[高等教育]北工大 线性代数课 习题答案 王中良 教辅

[高等教育]北工大线性代数课习题答案王中良教辅北工大 线性代数 习题解答 王中良版线性代数习题解答习题一1 计算下列行列式。

(1)4273-=12+14=26(2)213132321=(3)00)1(0000003zy z x yx z y z x y x zy z x y x ----=---=---0=∴D(4)31221331222113121100a a a a a a a a a -=2．解三元线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x解：5011112221,1011312121,5110311122,5143261111312121321-=---=-=----=-=----=-=+-++--=----=D D D D11=∴x , 22=x , 13=x .3. 求下列排列的逆序数，并指出奇偶性。

(1) 354612 解：τ=4+4+1=9 奇排列（2）7563421 解：τ+6+5+3+3+1+1=19 奇排列 (3) 345...n21 τ=n-1+n-2=2n-3 奇排列 （4）(n-1)(n-2)...21n τ=(n-2)+(n-3)+ (1)当n=4m 时，排列为奇排列；当n=4m+1时，排列为偶排列； 当n=4m+2时，排列为偶排列；当n=4m+3时，排列为奇排列。

4．求i 、j 使（1）2i68j431为奇排列 解：i=5, j=7. (2) 162i54j8 为偶排列 解：i=7 , j=3.5．在5阶行列式中，下列各项的前面应带什麽符号？(1)aa a a 3124135542a解：因为τ（34125）=2+2=4，所以此项前面的符号为“+”。

(2)53453124124512532431a a a a a a a a a a =解：因为τ（24153）=2+2=4，所以此项前面的符号为“+”。

6．写出4阶行列式展开式中所有带负号且含元素a 32的项。

解.;;433221144132241344322311a a a a a a a a a a a a ---7．按定义计算行列式： (1)4133221441322314443223114433221144413332232214110000000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=(2)!)1(000010020010002)1(n nn n n --=-(3)!)1(0001000000200000101n n n n --=-(4)!)1(00000000100200010002)2)(1(n nn n n ---=-8．由行列式定义证明：000000000052514241323125242322211514131211=a a a a a a a a a a a a a a a a证：展开式中任意一项为5432154321j j j j j a a a a a ,而543,,j j j 中至少有一个取到3、4、5中的一个，所以543543,,j j j a a a 中至少有一个数为零。

故行列式的所有项均为零----即行列式为零。

9．由定义计算f(x)=x x x x x 111123111212-中4x 与3x 的系数，并说明理由。

解：4x 项必在xx x x ⋅⋅⋅2中出现，故系数为2；3x 项必在3443321121xx x x a a a a -=⋅⋅⋅-=-中出现，系数为-1。

10．计算行列式： (1)8134222315120032004200222315199203196222315=---=-+--=-(2)447)47(412415231314121152131431-=-⨯=----=----(3)48)13(631111311333111133=-⨯=(4)yxyx x y x y y x y x +++=xy x y x yx yy x y xy x x y x y x y x y y x ---++=+++++001)(2)(2)(2)(2=)(2))((2))((2332222y x y xy x y x y xy x y x +-=+-+-=-+-+(5)1001000110110011110011111111111111111111x xyy y y x x x y y x x ++=--+--+=-+-+ =22y x y x xy =⋅⋅(6)964412964412964412964412)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(22222222222222222222++++++++++++=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a d d d d c c c cb b b b a a a a 11．计算行列式 (1)12)21)(31)(32)(41)(42)(43(1827641491612341111=------=(2)22)]2(1[21430021413221371014306590218210004100032-=-⨯=-⋅-=--12.用行列式按一行（列）展开公式计算行列式： (1)573010970111113743102941111200011723621431524021---=------=-----=726)327399(-=+-(2)22220290121341045201212301721224231212301-=-----=-----=--(3)100492242110452222542452222-----=------=-----λλλλλλλλλλ)10()1()1011)(1(9242)1(22--=+--=-----=λλλλλλλλ(4)10024121212202812323142281272------=--------=+------λλλλλλλλλλ22)3)(1()96)(1(--=+--=λλλλλ阶行列式：计算下列n .13(1)ab ba b a b a 000000000000 1110000000)1(00000000000000000000000000-+-⋅⋅-+⋅=n n n b a b a b b a b a a b a b a b a an n n ba 1)1(+-+=(2)nna a a a a a a a a a00000010101111111111113121121---++++=+++=nna a a a a a a a a a a000000000001111121113121--+---=3213212111010*********a a a a a a a a a a nn+---=10101111122121nnna a a a a a a a ++++na a a 21=∑=+ni in a a a a 121)11(方法二：=+++++++++=nn a a a D 10101011010101121nn a a a a a a100100010001010010100013132+na a a a a a000010010010010021321+++1(121211213132+=++++=-n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a )11(121∑=+=ni in a a a a方法三：nn n n a a a a a a D1001001111111111101110111121)1(21---=+++=+100010111111010*********211212121ni i nnna a a a a a a a a a a a ∑=+=---=)11(121∑=+=ni in a a a a(3)])!2[()2(200001002222001222232222222221-⋅-=--=n n n(4)2222100012000002100012100012---==n n n D D D4,3,2321211===-=-∴---D D D D D D D n n n n 又1+=∴n D D n n 是一个等差数列，说明.(5)nn n n nn b a b a b a b a b a b a b a b a b a ---------212221212111解：())(())((,211221221122122111a b a b a b a b a b a b a b a b a n ==-----=----= 时n nnnn n n aa ab aa ab a a a b b b b a b b b a b b b a D n1221111323223113----------=≥时，000=+=到上到后面的各列上去即得右边行列式的第一列加加到后面各列上去；将左边行列式的第一两个相应的行列式，将的第一列拆分后，得到注：将n D ⎪⎩⎪⎨⎧---=---------=-0)((11211111112121212111bb a a b a a a a a a a a a a a a a b a b a b a D D n n n n n n 得）加到其他各行上去，第一行乘（将方法二：是成比例的。

从第二行起任意两行都时，注：显然，当n D n 3≥()1(010010011111.141021210aa a a a a a a a a ni in n-=∑=其中）（试证：0010001010010101011),,,2,1(2111021111021221∑=-===a a ni a n a a a n i i ina a a a a a a a D n i a得列提出因子证明：从第二列起，各结论成立。

由数学归纳法知，上述由于时，上述结论成立大于假设当行列式的阶数不时当证明：用数学归纳法证ba b a b a ab b a b b a ab a ba ba ab b a b a b a abD D b a D n ba ba ab b a D n ba b a b a abb a abb a ab b a n n n n n n n n n n n n n n n n n --=----+-=--⋅---+=-+=--=-+==--=++++++++----++11111121332211)()()(2111)2(命题得证。

又时，命题成立于假设行列式的阶数不大时证明：由数学归纳法n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x x a D x a x x D x D n a x a x xa a x D n a x a x a x xa a a a a x x x x +++++=++++=+⋅=--⋅-+⋅=++=+-==++++=+------------+-----122111221111112121221111221(11)1(121000000000100001)3(αααααn cos cos 21000cos 210001cos 210001cos )4(=ααααααααn n D D D D n D n n n n n c )2cos()1cos()cos 2(cos 212cos 1cos 2cos 211cos 22122=---⋅=-⋅=-≤=-===--按最后一行展开，得对时命题成立假设阶数时证明：用数学归纳法∏∏≤<≤=++-+---+--++----⋅-==+ni j j ini i n n n n n n n n n n n n n n n n nn nn nn n n a aa a aaaa a a a a a a a a D n a a a a a a a a a n 1111211112112122211211212222121)()(11111111.15阶范德蒙行列式解：造）（阶行列式：计算∏∏≤<≤≤<≤-+++-+----++-⋅+++=-⋅+⋅+++-=-ni j j in ni j j in n n n n n n n nnn n n nn n nn n n a aa a a a aa a a a a D a a a a a a a a a a a D 121111211111212222121111)()()(])([111比较之，原式而且只有这一项含有有一项为按最后一列展开，其中将将各列都加到第一列上法时，我们会有另一种解注：显然，与上式联立，消去的对称性，还可以得到、由解：原式→=----=-+-=-+-=---+-=+-=+-+++==-----c b cb b ac c a b D c b a D c a D c b b c a D b a bcc ca cbc a D b a c c a c b a b a b a c b b a bb ac c c bac c bba c bb b a ac cc ba c c bb ac b b b a D nn n n n n n n n n )()(,)()()()(000)(00)(000)2(11111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++-=++=++-202522432)1()16(432`14313214321x x x x x x x x x x x x x x 性放程组：用克莱姆法则解下列线312352101412305210014011213111221000212121331232130145230221051405121111112105021412111==-=--=-=-=-=-=D D 解：2,1,0,162,31011212105022412314321432===-=∴-=-==-=x x x x D D D ，类似有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=++=++-=++=+45265265265165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x1,1,1,1,1665,665,665,665,665,66551000651000651000651000655432154321-==-==-=∴-==-==-===x x x x x D D D D D D 解：)(2132111000110000001110000111000011.3,,2,1,8,5,3,2,1:).17(阶试证：满足递推关系：数列n n n n n F n F F F F F F Fibonaci ---=≥+===--121)1(110000000000011100111000011---+=⋅--=---=n n n n F F F F F证：0111,),(),,().18(221121222111=y x y x y xM M y x M y x M 的直线方程是，试证过是平面上两个不同的点设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++∴=++0002211cy bxa cy bx a cy bx a cy bx a 平面上的直线方程为证： 应有系数行列式不全为零∴cb a ,,01112211=y x y x y x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-++=+++=-+++-=++=++=-++=++=--0702400724).7,1(),1,2(),1,1().19(222tc batc b a t c b a ty cby ax cba t cb a tc b a t c bx ax ty c bx ax ty y 得由解：设抛物线方程为试求该抛物线方程轴的抛物线过三点：已知对称轴平行于即为所求。