八年级数学下册3.2图形的旋转典型例题素材北师大版(new)

图形的旋转
典型例题
例1 如下左图所示，作出△ABC绕点O顺时针方向旋转60°后的三角形。

分析由图形旋转的特征可知，点A、B、C都绕点O旋转60，这样我们只需找到A、B、C三点分别绕点O旋转后的对应点，再顺次连结此二点就可以得到所求图形。

解如上右图所示，⑴连OA、OB、OC;
⑵分别以OA、OB、OC为一边按顺时针方向作∠AOD、∠BOE、∠COF，使得
∠AOD=∠BOE=∠CDF=60°；
⑶分别在射线OD、OE、OF上截取OD=OA、OE=OB、OF=OC；
⑷连结DE、EF、FD；
△DEF就是ABC绕点O顺时针方向旋转60°后的三角形。

点评在利用旋转的基本特征作图时注意三要素：⑴旋转中心到对应点的距离相等；⑵旋转的角度；⑶旋转的方向。

例2 如图，在等腰Rt△ABC中∠BAC=90°,M、N分别是BC上的两点,若BM=3,MN=5，NC=4，则∠MAN的度数为( )
A、32°
B、45°
C、60°
D、75°
分析由于点B、M、N、C在一直线上,条件比较分散，不易直接求出∠
MAN 的度数,但题中告知BM=3,MN=5,CN=4,正好集中在同一个直角三角形中，这是解答本题的关键，由于△ABC 是等腰直角三角形，所以将△ABM 绕着点A 顺时针旋转90°,得△ACP ，由旋转性质1得到∠MAP=90°，由旋转性质2可以得到△ACP ∽△ABM ，则CP=BM=3,∠B=∠ACP=45°,∠BCP=90°，连结NP ，由勾股定理得MN=5,由SSS 判定定理，得到△AMN ≌△APN,
即∠MAN=∠NAP=2
1∠MAP=45°,故选(B) 点评 在已知条件中，已知量与所求量没有直接联系,而当图中有等腰直角三角形或正方形给出，这时往往将图中的基本图形绕着等腰直角三角形或正方形的直角顶点旋转90，将分散的条件集中起来，把已知条件联系在一起.“化整为零"，事半功倍地解决了问题。

例3 如图，在凸四边形中，∠ABC=30°，∠ADC=60°,AD=DC 。

求证：222BC AB BD +=
分析 要证的结论中三条线段应该是一个直角三角形的三边长，因此如何把BD,AB ，BC 放在同一个直角三角形中，是解答本题的关键.
解 连结AC,∵∠ADC=60°,AD=DC,
∴△ADC 是一个等边三角形，将△DCB 绕着点C 顺时针旋转60°，得到△ACP ，由旋转性质，得到△DCB ≌△ACP 。

∴BC=CP ，DB=AP ，由旋转性质,得出∠BCP=60°，即BCP 是等腰三角形，
∴BC=BP,∠CBP=60°，
∵ABC=30°,∴∠ABP=90°,由勾股定理得222BP AB BP +=
即222BC AB BD +=
点评 条件和结论的联系不明显，但是从结论上已经给我们暗示一条思路，而题中有一个等边三角形，我们习惯于绕着等边三角形某一个角的顶点旋转60°,使分散的条件集中起来，从而使辅助线的添加显得自然流畅，同时也使解题过程变得简捷而有趣。

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