全国高考数学第二轮复习 选修4—5 不等式选讲 理

选修4—5 不等式选讲
真题试做
1．(2012·天津高考，文9)集合A ＝{ x ∈R |}|x －2|≤5中的最小整数为__________． 2．(2012·上海高考，文2)若集合A ＝{x |2x －1＞0}，B ＝{x ||x |＜1}，则A ∩B ＝__________.
3．(2012·江西高考，理15(2))在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为__________．
4．(2012·课标全国高考，理24)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．
5．(2012·辽宁高考，文24)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．
(1)求a 的值； (2)若⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．
考向分析
该部分主要有三个考点，一是带有绝对值的不等式的求解；二是与绝对值不等式有关的参数范围问题；三是不等式的证明与运用．对于带有绝对值不等式，主要考查形如|x |＜a 或|x |＞a 及|x －a |±|x －b |＜c 或|x －a |±|x －b |＞c 的不等式的解法，考查绝对值的几何意义及零点分区间去绝对值符号后转化为不等式组的方法．试题多以填空题或解答题的形式出现．对于与绝对值不等式有关的参数范围问题，此类问题常与绝对值不等式的解法、函数的值域等问题结合，试题以解答题为主．对于不等式的证明问题，此类问题涉及的知识点多，综合性强，方法灵活，主要考查比较法、综合法等在证明不等式中的应用，试题多以解答题的形式出现．
预测在今后高考中，对该部分的考查如果是带有绝对值的不等式，往往在解不等式的同时考查参数的取值范围、函数与方程思想等；如果是不等式的证明与运用，往往就是平均值不等式．试题难度中等．
热点例析
热点一 绝对值不等式的解法
【例１】不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为__________． 规律方法 1．绝对值不等式的解法
(1)|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ；|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a ； (2)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；
|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c ；
(3)|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 的解法有三种：一是根据绝对值的意义结合数轴直观求解；二是用零点分区间去绝对值，转化为三个不等式组求解；三是构造函数利用函数图象求解．
2．绝对值三角不等式
(1)|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |； (2)|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.
变式训练1 不等式|2x －1|＜3的解集为__________． 热点二 与绝对值不等式有关的参数范围问题
【例２】不等式|2x ＋1|＋|x ＋a |＋|3x －3|＜5的解集非空，则a 的取值范围为__________．
规律方法 解决含参数的绝对值不等式问题，往往有以下两种方法： (1)对参数分类讨论，将其转化为分类函数来处理；
(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f (x )的最值或值域，再根据题目要求，进一步求解参数的范围．
变式训练2 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；
(2)如果关于x 的不等式f (x )≤2有解，求a 的取值范围． 热点三 不等式的证明问题
【例２】(1)若|a |＜1，|b |＜1，比较|a ＋b |＋|a －b |与2的大小，并说明理由；
(2)设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a x ＋b x 2＜2.
规律方法 证明不等式的基本方法：
(1)证明不等式的基本方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
(2)不等式的证明还有一些常用方法：拆项法、添项法、换元法、逆代法、判别式法、函数的单调性法、数形结合法等．
其中换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性．
变式训练3 设f (x )＝x 2
－x ＋13，实数a 满足|x －a |＜1，求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)．
1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )． A ．M ＜N B ．M ＞N C ．M ＝N D ．不确定
2．若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|＜a ，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1) D ．(3,4)
3．已知集合A ＝{x ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝⎩
⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭
⎬⎫x ＝4t ＋1t
－6，t ∈(0，＋∞)，则集
合A ∩B ＝__________.
4．不等式|2x ＋1|＋|3x －2|≥5的解集是__________． 5．(2012·河北唐山三模，24)设f (x )＝|x －3|＋|x －4|， (1)解不等式f (x )≤2；
(2)若存在实数x 满足f (x )≤ax －1，试求实数a 的取值范围．
参考答案
命题调研·明晰考向 真题试做
1．－3 2．⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |12<x <1
3．⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬
⎫
－32
≤x ≤32
4．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，
2x －5，x ≥3.
当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；
当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；
当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a | ⇔－2－a ≤x ≤2－a .
由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0． 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．
5．解：(1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意．
当a ＞0时，－4a ≤x ≤2
a
，得a ＝2.
(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2，
则h (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1，x ≤－1，
－4x －3，－1<x <－12，
－1，x ≥－1
2
，
所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.
精要例析·聚焦热点 热点例析
【例1】{x |x ≥1} 解析：原不等式可化为： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧
－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，
∴x ∈或1≤x ＜2或x ≥2. ∴不等式的解集为{x |x ≥1}． 【变式训练1】{x |－1＜x ＜2}
【例2】－3＜a ＜1 解析：不等式|2x ＋1|＋|x ＋a |＋|3x －3|＜5的解集非空，即|2x ＋1|＋|3x －3|＜5－|x ＋a |有解，令f (x )＝|2x ＋1|＋|3x －3|，g (x )＝5－|x ＋a |，画出函数f (x )的图象知当x ＝1时f (x )min ＝3，故g (x )＝g (1)＝5－|1＋a |＞3即可，解得－3＜a ＜1.
【变式训练2】解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.
故f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，
2x ，x >1.
当x ＜－1时，由－2x ≥3，得x ≤－3
2
.
当－1≤x ≤1时，f (x )＝2，无解．
当x ＞1时，由2x ≥3，得x ≥3
2
.
综上可得，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞. (2)f (x )＝|x －1|＋|x －a |表示数x 到1的距离与到a 的距离和． 由f (x )≤2有解可得－1≤a ≤3. 故a 的取值范围为[－1,3]．
【例3】(1)解：|a ＋b |＋|a －b |＜2.
理由：(|a ＋b |＋|a －b |)2
－4
＝2|a |2＋2|b |2＋2|a 2－b 2
|－4
＝2(|a |2＋|b |2＋|a 2－b 2
|－2)．
设|a |2＋|b |2＋|a 2－b 2
|＝2t ，
其中t ＝max{|a |2，|b |2
}，
因为|a |＜1，|b |＜1，所以2t ＜2，
所以2(|a |2＋|b |2＋|a 2－b 2
|－2)＜0. 所以|a ＋b |＋|a －b |＜2.
(2)证明：因为|x |＞m ≥|b |且|x |＞m ≥1，所以|x |2
＞|b |. 又因为|x |＞m ≥|a |，
所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪b x 2
＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |
2
|x |2＝2. 故原不等式成立．
【变式训练3】证明：∵f (x )＝x 2
－x ＋13，
∴|f (x )－f (a )|＝|x 2－x －a 2
＋a | ＝|x －a |·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|. 又∵|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1| ≤|x －a |＋|2a －1|
＜1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)， ∴|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)． 创新模拟·预测演练
1．B 2．B 3．{x |－2≤x ≤5}
4．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫65，＋∞ 5．解：(1)f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
7－2x ，x <3，1，3≤x ≤4，
2x －7，x >4，
作出函数y ＝f (x )的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为52和9
2
.由图象知f (x )≤2的解集
为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤52，92. (2)函数y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线．
当且仅当函数y ＝f (x )与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设中的x .由图象易知，a 的
取值范围为(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞.。