2018天津高考文科数学解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）-文科数学2018年天津高考文科数学试卷真题答案&解析天津新东方优能一对一部高中数学组第一部分：试卷整体点评2018年文科数学的出题顺序相比较2017年发生了一些变化。

但是整体难度与去年持平。

首先是选择题部分，8道题目前7题中2017年的概率变为线性规划，其他知识点考察基本一致。

选择压轴题从去年的函数与方程变为向量的数量积问题。

再来看填空部分，与2017年相同的考查知识点有4题，分别是是复数、导数的几何意义、圆的方程、均值不等式。

发生变化的题目是立体几何17年在14~16连续三年三视图的基础上考察外接球体积，有13年题目的非常相似。

18年则是给出立体图形求体积难度有所下降。

填空压轴题方面，17，18两年发生了互换，近年函数与方程作为填空题的最后一题。

值得一提的是回顾14年-18年天津在考察函数与方程的题目方面偏爱一个分段函数结合不等式恒成立问题，此类问题仍然是我们2019年备考的侧重点。

大题方面的顺序发生了变化，不同于16和17两年把三角函数放在15题的位置，18年重新把概率计算放在首位。

三角函数考查内容与去年相一致。

第三题仍然是立体几何，考察线线垂直，异面直线成角，线面角。

第18题数列题考察等差等比数列的基础公式，没有涉及到人们求和方法错位相减、裂项方法，考察难度有弱化趋势。

19，20题的考察内容相比2017年发生互换，尤其注意一点近年的椭圆题目越来越重视运算求解能力，结合一定的平面几何证明。

最后一题的导数前两问考察侧重基础，对于大部分同学是完全有能力拿下的，最后一问的模型也是平时练习中有所涉及，对于学生计算的要求依然很大。

总体来看数列、立体几何小题考察今年有弱化趋势，计算量大仍然是天津卷的特点，请同学们在2019年的备考过程中注意计算的准确性，祝2018年的考生金榜题名。

第二部分：试卷题目解析一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 设集合{}{}{}1,2,3,4,1,02,3=|12)，,C 则(==-∈-≤<=A B x R x A B C（A ）{}1,1- （B ）{}0,1 （C ）{}1,0,1- （D ）{}2,3,4 答案：C解析：依题意可知：{}=1,0,1,2,3,4-A B ，)={-1,0,1}(A B C .(2) 设变量,x y 满足约束条件5,24,1,0.+≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩x y x y x y y 则目标函数35=+z x y 的最大值为（A ）6 （B ）19 （C ）21 （D ）45 答案：C解析： 设5+≤x y 与1-+≤x y 的交点为A=5=1+⎧⎨-+⎩x y x y ，解得=2=3⎧⎨⎩x y ，∴（2,3）A 又35=+z x y 是一族斜率为35-的平行线，∴=max 当直线过（2,3）时，z 取得最大值为z 21A . (3) 设∈x R ，则“38>x ”是||2>x 的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案：A 解析：38>x 的解集为2>x ，||2>x 的解集为22或><x x ，38||2是∴>>x x的充分不必要条件.(4) 阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 若输入N 的值为20，则输出的T 的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案：B是 输出TT=T +1 是整数？i=2,T=0输入N开始 i=i +1 是 否否解析：=20N ，2,0,10===Ni T i； 203,1,3===N i T i ；4,=i 20=54=N i ； 5,2，输出==i T T .=2∴T(5) 已知13313711log ,(),log 245===a b c ，则,,a b c 的大小关系为（A ）>>a b c （B ）>>b a c （C ）>>c b a （D ）>>c a b 答案：D 解析：37log 2=a ， 1331log =log 55=c ， 又3log x 在+（0，）∞单调递增，3371log log 522∴<<<，即12∴<<<a c ，131()4=b ，函数1()4=x y 的底数小于1，1()4是定义域内单调递减的函数∴=x y ，10311b ()()144∴=<=b 12∴<<<<ac ，即b <<a c(6) 将函数sin(2)5π=+y x 的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（A ）在区间[,]44ππ-上单调递增 （B ）在区间[,0]4π-上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增 （D ）在区间[,]2ππ上单调递减答案：A解析：sin(2)5π=+y x 向右移动10π个单位长度得到sin[2-]105（）ππ=+y x ，即sin 2=y x ，单增区间为：+222()22ππππ-≤≤+∈k x k k Z+()44ππππ-≤≤+∈k x k k Z当0=k 时，函数sin(2)5π=+y x 在区间[,]44ππ-上单调递增.(7) 已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12和d d 且12+=6d d ，则双曲线方程为（A ）22139-=x y （B ）22193-=x y （C ）221412-=x y （D ）221124-=x y答案：A解析：2==ce a，2=c a ， 在梯形ABCD 中，+2=AC BD FE ,FE 为渐焦距=b ，1226∴+==d d b 3∴=b222+=a b c 2229,12=3,∴==a b c∴22139-=x y (8) 在如图的平面图形中，已知1,2,120,OM ON MON ==∠=，2,BM MA =2CN NA =，则的值为BC OM（A ）-15 （B ）-9 （C ）-6 （D ）0 答案：C解析：如图所示建系，(0,0),(1,0)1,3)-O M N 设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y2=B M M A(1,)2(1,∴--=-B B A A x y x y1=22=2--⎧∴⎨-⎩B A B Ax x y y ，即=32=2-⎧⎨-⎩B A B A x x y y2=CNNA(1)2(1,∴--=+C CA A x yx y1222--=+⎧⎪∴=-CA C A x x y y 322=--⎧⎪∴⎨=⎪⎩C A C Ax x y y 633=10（-,），（，）∴=BC OM =6∴∙-BC OM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(9)i 是虚数单位，复数6712ii+=+ .答案：4i - 解析：67(67)(12)412(12)(12)i i i i i i i ++-==-++- (10)()ln ,()()(1)x f x e x f x f x f ''=已知函数为的导函数，则的值为 . 答案：e解析：'1()(ln )x f x e x x=+ ()'1f e =(11)如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点,,,,E F G H M （如图），则四棱锥M EFGH -的体积为 .答案：13解析：连11AC交11B D于点O ，111111111(1333A BB D D B BDD V AO S -=鬃=? (12) 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 答案：2220x x y -+=解析：因为圆过（0,0）（2,0）所以圆心在x=1上，设其坐标为（1，b ） 又因为（1,1）在圆上所以10,1r b br =-==22(1)1,x y -+=即2220x x y -+=(13) 1,,360,28a b a b R a b ∈-+=+已知且则的最小值为答案：14解析：31122284a ab b-+=+? (14) [)2122,0,,()3,,22,0,x x a x a R f x x x x a x ⎧++-≤∈=∈-+∞⎨-+->⎩已知函数若对任意()a f x x ≤恒成立，则的取值范围是答案：1[,2]8解析：当2[3,0],22x x x a x ?++-?恒成立2m i n (32)2a x x ?-+= 当2(0,),22x x x a x ??+-?恒成立2max1()28x xa -+?综上，1[,2]8a Î二、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(II)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.答案：(I)解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比分别为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的志愿者中分别抽取3人，2人，2人.(II) (i)解：从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G ，共21种.(ii)解：由(I)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，{},F G ，共5种.所以，事件M 发生的概率5()21P M =. (16)（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知bsin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A a B .(I)求角B 的大小；(II)设2, 3.sin(2)求和的值==-a c b A B . 答案：(I)解：在ABC ∆中，由正弦定理,sin sin sin sin 可得==a bb A a B A B，又由bsin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A a B ，得a sin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B a B ，即sin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B B ，可得tan =B ()0，π∈B ，可得=3πB .(II)解：在ABC ∆中，由余弦定理及2,3=3，π==a c B ，有222+2cos 7，故=-==b a c ac B b由bsin cos6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A a B ，可得sin cos ，故=<=A a c A .因此21sin 22sin cos cos 22cos 177===-=AA A A A ，所以， ()11sin 2-sin 2cos cos 2sin 727214=-=-⨯=A B A B A B . (17)(本小题满分13分)如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M 为棱AB 的中点，=2=90，∠AB AD BAD .(I)求证：AD ⊥BC(II)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (III)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.答案：(I)证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC 平面=ABD AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC .(II)解：取棱AC 的中点N ，连接,MN ND .又 因为M 为棱的中点AB ，故MN ∥BC .所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角.在t ∆R DAM 中，1=AM ，故22=13+DM AD AM 因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC .在t ∆RDAN 中，1=AN ，故=DN .在等腰三角形DMN 中，=1MN ，可得12cos 26∠==MNDMN DM. 所以，异面直线BC 与MD (III)解：连接CM .因为ABC ∆为等边三角形，M为边AB 的中点，故CM ⊥AB ， CM 又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而⊂CM 平面ABC ，故CM ⊥平面ABD .所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角.在t ∆R CAD 中，4=.在t ∆R CMD中，sin CDM=∠=CM CD所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为4.(18)(本小题满分13分)设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S (n N *∈)；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Tn (n N *∈).已知132435546122.b a a b a a ==+=+=+，b ，b ，b (I) 求n S 和n T ；(II)若12(...)4n n n n S T T T a b ++++=+,求正整数n 的值。