[高等教育]北工大 线性代数课 习题答案 王中良 教辅

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北工大 线性代数 习题解答 王中良版

线性代数习题解答

习题一

1 计算下列行列式。 (1)

4

273-=12+14=26

(2)

213132321=

(3)

00)1(0000003z

y z x y

x z y z x y x z

y z x y x ----=---=---0=∴D

(4)

31221331222113

12110

0a a a a a a a a a -=

2．解三元线性方程组：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-+-=-+-=+-0

13222321321321x x x x x x x x x

解：

50

1

1

1122

21

,101

1

312

121,51

10311122,51432611

1

1312

121321-=---=-=----=-=----=-=+-++--=----=D D D D

11=∴x , 22

=x , 13=x .

3. 求下列排列的逆序数，并指出奇偶性。 (1) 354612 解：τ=4+4+1=9 奇排列

（2）7563421 解：τ+6+5+3+3+1+1=19 奇排列 (3) 345...n21 τ=n-1+n-2=2n-3 奇排列 （4）(n-1)(n-2)...21n τ=(n-2)+(n-3)+ (1)

当n=4m 时，排列为奇排列；当n=4m+1时，排列为偶排列； 当n=4m+2时，排列为偶排列；当n=4m+3时，排列为奇排列。 4．求i 、j 使

（1）2i68j431为奇排列 解：i=5, j=7. (2) 162i54j8 为偶排列 解：i=7 , j=3.

5．在5阶行列式中，下列各项的前面应带什麽符号？

(1)

a

a a a 312413

55

42a

解：因为τ（34125）=2+2=4，所以此项前面的符号为“+”。 (2)

53

453124124512532431a a a a a a a a a a =

解：因为τ（24153）=2+2=4，所以此项前面的符号为“+”。

6．写出4阶行列式展开式中所有带负号且含元素a 32的项。 解

.

;;433221144132241344322311a a a a a a a a a a a a ---

7．按定义计算行列式： (1)

41

33221441322314443223114433221144

41

3332232214110

000000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=(2)

!)1(0

00

0100

2001

0002)

1(n n

n n n --=-

(3)

!

)1(0

001

000000200000101n n n n --=-

(4)

!)1(0000

00001002000

10002)2)(1(n n

n n n ---=-

8．由行列式定义证明：

00

0000000052

514241323125

242322211514131211=a a a a a a a a a a a a a a a a

证：展开式中任意一项为

5

432154321j j j j j a a a a a ,而

543,,j j j 中至少有一个取

到3、4、5中的一个，所以

5

43543,,j j j a a a 中至少有一个数为零。故行

列式的所有项均为零----即行列式为零。 9．由定义计算

f(x)=

x x x x x 1111

23111212-中4x 与3x 的系数，并说明理由。解：

4x 项必

在

x

x x x ⋅⋅⋅2中出现，故系数为2；3x 项必在

3

443321121x

x x x a a a a -=⋅⋅⋅-=-中出现，系数

为-1。

10．计算行列式： (1)

81

342223

15120032004200222315199203196222315=---=-+--=-

(2)447

)47(412

4152

31

3

14

1

2

1

1

52131

431-

=-⨯=----=----

(3)

48)13(631

11

1311333111133

=-⨯=

(4)

y

x

y

x x y x y y x y x +++=

x

y x y x y

x y

y x y x

y x x y x y x y x y y x ---++=+++++001)(2)(2)(2)(2=)(2))((2))((2332222y x y xy x y x y xy x y x +-=+-+-=-+-+

(5)