人教a版高中数学选修2-1习题：第一章1.4-1.4.2存在量词含答案

第一章常用逻辑用语
1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
A级基础巩固
一、选择题
1．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
解析：D选项是特称命题．
答案：D
2．下列命题中特称命题的个数是( )
(1)至少有一个偶数是质数．
(2)∃x0∈R，log2x0>0.
(3)有的实数大于零．
A．0 B．1 C．2 D．3 解析：(1)中含有存在量词“至少”，所以是特称命题．
(2)中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题．
(3)中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．
答案：D
3．下列命题不是“∃x0∈R，x20>3”的表述方法的是( )
A．有一个x0∈R，使x20>3
B．对有些x0∈R，使x20>3
C．任选一个x0∈R，使x20>3
D．至少有一个x0∈R，使x20>3
解析：选项C中“任选一个”是全称量词，没有“∃”的含义．
答案：C
4．下列特称命题中，假命题是( )
A．∃x0∈R，x20－2x0－3＝0
B．至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除
C．存在两个相交平面垂直于同一直线
D．∃x0∈{x|x是无理数}，x20是有理数
解析：垂直于同一直线的两个平面是平行的，所以找不到两个相交平面垂直于同一直线．
答案：C
5．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1
答案：A
二、填空题
6．若命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”为真命题，则a的取值范围是________．
解析：因为函数y ＝e x 在[0，1]上为增函数，
所以1≤y ≤e ，
若p 为真，则a ≥(e x )max ＝e.
答案：[e ，＋∞)
7．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x ＞0；④对于任意实数x ，2x ＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．
答案：②③
8．若∀x ∈R ，f(x)＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________． 解析：依题意有：
0＜a 2－1＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＞0，a 2－1＜1，⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜－1或a ＞1，－2＜a ＜2，
⇔ －2＜a ＜－1或1＜a ＜
2. 答案：(－
2，－1)∪(1，2) 三、解答题
9．首先判断下列命题是全称命题还是特称命题，然后写出命题的否定，并判断其真假．
(1)有些素数是奇数；
(2)所有的矩形都是平行四边形；
(3)不论m 取何实数，方程x2＋2x －m ＝0都有实数根；
(4)∃x0∈R ，x20＋2x0＋5>0.
解：(1)是特称命题，其否定为：所有的素数都不是奇数，假命题．
(2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形，不是平行四边形，假命题．
(3)是全称命题，其否定为：存在实数m ，使得x2＋2x －m ＝0没有实数根， 因为Δ＝4＋4m<0，即当m<－1时，一元二次方程没有实根，所以其否定是真命题．
(4)是特称命题，其否定为：∀x ∈R ，x2＋2x ＋5≤0，因为x2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥4，所以命题的否定是假命题．
10．关于x 的函数y ＝x2－(a ＋1)x ＋2a 对于任意a ∈[－1，1]的值都有y>0，求实数x 的取值范围．
解：设f(a)＝x2－(a ＋1)x ＋2a ，则有f(a)＝(2－x)a ＋x2－x ，a ∈[－1，1]，因为a ∈[－1，1]时，y ＝f(a)>0恒成立，则
(1)当x ＝2时，f(a)＝2>0显然成立；
(2)当x ≠2时，由f(a)>0在a ∈[－1，1]上恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，
f （1）>0，
即⎩⎪⎨⎪⎧x2－2>0，x2－2x ＋2>0，
解得x>2或x<－ 2. 综上可得：x>2或x<－ 2.
B 级 能力提升
1．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＞0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2＞2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 答案：A。