七年级代数式(基础篇)(Word版 含解析)

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）
1．用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C 型钢板和3块D型钢板.现购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板.设购买A型钢板x块（x为整数）
（1）可制成C型钢板块（用含x的代数式表示）；可制成D型钢板块[用含x的代数式表示）.
（2）出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元.若将C、D型钢板全部出售，通过计算说明此时获得的总利润.
（3）在（2）的条件下，若20≤x≤25，请你设计购买方案使此时获得的总利润最大，并求出最大的总利润.
【答案】（1）解：设购买A型钢板x块（x为整数），则购买B型钢板（100﹣x）块，根据题意得：可制成C型钢板2x+（100﹣x）＝（x+100）块，
可制成D型钢板x+3（100﹣x）＝（﹣2x+300）块.
故答案为：x+100；﹣2x+300
（2）解：设获得的总利润为w元，
根据题意得：w＝100（x+100）+120（﹣2x+300）＝﹣140x+46000
（3）解：∵k＝﹣140＜0，
∴w值随x值的增大而减小，
又∵20≤x≤25，
∴当x＝20时，w取最大值，最大值为43200，
∴购买A型钢板20块、B型钢板80块时，可获得的总利润最大，最大的总利润为43200元.
【解析】【分析】（1）设购买A型钢板x块（x为整数），则购买B型钢板（100﹣x）块，根据“ 用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板”从而用含x的代数式表示出可制成C型钢板及D型钢板的数量.
（2）设获得的总利润为w元，根据总利润=100×制成C型钢板的数量+120×制成D型钢板的数量，从而得出结论.
（3）利用一次函数的性质求出最大利润及购买方案即可.
2．先阅读下面文字，然后按要求解题.
例：1+2+3+…+100=？如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的.
因为1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果.
解:1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）= =5050.
（1）补全例题解题过程；
（2）计算a+（a+b）+（a+2b）+（a+3b）+…+（a+99b）.
【答案】（1）解：101×50
（2）解：原式=50×（2a+99b）=100a+4950b.
【解析】【分析】（1）根据算式可得共有50个101，据此解答即可.
（2）仿照（1）利用加法的交换律和结合律进行计算即可.
3．温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地台，杭州厂可支援外地台．现在决定给武汉台，南昌台．每台机器的运费（单位：百元）如表．设杭州运往南昌的机器为台．
南昌武汉
温州厂
杭州厂
（1）用的代数式来表示总运费（单位：百元）．
（2）若总运费为元，则杭州运往南昌的机器应为多少台?
（3）试问有无可能使总运费是元?若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说明理由．
【答案】（1）解：设总费用为W百元，由杭州运往南昌x台，运往武汉(4-x)台，
温州运往南昌(6-x)台，运往武汉(4+x)台，根据题意得：
W=4(6-x)+8(4+x)+3x+5(4-x)=2x+76，
∴总运费为(2x+76)百元
（2）解：当W=8200元=82百元时，76+2x=82，解得x=3．
答：总运费为8200元，杭州运往南昌的机器应为3台
（3）解：当W=7400元=74百元时，
74=2x+76，解得：x=－1，
∵0≤x≤4，
∴x=－1不符合题意，
总运费不可能是7400元．
【解析】【分析】（1）设总费用为W百元，由杭州运往南昌x台，运往武汉(4-x)台，温州运往南昌(6-x)台，运往武汉(4+x)台，杭州运往南昌x台需要的运费为：3x百元，杭州运往武汉(4-x)台需要的运费为：5(4-x)百元，温州运往南昌(6-x)台需要的运费为4(6-x)百元，温州运往武汉(4+x)台需要的运费为：8(4+x)百元，根据总运费等于各条线路的运费之和即
可列出W与x之间的函数关系式；
（2）把W=8200元=82百元代入（1）列的函数关系式即可算出x的值，从而得出答案；（3）把W=7400元=74百元代入（1）列的函数关系式即可算出x的值，根据x的取值范围进行检验即可得出结论。

4．已知A，B在数轴上分别表示的数为m、n．
（1）对照数轴完成下表：
（3）已知A，B在数轴上分别表示的数为x和﹣2，则A、B两点的距离d可表示为d=|x+2|，如果d=3，求x的值．
（4）若数轴上表示数m的点位于﹣5和3之间，求|m+5|+|m﹣3|的值．
【答案】（1）3；7；2
（2）解：d=|m﹣n|，文字描述为：数轴上两点间的距离d等于表示两点数之差的绝对值（3）解：d=|x+2|
根据题意得出：d=|x﹣（﹣2）|=|x+2|，
如果d=3，那么3=|x+2|，
解得x=1或﹣5
（4）解：根据题意得出：∵﹣5＜m＜3，
∴|m+5|+|m﹣3|=|5+3|=8
【解析】【解答】解：（1）填表如下：
【分析】（1）结合数轴，得出两点间的距离公式，即可求解。

若A，B在数轴上分别表示的数为m、n，A，B两点间的距离为d，则d=|m﹣n|，根据此公式即可求解。

（2）根据（1）可得出结论。

（3）将d=3代入d=|x+2|，建立方程求解。

（4）根据已知可知﹣5＜m＜3，得出m+5＞0，m-3＜0，则|m+5|=m+5，|m﹣3|=-（m-3）,就可得出结果。

5．某公司派出甲车前往某地完成任务，此时，有一辆流动加油车与他同时出发，且在同一条公路上匀速行驶（速度保持不变）．为了确定汽车的位置，我们用OX表示这条公路，
原点O为零千米路标，并作如下约定：速度为正，表示汽车向数轴的正方向行驶；速度为负，表示汽车向数轴的负方向行驶；速度为零，表示汽车静止．行程为正，表示汽车位于零千米的右侧；行程为负，表示汽车位于零千米的左侧；行程为零，表示汽车位于零千米处．两车行程记录如表：
（1）甲车开出7小时时的位置为________km，流动加油车出发位置为________km；
（2）当两车同时开出x小时时，甲车位置为________km，流动加油车位置为________km （用x的代数式表示）；
（3）甲车出发前由于未加油，汽车启动后司机才发现油箱内汽油仅够行驶3小时，问：甲车连续行驶3小时后，能否立刻获得流动加油车的帮助？请说明理由．
【答案】（1）-90；-80
（2）190﹣40x；﹣80+50x
（3）解：当x=3时，甲车开出的位置是：190﹣40x=70（km），
流动加油车的位置是：﹣80+50x=70（km），
则甲车能立刻获得流动加油车的帮助
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
甲车开出7小时时的位置为：190﹣7×（200÷5）=﹣90（km），
流动加油车出发位置为：270﹣（270﹣170）÷2×7=﹣80（km）；
故答案为：﹣90，﹣80；
⑵根据题意得：
当两车同时开出x小时时，甲车位置为：190﹣40x，
流动加油车位置为：﹣80+50x；
【分析】（1）根据题意可知甲车开出5小时时的位置为-10，得到甲车的速度是（190+10）÷5，求出甲车开出7小时时的位置；根据流动加油车出发5小时的位置是170和出发7小时的位置是270，得到流动加油车的速度是（270-170）÷2；求出流动加油车出发的位置；（2）根据题意当两车同时开出x小时时，甲车位置是190﹣40x，流动加油车位置是﹣80+50x；（3）根据题意当x=3时，甲车开出的位置是70km，流动加油车的位置是70km，得到甲车能立刻获得流动加油车的帮助.
6．如图，正方形ABCD与正方形BEFG，且A，B，E在一直线上，已知AB=a，BE=b（b＜a）．
（1）用a、b的代数式表示△ADE的面积．
（2）用a、b的代数式表示△DCG的面积．
（3）用a、b的代数式表示阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，AB=a，BE=b，A，B，E在一直线上，
∴AB=AD=a，∠A=90°，∠EBG=∠ABC=90°，AE=AB+BE=a+b，
∴S△ADE= AD·AE=
（2）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，AB=a，BE=b，
∴AB=DC=BC=a，∠C=90°，BG=BE=b，
∴CG=BC-BG=a-b，
∴S △DCG= DC·CG=
（3）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，AB=a，BE=b，
∴S正方形ABCD+S正方形BEFG= .
又∵S△ADE= ，S△DCG= ，S△EFG= EF·FG= ，
∴S阴影= -S△ADE-S△GEF-S△CDG
=
= .
【解析】【分析】（1）根据题意可得△ADE的两直角边AD、AE，再由三角形的面积公式求出即可；
（2）先求出CG=BC-BG=a-b，再根据三角形的面积公式求出即可；
（3）分别求出△ADE、△EFG、△DCG的面积和两个正方形的面积，即可得出阴影部分的面积.
7．如图所示，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，且满足a=﹣2，|b|=0，（c﹣12）2与|d﹣18|互为相反数．
（1）b=________；c=________；d=________．
（2）若A、B两点以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时C、D两点以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、C两点相遇？
（3）在（2）的条件下，A、B、C、D四点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使得B与D的距离是C与D的距离的3倍？若存在，求时间t；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）0；12；18
（2）解：当运动时间为t秒时，点A对应的数为2t﹣2，点C对应的数为12﹣t，
根据题意得：2t﹣2=12﹣t，
解得：t= ．
答：t为时，A、C两点相遇
（3）解：假设存在，当运动时间为t秒时，点B对应的数为2t，点C对应的数为12﹣t，点D对应的数为18﹣t，
∵点B在点D的右侧，且B与D的距离是C与D的距离的3倍，
∴2t﹣（18﹣t）=3[（18﹣t）﹣（12﹣t）]，
解得：t=12．
答：存在时间t，使得B与D的距离是C与D的距离的3倍，此时t的值为12
【解析】【分析】（1）∵|b|=0，（c﹣12）2与|d﹣18|互为相反数∴（c﹣12）2+|d﹣18|=0，∴b=0，c=12，d=18．
故答案为：0；12；18；
（2）左减右加，t秒后A表示的数是-2+2t,即2t-2,类似的，C点t秒后表示的数为12-t，相遇时即两个点重合，表示同一个数，即2t﹣2=12﹣t；
（3）两点之间的距离等于表示点的数的差（大减小）.
8．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是________
（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为________．
（3）若x表示一个有理数，且﹣4≤x≤﹣2，则|x﹣2|+|x+4|=________
（4）若|x+3|+|x﹣5|=8，利用数轴求出x的整数值．
【答案】（1）3；5
（2）|x+2|
（3）6
（4）解：∵|x+3|+|x﹣5|=8，
∴﹣3≤x≤5，
∵x为整数，
∴x=﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2=3，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）=5；（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|；（3）若x表示一个有理数，且﹣4≤x≤﹣2，则|x﹣2|+|x+4|=6；
故答案为：3，5；|x+2|；6．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（2）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（3）根据线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离，可得答案；（4）根据线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离，可得答案．
9．以下关于的各个多项式中，，，，，均为常数.
（1）根据计算结果填写下表：
二次项系数一次项系数常数项
2________2
6________－2
________
（2）若的积中不含的二次项和一次项，求
的值.
（3）多项式与多项式的乘积为，则的值为________.
【答案】（1）5；-1；
（2）解：原式
∵积中不含的二次项和一次项∴解得原式
（3）-4
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：
（ 3 ）∵多项式与多项式的乘积为
∴设多项式
【分析】（1）根据多项式乘以多项式即可求解；（2）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项后使二次项系数和一次项系数为0即可求解；（3）根据多项式乘以多项式的结果可以设多项式M，再根据恒等式的意义求解.
10．将7张相同的长方形纸片(如图1)按图2所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好可以分割为两个长方形，面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b.
（1）当a=9,b=2,AD=30时，S1－S2=________.
（2）当AD=30时，用含a,b的式子表示S1－S2.
（3）若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而且S1－S2的值总保持不变，则a，b满足的关系是________.
【答案】（1）48
（2）解：S1－S2
=a(30－3b)－4b(30－a)
=30a－120b+ab
（3）a=4b
【解析】【解答】(1)解：当a=9,b=2,AD=30时，S1=a(30－3b)=9×（30-3×2）=216
S2=4b(30－a)=4×2×（30-9）=168
S1－S2=216-168=48
3)解：设AD=m,
S1－S2
=(am－3ab)－(4bm－4ab)
=am－4bm+ab
若S1－S2的值总保持不变，则S1－S2的值与m的取值无关，所以有am－4bm=0
则a=4b.
【分析】（1）观察图形，分别求出S1和S2的面积，再求差即可；（2）用含a、b的代数式分别表示S1和S2的面积，再求差即可；（3）设AD=m, 用含a、b、m的代数式分别表示S1和S2的面积差，再去括号合并同类项，根据题意S1－S2的值总保持不变，即可解答.
11．如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．
（1）S甲=________，S乙=________（用含a、b的代数式分别表示）；
（2）利用（1）的结果，说明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系；
（3）现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成
新的图形，画出图形，利用图形说明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系．
【答案】（1）（a+b）（a-b）
；a2-b2
（2）由两个图形的面积相等可知，（a+b）（a-b）=a2-b2。

（3）
S正方形=（a+b）2， S正方形=（a-b）2+4ab
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab
【解析】【分析】（1）根据图形的面积。

列式得到答案即可；
（2）根据两组图案所表示的面积相等，即可得到等量关系；
（3）同理，首先根据面积列出两种方式表示的面积，得到答案即可。

12．
（1）在如图所示的数轴上，把数﹣2，，4，﹣，2.5表示出来，并用“＜“将它们连接起来；
（2）假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看作一点），小球甲从表示数﹣2的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
请从A，B两题中任选一题作答．
A．当t=3时，求甲、乙两小球之间的距离．
B．用含t的代数式表示甲、乙两小球之间的距离．
【答案】（1）解：如图所示：
-2<- < <2.5<4
（2）解：∵甲球运动的路程为：1•t=t，OA=2，∴甲球与原点的距离为：t+2；
乙球到原点的距离分两种情况：
（Ⅰ）当0＜t≤2时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，
∵OB=4，乙球运动的路程为：2•t=2t，∴乙球到原点的距离为：4-2t；
（Ⅱ）当t＞2时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2（t-2）=2t-4；
A、当t=3时，甲、乙两小球之间的距离为：t+2+2t-4=3t-2=7；
B、分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤2，甲、乙两小球之间的距离为：t+2+4-2t=6-t；
（Ⅱ）t＞2，甲、乙两小球之间的距离为：t+2+2t-4=3t-2
【解析】【分析】（1）根据给出的数字，在数轴上进行标注即可，按照数轴上从左往右的顺序用＜连接得到答案。

（2）根据两个小球运动的时间以及运动的方式进行计算得到答案即可。