2014年高考数学理科冲刺试题(北大附中河南分校)

2014年高考数学理科冲刺试题（北大附中河南分校）
一、选择题：本大题共12小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1设全集，且，则满足条件的集合的个数是（）
A．3B．4C．7D．8
2已知i是虚数单位，R，且是纯虚数，则等于()
A．1B．-1C．iD．-i
3已知函数在上是减函数，则的取值范围是（）
ABCD
4如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是（）A．B．C．D．
5．如图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是()
A．2500,2500B．2550,2550C．2500,2550D．2550,2500
6若数列满足，则称数列为调和数列。

已知数列为调和数列，且，则（）A10B20C30D40
7设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（）
A．B．C．D．
8.
9的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在方向上的投影为（）ABCD）
10已知曲线与函数及函数的图像分别交于，则的值为
A．16B．8C．4D．2
11．数列满足，，记数列前n项的和为Sn，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（）
A．10B．9C．8D．7
12设函数,若,则点所形成的区域的面积为()
A.B.C.D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13、已知集,,则集合所表示图形的面积是
14．“无字证明”(proofswithoutwords)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：．
15.过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A,B,两点，交准线于点C若，则直线AB的斜率为________________
16设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是、、．
（Ⅰ）若、、依次成等差数列，且公差为2．求的值；
（Ⅱ）若，，试用表示的周长，
并求周长的最大值．
18．（本小题满分12分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在30，35）岁的人数；
分组（单位：岁）频数频率
20，25]50.05
25，30]①0.20
30，35]35②
35，40]300.30
40，45]100.10
合计1001.00
（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望
19已知梯形中，∥，，，、分别是、上的点，∥，，是的中点.沿将梯形翻
折，使平面⊥平面(如图).(Ⅰ)当时，求证：⊥；
(Ⅱ)若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；
(Ⅲ)当取得最大值时，求二面角的余弦值.
20已知直线相交于A、B两点.
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（2）（2）若向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值.
21.设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值；
(Ⅱ)当a=1时,设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1>0,x2>0),且PQ//x轴,求P、Q 两点间的最短距离；
(Ⅲ):若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

22如图，已知是⊙O的切线，为切点，是⊙O的割线，与⊙O交于两点，圆心在的内部，点是的中点．
（Ⅰ）证明四点共圆；
（Ⅱ）求的大小．
23在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线相交于点M，在OM上
取一点P，使．
（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为上任意一点，试求RP的最小值．24已知|x-4|+|3-x|（1）若不等式的解集为空集，求a的范围
（2）若不等式有解，求a的范围
北大附中河南分校高三五月冲刺训练（十二）
数学试题（理科）参考答案
1---6DAACDB7---12CBACAD
1314.1516
17．解（Ⅰ）、、成等差，且公差为2，
、.又，，
，，
恒等变形得，解得或.又，.
（Ⅱ）在中，，，，.
的周长
，又，,当即时，取得最大值．
：18xkb1解：（I）0.2×100=20，，
∴①处是20，②处是0.35，
∵由频率分步直方图中，30，35）的人数是0.35×500=175
在频率分步直方图知，在25，30）这段数据上对应的频率是0.2，
∵组距是5，
∴小正方形的高是，
在频率分步直方图中补出高是0.04的一个小正方形．（II）用分层抽样方法抽20人，
则年龄低于30岁的有5人，年龄不低于30岁的有15人，故X的可能取值是0，1，2，
P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=
∴X的分布列是
∴X的期望值是EX=
19解:（Ⅰ）作于，连，
由平面平面知平面
而平面，故又四边形
为正方形∴
又，故平面
而平面∴.
（Ⅱ）∵，面面∴面
又由（Ⅰ）平面∴
所以＝
即时有最大值为．
（Ⅲ）设平面的法向量为
∵,，，∴
则即取则∴面的一个法向量为则
由于所求二面角的平面角为钝角
所以，此二面角的余弦值为－.
20（1），xk|b|1
，
联立
则
，
（2）设，
由，
，
由此得故长轴长的最大值为
21解：(Ⅰ)F(x)=ex+sinx－ax,.
因为x=0是F(x)的极值点,所以.
又当a=2时,若x0,.
∴x=0是F(x)的极小值点,∴a=2符合题意.
所以函数S(x)在上单调递增,
∴S(x)≥S(0)=0当x∈0,+∞时恒成立;
因此函数在上单调递增,当x∈0,+∞时恒成立. 当a≤2时,,在0,+∞单调递增,即.
故a≤2时F(x)≥F(－x)恒成立.
23解：（1）设，，因为在直线OM上,,所以（2）:设y=|x-4|+|x-3|，（|x-3|=|3-x|）
等价于:
其图象为:
由图象知:当a≤1时,|x-4|+|3-x|当1＜a时,|x-4|+|3-x|<a有解。