2012年高等数学综合自测题参考答案

2012年重庆市普通高校专升本统一选拔考试
基础阶段《高等数学》综合自测题
参考答案
一．填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．）
1．极限301
sin sin 22lim x x x
x →-= ． 解：2330002
1sin sin 22sin ()
sin (1cos )sin 122lim lim lim[24()2
x x x x x x x x x x x x x →→→--==⋅
=⋅． 2．函数sin 21x
e y +=在点(0,)2
π处的切线方程是 ．
解：两边同时对x 求导，得2cos 20x
e y y '+=，解得2cos 2x
e y y
'=-，所以切线斜率为
02
2
12cos 22x
x x y y e k y y
π
π====
'==-
=
，从而切线方程为1
(0)22
y x π-=-，即20x y π-+=． 3．一阶线性微分方程sin sin y y x x '+=的通解是 ． 解：因为()sin P x x =，()sin Q x x =，所以
sin sin (sin )xdx xdx
y e x e dx C -⎰⎰=⋅+⎰cos cos (sin )x x e x e dx C -=⋅+⎰
cos cos ((cos ))x x e e d x C -=-+⎰cos cos ()x x e e C -=⋅+cos 1x Ce =+．
4．设函数,0(),0
x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =处连续，则a = ．
解：因为()f x 在点0x =处连续，可知()f x 在点0x =处左连续，又0
lim ()lim 1x
x x f x e --
→→==，(0)f a =，所以1a =．
5．已知2
341231413424
321=
D ，则11213141A A A A +++= ．
解：因为12342431413
21432
D =
2131
41r r r r r r +++=1023410431
10
132
10432
1234143110
11321432
=
11121314110(1111)A A A A =
⋅+⋅+⋅+⋅按第列展开
1121314110()
A A A A =+++0=，
（行列式中有两列成比列，行列式的值为零），所以112131410A A A A +++=． 二．选择题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．）
6．设函数)(x f 可微，则)1(x
e f y --=的微分dy =（ D ）．
A ．dx e f e x x
)1()1('---+ B ．dx e f e x x )1()1('----
C ．dx e f e
x x
)1('---- D ．dx e f e x x )1('---
解：因为[(1)][(1)](1)(1)x
x
x
x
x y f e f e e e f e -----'''''=-=--=-，所以(1)x x dy e f e dx --'=-．
7
．设n u =，32n n v n =，则（ A ）．
A ．
1n
n u
∞
=∑收敛，
1
n
n v
∞
=∑发散 B ．
1n
n u
∞
=∑发散，
1n
n v
∞
=∑收敛
C ．
1
n
n u
∞
=∑，
1
n
n v
∞
=∑均发散 D ．
1
n
n u
∞
=∑，
1
n
n v
∞
=∑均收敛
解：因为8
5
1n u n
=
≤
=
，又
81
5
1n n
∞
=∑
为p-级数且
8
15
>，是收敛的，所以由比较审敛法，可知1n n u ∞=∑收敛．因为1
3
3132(1)lim lim lim 2()2121n n n n n n n
v n n v n n
++→∞→∞→∞+==⋅=>+，所以由比值审敛法，可知1n
n v ∞
=∑发散．
8．设函数1
)
1sin()(2--=
x x x f ，则（ B ）．
A ．1-=x 为可去间断点，1=x 为无穷间断点
B ．1-=x 为无穷间断点，1=x 为可去间断点
C ．1-=x 和1=x 均为可去间断点
D ．1-=x 和1=x 均为无穷间断点
解：由题可知，1,1x x =-=为间断点．
因为21
11sin(1)1sin(1)
lim ()lim
lim 11(1)
x x x x x f x x x x →-→-→---==⋅=∞-+-，所以1-=x 为()f x 的无穷间断点． 因为21
11sin(1)1sin(1)1lim ()lim
lim 11(1)2
x x x x x f x x x x →→→---==⋅=-+-，且()f x 在1=x 处无定义，所以1=x 为
()f x 的可去间断点．
9．
22
sin xdx π
π-=⎰（ D ）
． A ．0 B ．π C ．2
π
D ．2 解：令()sin f x x =，则()f x 在[,]22ππ
-
上为偶函数，所以2
202
sin 2sin xdx xdx π
π
π-=⎰⎰
202(cos )2x π
=-=．
10．设A ，B 均为n 阶方阵，则下列各式中成立的是（ B ）．
A ．A
B A B +=+ B ．AB BA =
C ．()T
T
T
AB A B = D ．AB BA =
解：因为A B A B +≠+，()T
T
T
AB B A =，AB BA ≠，AB A B B A BA ===，所以选B ． 三、计算、应用与证明题（本大题共10小题，每小题8分，满分80分。

） 11．求极限0tan lim
sin x x x
x x
→--．
解：2
2
2
200001
2sec 12sec tan 1cos lim
lim lim
lim 221cos sin cos x x x x x x x x
x x x
x x
→→→→⋅
⋅-===⋅=-．
12
．求不定积分
．
解：令t =2
ln(1)x t =-，2
21
t
dx dt t =
-，所以
2212112211(1)(1)t dt dt dt t t t t t =⋅==--+-⎰⎰⎰11()11dt t t =--+⎰
1ln 1ln 1ln ln 1t t t C C C t -=--++=+=++．
13
．已知ln(z x = ，求x
z
∂∂ ，x y z ∂∂∂2 及dz ．
解：1z x ⎛⎫∂ =
+= ∂⎝，y z ∂∂=222222y x x y x y
+++=2222y
x y x x y
+++，
x y z ∂∂∂2=222222222)(222y x y x x x y x x x y x y +++⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛++++-=()
2222222223222y
x y x y x x y x xy y y x +++++++-，
z z
dz dx dy x y
∂∂=
+=+
∂∂．
14．计算
2
2()D
x
y x dxdy +-⎰⎰，其中D 是由三条直线2y =，y x =以及2y x =所围成的平面图形的
面积． 解：（图形同学们自己画）
如图所示，积分区域为1
{(,)02,
}2
D x y y y x y =≤≤≤≤，所以 2
222223210
219313
()()()2486
y
y
D
x y x dxdy dy x y x dx y y dy +-=+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰． 15．求微分方程440y y y '''-+=满足初始条件01x y ==，00x y ='=的特解．
解：该微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其对应的特征方程为2
440λλ-+=，解得
122λλ==，其通解为212()x y C C x e =+，又22212212[()]2()x x x
y C C x e C e C C x e '=+=++，由01x y ==，
00x y ='=，得121102C C C =⎧⎨
=+⎩，解得1212
C C =⎧⎨=-⎩，所以，该微分方程的特解为2(12)x y x e =-． 16．求幂级数211
n
n n x n ∞
=+∑的收敛半径和收敛区域． 解：因为2
21
1lim lim 1(1)2
n n n n n a
n R n a n →∞→∞++===++，可得该幂级数的收敛半径为1R =．
当1x =-时，原级数为21
(1)1n
n n n ∞
=-+∑，是发散的（因为2
lim(1)01n n n n →∞-≠+）；
当1x =时，原级数为21
1n n n ∞
=+∑，是发散的（因为2
lim 01n n n →∞≠+），所以原级数的收敛区域为(1,1)-．
17．求线性方程组1234123412343133445980
x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪
--+=⎨⎪+--=⎩的通解．
解： 11311()3134415980A A B --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
12
13
(3)(1)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→
113110467104671--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥---⎣⎦
14
r ⨯−−→
4412440467104671--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
21
23
r r r r ++−−−→
406350467100000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
111
41()
4r r ⨯
⨯-−−−→
335102443710124400000⎡
⎤-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，可见()()34r A r A ==<，所以方程组有无穷多解，其同
解方程组为134
234533424137424
x x x x x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩（其中3x ，4x 为自由未知量）．
令3142,x k x k ==，则有1122123142533424137424x k k x k k x k x k ⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪=⎪⎪=⎩，即11
2212312412533()424
137424010001x k k x k k
x k k x k k ⎧
=++-⎪⎪⎪=-++⎨⎪=+⋅+⋅⎪⎪=+⋅+⋅⎩．
所以原方程组的通解为
121234533424137424010001x x k k x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦12
(,)k k R ∈． 18．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=612132015A , ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=530212C 满足
X C AX 2+=, 求X ．
解：由X C AX 2+=，得C X E A =-)2(⇒C E A X 1
)2(--=
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--=5302121103121014551⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111703
． 19．求函数2
61x
y x
=
+的凹凸区间和拐点． 解：函数的定义域为(,)-∞+∞，222266(1)()1(1)x x y x x -''==++，222223
6(1)12(3)
[](1)(1)x x x y x x ---'''==++， 令0y ''=
，得x =
所以，曲线在(,0)和)+∞上是凹的，在(,-∞和上是凸的，曲线的拐点为
(、(0,0)和． 20．求由抛物线2
y x =与直线2y x =-、0y =所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得x V 、
y V ．
解：1
2
22
2
01
118()(2)5315
x V x dx x dx ππ
πππ=+-=+=⎰⎰， 112
20011(2)6
y V y dy dy πππ=--=
⎰⎰．。