2019届内蒙古呼和浩特市高三上学期期中调研考试数学(文)试题(解析版)

2019届内蒙古呼和浩特市高三上学期期中调研考试数学（文）试
题
一、单选题
1．已知集合A ＝｛3，1，2｝，，，若A∩B ＝B ，则实数的取值集合是 A ． B ． C ．， D ．，1，
【答案】C
【解析】由A ∩B ＝B 得B ⊆A ，得a ＝2或3．
【详解】
∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴a ＝2或3．
∴实数a 的取值集合是{2，3}．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，属于基础题．
2．已知复数，其中，为虚数单位， 且，则
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A
【解析】由商的模等于模的商求解b 的值．
【详解】
由z ，得|z |， 即，得b ＝±25．
故选：A ．
【点睛】
本题考查复数模的求法，是基础题．
3．如果函数()y f x =的图象如左图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）
【答案】A
【解析】试题分析：由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A
【考点】导数的运用
点评：主要是考查了导数的正负决定函数的单调性，属于基础题．
4．如果为锐角，，那么的值等于
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值．
【详解】
∵α为锐角，，
∴cosα，
∴sin2α＝2sinαcosα＝2．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
同一坐标系内的大致图象是(
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】通过计算f（5）•g（﹣5）＜0，可得0＜a＜1，则y＝a x，y＝log a x均为减函数，结合y＝f（x）的图象是将y＝a x的图象向右平移2个单位，而y＝g（x）的图象关于y 轴对称，且在x∈（0，+∞）上单调递减可得解.
【详解】
因为f（5）•g（﹣5）＜0，得：a3•log a5＜0，
又a＞0，
所以a3＞0，
所以log a5＜0，
即0＜a＜1，
y＝f（x）的图象是将y＝a x的图象向右平移2个单位，且过点（2，1），单调递减，
y＝g（x）的图象关于y轴对称，在x∈（0，+∞）上，函数单调递减，且过点（1，0）故选：B．
【点睛】
本题考查了函数图象的平移及偶函数图象的对称性，属于简单题．
6．在等差数列中，，，是数列的前项和，则
A．4036 B．4038 C．2019 D．2009
【答案】C
【解析】直接利用等差数列的性质及前n项和公式求出结果即可．
等差数列{a n}中，a1+a2＝1，a2018+a2019＝3，
所以：a1+a2019＝a2+a2018＝2，
所以：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等差数列的性质及前n项和公式的应用，主要考查学生的转化能力，属于基础题.
7．设，为单位向量，且，的夹角为，若，，则向量在方向上的投影为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可求，，然后求出，进而求解向量在方向上的投影为．【详解】
由题意可得，||||cos，
∵3，2，
∴（）•（2）65，||＝2，
则向量在方向上的投影为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的性质及向量投影定义的简单应用，属于基础题．
8．对函数，、作的代换，使得代换前后的值域总不改变的代换是(
A．B．
C．D．，
【答案】C
【解析】因为f（x）的定义域为R，要使代换前后f（x）的值域总不改变，必须x＝h （t）的值域为R．依次求函数的值域可得选项.
【详解】
因为f（x）的定义域为R，要使代换前后f（x）的值域总不改变，
必须x＝h（t）的值域为R，由此排除A，B，
D中函数的值域中没有0，值域也不是R，故排除D．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质与图象，属于基础题．
9．设的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则是
A．直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．形状不确定
【答案】B
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A，由于sin B＝2sin C，利用正弦定理可得：b＝2c．再利用余弦定理可解得c，b，利用余弦定理可求cos B＜0，求得B 为钝角即可得解．
【详解】
∵a＝2，cos A，sin B＝2sin C，
可得：b＝2c．
∴由a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：8＝4c2+c2﹣3c2，解得c＝2，b＝4．
∴cos B0，可得B为钝角，△ABC是钝角三角形．
故选：B．
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．下列命题中错误的是
A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题
B．命题“若，则或”为真命题
C．对于命题，，则，
D．“”是“”的充分不必要条件个
【答案】D
【解析】由复合命题的真值表即可判断A；由原命题的逆否命题的真假，可判断B；由全称命题的否定为特称命题，可判断C；由二次方程的解法，结合充分必要条件的定义可判断D．
【详解】
若命题p为真命题，命题q为假命题，则￢q为真命题，
命题“p∨（￢q）”为真命题，故A正确；
命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”的逆否命题为“若x＝2且y＝3，则x+y＝5”为真命题，
可得原命题为真命题，故B正确；
命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故C正确；
“x＝1”可推得“x2﹣3x+2＝0”，反之不成立，
“x2﹣3x+2＝0”是“x＝1”的必要不充分条件，故D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查复合命题的真假、四种命题的关系和命题的否定、充分必要条件的判断，考查判断能力和推理能力，属于基础题．
11．函数，，若，使成立，则的最小值是
A．B．C．D．
【解析】化简等式可得sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）＝2，由正弦函数的性质求得ω
＝（k1﹣k2）π，k1，k2∈Z，结合范围ω＞0求得ω的最小值．
【详解】
函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），
∃x∈R，使f（x+2）﹣f（x）＝4成立，
即∃x∈R，使2sin[ω（x+2）+φ]﹣2sin（ωx+φ）＝4成立，
即sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）＝2，
∴∃x∈R，使ωx+2ω+φ＝2k1π，ωx+φ＝2k2π，k∈Z，
∴解得：ω＝k1π﹣k2π，k1，k2∈Z，
又∵ω＞0，
∴ω的最小值是．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正弦函数的图象与性质的应用，属于中档题．
12．已知方程有且只有两个解，，则以下判断正确的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意知函数f（x）＝lnx﹣2ax+1的图象与x轴有两个交点，设f（x）＝lnx ﹣2ax+1，由导数的运算得：a＞0且f（x）在区间（0，）为增函数，在区间（，+∞）为减函数，由图象知f（x）max＝f（）＝﹣ln2a＞0，结合f（1）＝1﹣2a＞0，得到选
设f（x）＝lnx﹣2ax+1，
则f′（x）2a，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）为增函数，显然不满足题意．
②当a＞0时，
由0时，f′（x）＞0，由x时，f′（x）＜0，
得f（x）在区间（0，）为增函数，在区间（，+∞）为减函数，
即f（x）max＝f（）＝﹣ln2a，
由方程lnx+1＝2ax有且只有两个解x1，x2（x1＜x2），
即f（x）＝lnx﹣2ax+1的图象与x轴有两个交点，
即，即x1x2且0＜2a＜1，③
又f（1）＝1﹣2a＞0，
由零点定理可得，x1＜1④
结合③④得：，
故选：D．
【点睛】
本题考查了方程与函数的相互转化，利用导数研究函数的图象及极值，属于中档题.
二、填空题
13．已知函数，则曲线点，（2）处的切线方程为____．
【答案】
函数f（x）＝x的导数为f′（x）＝1，
可得曲线在x＝2处切线的斜率为k＝1，
又f（2）＝2，
可得曲线在x＝2处切线方程为y（x﹣2），
化为y x﹣3．
故答案为：y x﹣3．
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，属于基础题．
14．已知数列满足，，则数列的通项公式____．【答案】2n﹣1．
【解析】分别求出a2＝21+a1，a3＝22+a2，…a n＝2n﹣1+a n﹣1，累加即可．
【详解】
∵a1＝1，a n+1＝2n+a n，
∴a2＝21+a1，
a3＝22+a2，
a4＝23+a3
…，
a n＝2n﹣1+a n﹣1，
等式两边分别累加得：
a n＝a1+21+22+…+2n﹣1
＝2n﹣1，
故答案为：2n﹣1．
【点睛】
15．已知，，若向量满足，则的取值范围为____．【答案】
【解析】由题意可设（），（0，），（x，y），然后由已知，结合向量数量积的坐标表示可求的坐标满足的方程，结合圆的性质可求．
【详解】
由||＝||，0，
可设（），（0，），（x，y），
∴（x，y），
向量满足||＝1，
∴，
而||的几何意义是圆上一点到原点的距离，
∵的圆心C（）到原点（0，0）的距离2，
根据圆的性质可知，2﹣1≤||≤2+1，即1≤||≤3，
故答案为：[1，3]
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，考查了圆的性质，属于综合题．
16．已知函数与都是定义在上的奇函数，当时，，则
（4）的值为____．
【答案】2
【解析】根据题意，由f（x﹣1）是定义在R上的奇函数可得f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），结合函数为奇函数，分析可得f（x）＝f（x﹣2），则函数是周期为2的周期函数，据此
可得f（）＝f（）＝﹣f（），结合函数的解析式可得f（）的值，结合函数的奇偶性与周期性可得f（0）的值，相加即可得答案．
【详解】
则有f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），
又由f（x）也R上的为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0；
则有f（﹣2﹣x）＝f（﹣x），即f（x）＝f（x﹣2），
则函数是周期为2的周期函数，
则f（）＝f（）＝﹣f（），又由f（）＝log2（）＝﹣2，则f（）＝2，
f（4）＝f（0）＝0，
故f（）+f（4）＝2+0＝2；
故答案为：2．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的对称性的判定，属于难题.
三、解答题
17．已知数列是等差数列，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列是递增的等比数列且，，求
．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由已知可得，即可求出数列{a n}的通项公式a n；
（Ⅱ）由已知可得可得b n＝2n﹣1，再分组求和即可．
【详解】
（Ⅰ）有已知得：
，
.
（Ⅱ）由已知得： ,
又是递增的等比数列，故解得：,
,
∴
=
=
=.
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．在四边形中，，，，．
（1）求的长；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1） (2)
【解析】（1）由余弦定理得能求出AD的长．
（2）由正弦定理得，从而BC＝3，DC，过A作AE⊥BD，交BD于E，过C作CF⊥BD，交BD于F，则可求AE，CF，
四边形ABCD的面积：S＝S△ABD+S△BDC，由此能求出结果．
【详解】
（1）∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AB，∠A＝120°，BD＝3．
∴由余弦定理得：cos120°，
解得AD（舍去AD＝﹣2），
∴AD的长为．
（2）∵AD∥BC，AB，∠A＝120°，BD＝3，AD，
∠BCD＝105°，
∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，
∴，
解得BC＝3，DC，
如图，过A作AE⊥BD，交BD于E，过C作CF⊥BD，交BD于F，
则AE，CF，
∴四边形ABCD的面积：
S＝S△ABD+S△BDC
．
【点睛】
本题考查三角形的边长的求法，考查四边形的面积的求法，考查余弦定理、正弦定理、三角形性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
19．某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了
估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量，与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数、、为常数）已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由．
【答案】见解析
【解析】先设二次函数为y＝px2+qx+r由已知得出关于a，b，c的方程组，从而求得其解析式，得出x＝4时的函数值；又对函数y＝a•b x+c由已知得出a，b，c的方程，得出其函数式，最后求得x＝4时的函数值，最后根据四月份的实际产量决定选择哪一个函数式较好．
【详解】
设二次函数为由已知得，
解之得，
所以，
当时，，
又对函数由已知得，
解之得，
，
当时， .
根据四月份的实际产量为1.37万元，而,
所以函数作模拟函数较好.
【点睛】
考查了根据实际问题选择函数类型，考查了求函数的解析式及比较优劣等问题，考查了建模思想，属于中等题型．
20．已知函数．
（Ⅰ）求曲线相邻两个对称中心之间的距离；
（Ⅱ）若函数在，上单调递增，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）将f（x）化简得f（x）＝sin（2x），其相邻两个对称中心之间的距离是半个周期，即可得解；
（Ⅱ）因为x∈[0，m]，所以2x∈[，2m]，再根据[，2m]⊆[，]列式可得m的范围，进而得解.
【详解】
（Ⅰ）f（x）＝2cos x（sin x cos x）
＝sin x cos x cos2x
sin2x
＝sin（2x），
所以函数f（x）的最小正周期Tπ．
所以曲线y＝f（x）的相邻两个对称中心之间的距离为，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）＝sin（2x），
当x∈[0，m]时，2x∈[，2m]，
因为y＝sin x在[，]上单调递增，且f（x）在[0，m]上单调递增，
所以2x∈[，2m]⊆[，]，
即，
解得0＜m，
故m的最大值为．
【点睛】
本题考查了三角函数中的恒等变换及辅助角的应用，考查了正弦型函数的性质及最值问题，属于中档题．
21．已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数在，上的最大值；
（Ⅱ）讨论函数的零点的个数．
【答案】（Ⅰ）f（x）max＝9﹣4e-2.
（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）e x，可得f′（x）＝（x﹣1）（e x+2），利用导数研究函数的单调性即可得出最值．
（Ⅱ）令a（x﹣1）2+（x﹣2）e x＝0，则a（x﹣1）2＝（2﹣x）e x，讨论f（x）＝a（x ﹣1）2+（x﹣2）e x的零点个数，即转化为讨论函数y＝a（x﹣1）2与函数g（x）＝（2﹣x）e x的图象交点个数．画出函数g（x）＝（2﹣x）e x的图象大致如图．对a分类讨论即可得出a＞0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）e x有两个零点，当a<0时，对a分类讨论研究f(x)的图象的变化趋势得出结论.
【详解】
（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）e x，
可得f′（x）＝2（x﹣1）+（x﹣1）e x＝（x﹣1）（e x+2），
由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，
即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，
所以f（x）在[﹣2，1]单调递减，在[1，2]上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝﹣e，又f（﹣2）＝9﹣4e-2＞f（2）＝1
所以f（x）max＝9﹣4e-2.
（Ⅱ）讨论f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）e x的零点个数，令a（x﹣1）2+（x﹣2）e x＝0，则a（x﹣1）2＝（2﹣x）e x,转化为讨论函数y＝a（x﹣1）2与g（x）＝（2﹣x）e x的图象交点个数，由g（x）＝（2﹣x）e x，可得g′（x）＝（1﹣x）e x．由单调性可得：g（x）图象大致如右图：
所以当a=0时，y＝a（x﹣1）2=0与g（x）＝（2﹣x）e x图象只有一个交点，
a＞0时，y＝a（x﹣1）2与函数g（x）＝（2﹣x）e x有两个交点，
当a<0时，f′（x）＝2a（x﹣1）+（x﹣1）e x＝（x﹣1）（e x+2a），
当a=-时，f′（x）恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）递增，又f（1）=-e<0,
f（3）=-e3=-e3>0，此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）e x有一个零点.
当a-时，f′（x）＝0的两根为1，ln(-2a),
当1<ln(-2a)时，f（x）在（﹣∞，1）递增；在（1，ln(-2a)）上递减，在（ln(-2a)，+∞）
递增，又f（1）=-e<0,又存在=,使+(a-2)x-a=0,+(a-2)x-a]x=0,而
+(a-2)x-a]x=ax(x-1)+(x-2)<a（x﹣1）2+（x﹣2）e x= f（x）,所以f（）>0,
此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）e x有一个零点.
当1>ln(-2a)时，f（x）在（﹣∞，ln(-2a)）递增；在（ln(-2a),1）上递减，在（1，+∞）递增，又f(ln(-2a))= a[(ln(-2a)﹣1]2-2a[(ln(-2a)﹣2]=a[-4(ln(-2a)+5]<0,
又f（1）=-e<0,同样有f（）>0,
所以此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）e x有一个零点.
综上当a＞0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）e x有两个零点
a≤0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）e x有一个零点.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、数形结合方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求与的直角坐标方程；
（Ⅱ）若与的交于点，与交于、两点，求的面积．
【答案】（Ⅰ）的普通方程为,曲线的普通方程
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程能求出曲线C1的普通方程，由曲线C2的极坐标方程能求出曲线C2的普通方程．
（Ⅱ）由曲线C3的极坐标方程求出曲线C3的普通方程，联立C1与C2得x2﹣2x+1＝0，解得点P坐标（1，4），从而点P到C3的距离d．设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．将
代入C2，得，求出|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，由此能求出△P AB的面积．【详解】
（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，
根据题意，曲线的普通方程为
曲线的极坐标方程为，
曲线的普通方程为，即
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，
曲线的普通方程为
联立与:
得，解得点P的坐标
点P到的距离.
设将代入，得
则，
,
.
【点睛】
本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数．
（Ⅰ）试求使等式成立的的取值范围；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）f（x）＝|x﹣4|+|x+5|和f（x）＝|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x﹣4|+|x+5|放缩，注意等号成立的条件，
（Ⅱ）把关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）＜a 的解集非空，求函数f（x）的最小值．
【详解】
（Ⅰ）因为
当且仅当，即或时取等号.
故若成立，则x的取值范围是
（Ⅱ）因为
所以若关于x的不等式的解集非空，则
即a的取值范围.
【点睛】
本题考查绝对值三角不等式的应用及等号成立的条件，考查了转化思想，属于中档题．
出师表
两汉：诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。

此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。

若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。