长春市东北师范大学附属中学2019年高考下学期学科大练习(九)数学理科试题卷含答案详析

2
，所以本题选 A。
2 sin(2x ) 4，
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式、辅助角公式、周期公式。
a 1, 2
b

3,1
c x, 4
4.已知向量
，
，
，若
a

b

c
，则
x

（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
利用坐标表示出
，射线
FA
与抛物线 C
相交于点
M
，与其准
线相交于点 N .若 FM : MN 1: 5 ，则 a 的值为（ ）
1
1
A. 4
B. 2
C. 1
D. 4
【答案】D
【解析】
依题意
F
点的坐标为
a 4
,
0

，设
M
在准线上的射影为
K
，由抛物线的定义知
MF MK , KM : MN 1:
a sin b cos
asin bcos
，
5
acos
bsin
5
tan 8 15
5 a cos

5 a cos

5 a cos
5 b sin
5 a cos

5 a cos
tan 8 15
b
【详解】 a 不等于零
B1C AC 2 AB2 BB12 6 ,所以球 O 的直径 2R 为 6，球 O 的表面积为 4πR2 36π 。
【解析】
【分析】
对函数进行求导，判断单调性，求出函数的最大值。
【详解】因为 f ' (x) 2 cos x 0 ，所以函数 f x 2x sinx 是 R 上的增函数，故
x 0,1
当
时，函数
yLeabharlann fx 的最大值为
f (1) 2 sin1。
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，求函数的最大值问题。
2018—2019 学年高三年级下学期
数学（文）学科大练习（九）
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 A {1, 0,1, 2,3}， B {x | x 1} ，则 A B 的元素个数为（ ）
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
a

b
，根据垂直关系可知
a

b
c 0
，解方程求得结果.
a 1, 2

b 3,1

a

b

4,1
【详解】
，

a

b
c

a

b
c 4x 4 0 ，解得： x 1
本题正确选项： A
【点睛】本题考查向量垂直关系的坐标表示，属于基础题.
5
KN
: KM
2 :1, kFN

02 2 a 0 a
，则
4
4
，
KN kFN KM

2,
2 a
2
4
，求得 a 4 ，故选 D.
二、填空题。
13.已知函数
f
x


2x

sin
x
，当
x
0,
1 时，函数
y

f
x 的最大值为_______
.
【答案】 2 sin1
5
5
5
5
，令 a =tan α ，
tan

tan

1
5 tan

tan

tan 8 15

tan(
5
) tan 8 k 8 (k Z ) k (k Z )
15 5
15
3
5

tan

tan(k
)
）
B. z x y
C. z y x
【答案】D 【解析】
D. y z x
【分析】
根据 ln x 单调性可知 x 1 ；利用对数函数单调性和幂函数单调性可知 0 y 1、 0 z 1 ，利用作商法可 比较出 y, z 的大小关系，从而得到结果. 【详解】 ln ln e 1 ，即 x 1 0 log5 1 log5 2 log5 5 1，即 0 y 1
那么根据奇函数的性质 f (a) f (a) ，进行求解。
1 【详解】 100

0
f
1 100 =
lg( 1 ) 100

lg102

2
，∵
2 0 ，
函数
f
x 是奇函数

f
(2)


f
(2)

lg
2
，所以
f

f
1 100



x
y
个数
1
1，2，3，4，5
5
2
2，3，4，5
4
3
3，4，5
3
4
4，5
2
5
5
1
P(x y) 5 4 3 2 1 3
25
5 ，故本题选 C.
【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.
12.已知点
A0,
2，抛物线 C1
:
y2

ax a

0 的焦点为
F
x2 【详解】双曲线 a2

y2 b2
1 的一条渐近线方程为 y

2x
，所以有
b a

2 ，即 b2 2a2 ，而
a2 b2 c2 ，所以有 c2 3a2 c
3a e c a
3
，故本题选 B。
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程、离心率、 a, b, c 三者之间的关系。

tan

3(k Z)
b 3
3
3
，所以 a
，故本题选 D。
【点睛】本题考查了两角和的正切公式。本题重点考查了类比构造法。
10.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的 木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截 取 20 天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）
0 1 1 1 e 2 ，即 0 z 1
lg 2
y log5 2 lg 5
z1
1
e
e
e lg 2 lg 5

lg 2 e lg 5
log5 2
e
e 4 2 e 4 综上所述： y z x
本题正确选项： D
log5 2 e log5 4 1
的值为
lg2 。
【点睛】本题考查了奇函数性质、对数的运算。
15.已知直三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB 6 ， AC 10 ， AB AC ， AA1 2 5 ，则球 O 的表面积为______ 【答案】 36
【解析】 【分析】
直三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面是直角三角形，可以补成长方体，求出长方体的对角线，就可以求出外 接球的直径，最后求出球 O 的表面积。 【详解】直三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面是直角三角形，可以补成长方体，如下图所示：
【详解】根据题意可知，第一天 2 ，所以满足 2 ，不满足
i ，故排除 AB，
SS 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有 2 ，且 i 21，所以循环条件应该是 i 20 .
故选 D. 【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.
11.从分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张 卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ）
b
且满足
5
5
，则 a （ ）
A. 4
B. 15
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
asin 5
acos
bcos 5
bsin

tan 8 15
已知
5
5
，
a cos
b
对左边分式的分子分母同时除以
5 ，令 a =tan α ,构造成“
x y 1 xy ”的结构，利用正切的和角公式化简，然后求出 tan α 的值。
1
3
3
2
A. 10
B. 10
C. 5
D. 5
【答案】C 【解析】
【分析】
设第一张卡片上的数字为 x ，第二张卡片的数字为 y ，问题求的是 P(x y) ，
首先考虑分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，有多少种可
能，再求出 x y 的可能性有多少种，然后求出 P(x y) . 【详解】设第一张卡片上的数字为 x ，第二张卡片的数字为 y ， 分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡 片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，共有 5 5 25 种情况， 当 x y 时，可能的情况如下表：
V Sh 1 3 1 3 3
3，
2
2 ，故本题选 B。
【点睛】本题考查了通过三视图判断出几何体的形状、并求出其体积。
x y 3 0
2x y 0
7.若 x 、 y 满足约束条件 y 0
，则 z 4x 3y 的最小值为（ ）
A. 0
B. -1
0
0
交点
m
时，直线
l
:
y

4 3
x

z 3
在 y 轴截距最大，即 z 4x 3y 有最小值，最小值为 2 ，故本题选 C。
【点睛】本题考查了线性规划问题，解决此类问题的关键是画出正确的可行解域.
8.已知 x
ln
，
y
log5 2 ， z
1
e 2，
则（
A. x y z
6.已知一个空间几何体的 三视图及部分数据如图所示，则该几何体的体积是（ ）
3
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】 通过三视图可以知道该几何体是底面是直角三角形的直三棱柱，根据棱柱的体积公式，直接求解。
【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱，其底面是直角边边长分别为 3,1 的直角三角形，高为
先根据 A B 的定义可以求出交集，然后判断交集的元素的个数。
【详解】因为
A

B
2,
=
3
，所以
A

B
的元素个数为
2
个，故本题选
B。
【点睛】本题考查了集合交集运算、以及集合元素个数。
z
2.复数

(2 i)2 i
（ i 为虚数单位），则
z

（
）
A. 5
【答案】A 【解析】
B. 5
C. 25
D. 41
y z
【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数、幂函数单调性比较大小的问题，涉及到作商法比较大小.
x y 9.在数学解题中，常会碰到形如“ 1 xy ”的结构，这时可类比正切的和角公式.如：设 a, b 是非零实数，
a sin
5 a cos
b cos 5
b sin

tan 8 15
5.若双曲线
x2 a2

y2 b2
1a
0, b

0
的 一条渐近线方程为
y

2x ，则其离心率为（
）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
【答案】B
【解析】 【分析】
由渐近线方程可以知道 a,b 的关系，再利用 a2 b2 c2 这个关系，可以求出 a, c 的关系，也就可以求出离
心率。
A.
i

20
，
S

S
1 i，
i

2i
B.
i

20 ，
S

S

1 i
，
i

2i
SS C. i 20 ， 2 ， i i 1
SS D. i 20 ， 2 ， i i 1
【答案】D
【解析】
【分析】
先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可.
S1
SS
S S 1
试题分析：根据复数的运算可知
，故本题正确选项为 A. 考点：复数的运算与复数的模.
，可知 的模为
3.函数 f (x) sin 2x 2 cos2 x 1的最小正周期为（ ）
A.
B. 2
C. 3
【答案】A
D. 4
【解析】
【分析】
把
f
x
sin2x

2cos2 x
1
，化成
y

A sin( x
)

B
T 2
或者 y Acos(x ) B 形式，然后根据公式

,可以直接求解。
f x sin2x 2cos2x 1
【详解】由
，可得：
f (x) sin 2x (2 cos2 x 1) sin 2x cos 2x
T 2 2
C. -2
【答案】C
【解析】
【分析】
D. -3
l0
画出可行解域，画出直线
:
y

4 3
x
，平移直线
l0
l
，找到使直线
:
y

4 3
x

z 3
在 y 轴截距最大的点，把坐标代入即可求出 z 4x 3y 的最小值。
【详解】画出可行解域如下图：
平移直线
l0
:
y

4 3
x
，当经过
x y 3 2x y
14.已知函数
f
x是奇函数，当 x
0 时，
f
x lg x ，则
f

f
1 100 的值为
______
【答案】 lg 2
【解析】
【分析】
先求出
f
1 100

的值，设为 a
，判断 a
是否大于零，如果大于零，直接求出
f
(a) 的值，如果不大于零，