初中抛物线常见结论汇总教师版

初中抛物线常见结论汇总(教师版)
1.(唯一交点或最值)
(1)已知抛物线y=x 2 — 2x — 3,过点D (0,-4)求与抛物线有且只有一个公共点的直线的解析式。

(判别式)
(2)已知抛物线y=X 2 — 2x — 3,在第四象限的抛物线上求点P,使四边形ACPB 的面积最大。

(焦点—准线：顶点上下41a 个单位)已知抛物线y=52 — x+1,直线过点1,1)与抛物线交于A 、B 。

过A 、 B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N 。

(1)连PM 、PN,求证：4PMN 为直角三角形；
(2)①求证：AB=AM+BN ；②求£++的值。

AP BP
(3)已知点D (1, 0),求证：DP 经过4ABD 的内心。

，对称轴上有一点E (1, 4),在抛物线上求点P,使NEPD=90°
4.(定直角特殊点一一特殊)已知抛物线y=1x 2,过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点A 、B 和O 点
2
构成以。

点为直角顶点的直角三角形，求P 点坐标。

(定点：顶点向上平移1/a 个单位长度)
2. 3.
O
x
5.（定直角特殊点一一半特殊）如图：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B，
个单位长度到D,过D作EF〃AB,交抛物线于E、F,NECF = 90°。

求t与与y轴交于C,交点C向上平移t a的关系。

6. （定直角特殊
点般）如图：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B,与y轴交于C,点P （m,n）为抛物线
上任意一点，过D （0, n+t）作EF〃AB,交抛物线于E、F,NEPF = 90°。

求t与a的关系。

（纵向平分对称点—一特殊）已知抛物线y=1x2,过对称轴上P点的任意一条直线与抛物线的两交点为A、B，
2
在对称轴负半轴上有点Q （0, -2）,且NAQB被对称轴平分，求P点坐
标,
Y、x
8.（纵向平分对称点----- 般）如图，抛物线y=x2-x — 2与x轴交于A、B
称轴对称，MN〃AD,交抛物线于M、N,直线MD、ND分别交y轴于E、F。

,与y轴交于C,点D和点C关于对
求证：CF — CEo
7.
（平行对称点一一中值定理）（1）如图，直线AB〃CD, AB、CD分别与抛物线交于A、B、C、D。

求证：
9.
x A+xjx C+x D
13
（2）已知抛物线y=；x2—/ — 2上任意两点A、B，点C为抛物线上AB下万的点，过C作CD〃AB，交抛物线于 22
D,直线AC、BD交于点P,过P作直线x=m交AB于M。

求证：点M为AB中点。

10.（横向平分对称点一一特殊）如图，抛物线y=x2-2x — 3与x轴交于A、B,与y轴交于C, AM、AN关于x轴
对称，分别交抛物线于M、N,若直线MN的解析式为y=kx+b,求k。

11.（纵向平分对称点---- 般）如图，抛物线y=x2-x — 2与x轴交于A、B,与y轴交于C,点P为抛物线上一
点，点Q与点P关于对称轴对称，PM、PN关于PQ对称，分别交抛物线于M、N,若直线MN的解析式为y=4x+b, 求点P的坐标。

12
12.(双对称问题------ 般)已知抛物线y=?2—0 — 1与x轴交于A、B两点，点T为抛物线顶点，点P为抛
33
物线上任意一点，直线PA、PB与抛物线的对称轴分别交于E、F，m、n分别为E、F的纵坐标，求m+n的值。

3 13.(双对称问题一一特殊)如图，过抛物线y = x2-3x + l中任一点P(m,n)作抛物线的切线，交对称轴于
Q(-,s),
2 求n+s的值
14.如图，抛物线y = x2-2x — 3与x轴交于A、B,与y轴交于C,点D (0,m)在点C下方，过D作抛物线的两条
切线，切点分别为M、N, MN交y轴于E。

求证：CD = CE。

15 .（定直角顶点一直线系）如图，抛物线y = x 2-2x — 3与x 轴交于A 、B,与y 轴交于C,以点P （-2, 5）为
直 角顶点作Rt^PMN,分别交抛物线于M 、N,求直线MN 经过的定点坐标。

A \O 7
16 .（定直线系一直角顶点）如图，抛物线y = x 2-2x — 3与x 轴交于A 、B,与y 轴交于C,直线y=kx-4k+6交
抛 物线于M 、N,点P 在抛物线上，且NMPN=90°,求点P 的坐标。

.-B O
E
C
M
A 1------ *
B x
D N
抛物线y = x 2-2x + 1的顶点为A,过B(1,t)的直线与抛物线交于C 、D,交x 轴于E 。

求器 + 啜的值。

BC BD
已知抛物线y=1x 2 — x+1的顶点为A,点P 为A 下方对称轴上任一点，过P 作PB 切抛物线于B,过B 作BC, 2 PB,交对称轴于C,求CA —AP 的值。

— x+1,已知点P (m, - 1),过P 作抛物线切线PA 、PB,切点分别为A 、B,作
k k + k (1)求证：勺B =; (2)求AB 经过的定点坐标。

已知抛物线y=1x 2,点A 为第一象限抛物线上一点，直线BC,x 轴于C,交抛物线于B,直线OA 交BC 于D, 2
17. 18. 20.
19.
直线AB 。

方法小结：
相切问题，求解析式用根的判别式，求切点用韦达定理。

斜向线段问题一般转化横向或纵向问题。

设坐标一般设抛物线上点坐标，配合韦达定理能大大简化计算。