB=1
2
又∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC(等边对等角)，
∴∠CAB=180°−2∠ACB=80°(三角形内角和定理)．
∠AOB=【解析】连接BC，由同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半知∠ACB=1
2
50°，再由AC=AB知∠ACB=∠ABC，根据三角形内角和定理可得答案．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
20.【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD=√OA2−OD2=√52−32=4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm．
【解析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21.【答案】解：(1)连接OC，∵AB是⊙O的直径，C为AB⏜的中点，
∴∠BOC=90°，
∠BOC，
∵∠A=1
2
∴∠A=45°；
(2)∵OA=OB，AC=CD，
∴OC//BD，
∴∠BOC+∠ABD=180°，
∴∠B=180°−∠BOC=90°，
∵点B在⊙O上，
∴BD与⊙O相切．
【解析】(1)连接OC，根据AB是⊙O的直径，C为AB⏜的中点，得到∠BOC=90°，根据圆周角定理得到结论；
(2)根据已知条件得到OC//BD，根据平行线的性质得到∠BOC+∠ABD=180°，根据切线的判定定理得到结论．
本题考查了切线的判定，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22.【答案】解：(1)连接OC，如图，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥DP，
∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A，
∴∠OCD=∠A+∠OCA=2∠A，
∵∠OCD+∠D=90°，
而∠D=4∠A．
∴2∠A+4∠A=90°，解得∠A=15°，
∴∠D=4×15°=60°；
(2)在Rt△OCD中，∠OCD=30°，
∴OC=√3CD=2√3，OD=2CD=4，
∴BD=OD−OB=4−2√3．
【解析】(1)连接OC，如图，根据切线的性质得∠OCD=90°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠OCD=2∠A，接着利用互余得到2∠A+4∠A=90°，解得∠A=15°，从而得到∠D的度数；
(2)在Rt△OCD中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC=2√3，OD=4，然后计算OD−OB即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
23.【答案】解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，
∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=6，即R=6，
∵OA=OB=6，OG⊥AB，
∴AG=1
2AB=1
2
×6=3，
∴在Rt△AOG中，r6=OG=√OA2−AG2=3√3cm，
∴S6=1
2
×6×6×3√3=3√354√3cm2．
【解析】连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由求得
答案．
此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24.【答案】(1)解：连结OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，
∵AD⊥OB，
∴AH=DH=4，
在Rt△OHA中，OH=r−2，OA=r，
∴r2=42+(r−2)2
，解得r=5，
即⊙O的半径为5；
(2)证明：连结CF，如图，
∵AD⊥OB，
∴弧AB=弧DB，
∵∠EAB=∠EBA，
∴弧BD=弧AF，
∴弧AB=弧AF，
∴OA⊥BG，
∴BG=FG，
∴∠OAH=∠OBG，
在△OAH和△OBG中，
{∠OAH=∠OBG ∠OHG=∠OGB OA=OB
，
∴△OAH≌△OBG(AAS)，
∴AH=BG，
∴BF=2AH．
【解析】(1)连结OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AH=DH=4，在Rt△OHA中，根据勾股定理得r2=42+(r−2)2，解得r=5；
(2)连结CF，如图，根据垂径定理得到弧AB=弧DB，而∠EAB=∠EBA，所以弧BD=弧AF，则弧AB=弧AF，再根据垂径定理的推论得OA⊥BG，所以BG=FG，然后证明△OAH≌△OBG，得到AH=BG，所以BF=2AH．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
25.【答案】(1)证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵DC=BC，
∴AD=AB，
∴∠D=∠ABC，
∵∠E=∠ABC，
∴∠E=∠D，
∴CD=CE．
(2)解：由(1)可知：∠ABC=∠E=30°，∠ACB=90°，
∴∠CAB=60°，AB=2AC=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC=2√3，
连接OC，则∠COB=120°，
∴S
阴=S
扇形OBC
−S△OBC=120⋅π⋅22
360
−1
2
×1
2
×2√3×2=4π
3
−√3．
【解析】(1)只要证明∠E=∠D，即可推出CD=CE；
(2)根据S阴=S扇形OBC−S△OBC计算即可解决问题；
本题考查扇形的面积，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。