人教版数学高二-重庆一中高二(下)期中数学试卷(文科)

2015-2016学年重庆一中高二（下）期中数学试卷（文科）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知A={﹣1，0，1}，B={y|y=cosπx，x∈A}，则A∩B=（）
A．{﹣1，1} B．{0，1}C．{0}D．∅
2．“p∨q为真”是“￢p为假”的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．已知复数z=﹣+i，则+|z|=（）
A．﹣﹣i B．﹣+i C． +i D．﹣i
4．设a=log32，b=log52，c=log23，则（）
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a
5．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）
A．﹣1 B．1 C．2 D．
6．已知直线2x+y﹣10=0过双曲线的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（）
A．B．C．D．
7．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可将函数y=sin3x的图象（）
A．左平移个单位B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
8．函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=﹣，若f（2）=﹣4，则f（f（6））=（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣
9．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（其中a＞0且a≠1），若f（5）•g（﹣3）＞0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）
A．B．C．
D．
10．已知△ABC中，=10，=﹣16，D为边BC的中点，则等于（）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．已知函数f（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）
A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）
12．定义域为的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈时，f（x）=x2﹣x．若方程f（x）=m
有6个根，则m的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，0）
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．
13．函数f（x）=+ln（x﹣1）的定义域是______．
14．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED，则sin∠CED=______．
15．已知定义在（0，+∞）上函数f（x）满足2f（x）﹣f（）=，则f（x）的最小值是______．16．函数f（x）在上有定义，若对任意x1，x2∈，有f（）≥，则称f（x）在上具有性质Q．设f（x）在上具有性质Q，现给出如下命题：
①若f（x）在x=2处取得最小值1，则f（x）=1，x∈；
②对任意x1，x2，x3，x4∈有f（）≥
③f（x）在上的图象是连续不断的；
④f（x2）在上具有性质Q；
其中真命题的序号是______．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数g（x）=log2（x﹣1），f（x）=log（x+1），
（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；
（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．
18．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：
x 1 2 3 4 5
y 7 6 5 4 2
（1）求y关于x的线性回归方程=x+；
（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）
参考公式：==，=﹣．
19．已知数列{a n}各项均为正数，S n为其前n项和，且对任意的n∈N*，都有4S n=（a n+1）2．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若e n≥tS n对任意的n∈N*恒成立，求实数t的最大值．
20．若曲线C1： +=1（a＞b＞0），（y≤0）的离心率e=且过点P（2，﹣1），曲线C2：x2=4y，自曲线C1上一点A作C2的两条切线切点分别为B，C．
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）求S△ABC的最大值．
21．已知函数f（x）=a（x﹣2）2+2lnx．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知函数g（x）=f（x）﹣4a+（a≠0），当x∈选修4-1：几何证明选讲选修4-4：坐标系与参数方程选讲选修4-5：不等式选讲（x+2）+2f（2）﹣2，10，1﹣1，01，2﹣2，﹣1﹣2，1．【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，即，得1＜x≤4，
即函数的定义域为（1，4．
14．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED，则sin∠CED=．
【考点】余弦定理．
【分析】通过正方形求出ED，EC利用余弦定理求出∠CED的余弦值，然后求出正弦值．
【解答】解：∵AE=1，正方形的边长为：1；∴ED==，EC==，CD=1，
∴cos∠CED==，sin∠CED==．
故答案为：．
15．已知定义在（0，+∞）上函数f（x）满足2f（x）﹣f（）=，则f（x）的最小值是2．【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】根据条件，利用方程组法进行求解，先求出函数f（x）的解析式，然后利用基本不等式的性质进行求解即可．
【解答】解：∵2f（x）﹣f（）=，①
∴2f（）﹣f（x）=3x2，②
①×2+②得3f（x）=+3x2，
即f（x）=+x2，
∵x＞0，
∴f（x）=+x2≥2=2，
当且仅当=x2，即x2=2，x=时，取得号，
则函数f（x）的最小值是2，
故答案为：2，
16．函数f（x）在上有定义，若对任意x1，x2∈，有f（）≥，则称f（x）在上具有性质Q．设f（x）在上具有性质Q，现给出如下命题：
①若f（x）在x=2处取得最小值1，则f（x）=1，x∈；
②对任意x1，x2，x3，x4∈有f（）≥
③f（x）在上的图象是连续不断的；
④f（x2）在上具有性质Q；
其中真命题的序号是①②．
【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的性质；函数的值．
【分析】根据题设条件，证明①和②是正确的．分别举出反例，说明③和④都是错误的；
【解答】解：在①中：在上，f（2）=f（）≤，
∴，
故f（x）=1，
∴对任意的x1，x2∈，f（x）=1，
故①成立；
在②中，对任意x1，x2，x3，x4∈，
有f（）=f（）≤
≤ hslx3y3h（f（x1）+f（x2））+（f（x3）+f（x4））f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）1，31，31，31，，+∞）为增函数，即可得到所求值域．
【解答】解：（1）由g（x）≥f（x）得log2（x﹣1）≥log（x+1），
即为x﹣1≥＞0，
有x≥或x≤﹣，且x+1＞0，x﹣1＞0，
则不等式g（x）≥f（x）的解集为{x|x≥}；
（2）y=g（x）+f（x）=log2（x﹣1）﹣log2（x+1）=log2，
由y=log2（1﹣），由t=1﹣在（1，+∞）递增，y=log2t在（0，+∞）递增，
可得函数y=log2在hslx3y3h，+∞）为增函数，
则x=时，y取得最小值log2（3﹣2），
且t＜1，可得y=log2t＜0，
即有函数y=g（x）+f（x）的值域为2，+∞）时，函数g（x）图象上的点均在不等式所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）a=1时，求f（x）的导数f′（x），利用导数判定函数f（x）的单调性；
（2）由题意使g（x）≥x在2，+∞）上恒成立，求出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣4x+4+2lnx（x＞0），
∴f′（x）=2x﹣4+=，
∵x＞0，∴f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）由题意，使a（x﹣2）2+2lnx﹣4a+≥x在2，+∞）上恒成立②；
∴h′（x）=；
（i）当a＜0时，∵x＞2，∴h′（x）≤0，
∴h（x）在2，，+∞）上是增函数，
∴h（x）min=h（）=a+2ln﹣4a+﹣=﹣2﹣ln2a，
∴只需﹣2﹣2ln2a≥0，解得a≤；∴0＜a≤时②成立；
（iii）当a≥时，2≥，此时h（x）在选修4-1：几何证明选讲选修4-4：坐标系与参数方程选讲0，π），
∴或．
∴直线的倾斜角或．
24．（1）设x≥1，y≥1，证明x+y+≤++xy；
（2）设1＜a≤b≤c，证明log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c．
【考点】不等式的证明；对数的运算性质．
【分析】（1）去分母，寻找与不等式等价的式子，使用因式分解得出不等式成立的条件；
（2）令设log a b=x，log b c=y，则不等式与（1）中的不等式等价．
【解答】证明：（1）∵x≥1，y≥1，
∴x+y+≤++xy⇔xy（x+y）+1≤x+y+x2y2．
⇔（x+y）（xy﹣1）+（1﹣x2y2）≤0，
⇔（xy﹣1）（x+y﹣1﹣xy）≤0，
⇔（xy﹣1）（x+1）（1﹣y）≤0．
∵x≥1，y≥1，
∴xy﹣1≥0，x+1＞0，1﹣y≤0，
∴（xy﹣1）（x+1）（1﹣y）≤0成立．，
∴x+y+≤++xy．
（2）设log a b=x，log b c=y，则log a c=xy，log c a=，log b a=，log c b=．∴log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c⇔x+y+≤++xy．
∵1＜a≤b≤c，∴log a b≥1，log b c≥1，即x≥1，y≥1．
由（1）可知x+y+≤++xy．
∴log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c．
2016年9月22日。