2022-2023学年山东省青岛市青岛第十六中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市青岛第十六中学高一上学期期中数学试题
一、单选题1．设集合，若，则等于（ ）
{}{},,2,5==+A a b B a {}2A B ⋂=A B ⋃A ．{0,2}B ．{0,5}C ．
D ．{0,2,5}
{}
0,2,2,5【答案】D
【分析】根据集合中元素与集合的关系求解参数，即可得集合，再按照并集运算即可求解.,a b ,A B 【详解】解：若
，则，，又
{}2A B ⋂=2A ∈2B ∈{}{},,2,5==+A a b B a 所以，即，则，所以，于是有
22a +=0a =2b ={}{}0,2,2,5A B =={}0,2,5A B ⋃=故选：D.
2．命题
的否定是（ ）20,0x x x ∀≥-≥A ．
B ．
2
0,0∀≥-<x x x 2
0,0∀<-<x x x C ．D ．
2
0000,0
∃≥-<x x x 20000,0
x x x ∃<-<【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】解：命题
为全称量词命题，2
0,0x x x ∀≥-≥其否定为：.
2
0000,0∃≥-<x x x 故选：C
3．函数的定义域为，值域为，则图像可能y f x =（）
{}|22M x x =-≤≤{}|02N x x =≤≤()y f x =是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】根据题意和函数的概念，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数
的定义域为
，值域为，
()
y f x ={}22M x x =-≤≤{}|02N x x =≤≤对于A 中，函数的定义域为，不符合题意；
[2,0]-对于B 中，函数的定义域为，值域为，符合题意；
[2,2]-[0,2]对于C 中，根据函数的概念，一对一对应和多多对一对应是函数，而C 项中出现一对多对应，所以不是函数，不符合题意；
对于D 中，函数的定义域为，但值域为，不符合题意.[2,2]-[0,1]故选：B
4．“，不等式成立”的充要条件是（ ）
x ∀∈R 2
210ax ax ++>A ．B ．02a <≤01a ≤<C ．
D ．1
02
a
≤≤11
a -<≤【答案】B
【分析】根据二次不等式恒成立得
，再根据充分必要条件的概念求解即可.
[)
0,1a ∈【详解】当时，，该不等式成立；
0a =10>当
，即时，该不等式成立；20Δ440a a a >⎧⎨=-<⎩01a <<综上，得当时， 关于的不等式恒成立，01a ≤<x 2
210ax ax ++>所以，关于的不等式恒成立的充分必要条件是．
x 2
210ax ax ++>01a ≤<故选：B.5．函数
的图象是（ ）
1
11y x =-
-
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】利用函数的定义域、特殊点的函数值确定正确选项.【详解】依题意的定义域为，由此排除CD 选项.
1
11y x =-
-{}|1x x ≠当时，，由此排除A 选项.
0x =1
1201y =-
=-故选：B
6．某地供电公司．为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量x （度）与相应电费y （元）之间的函数关系如图
所示，当夜间月用电量为300度时，应交电费为（ ）
A ．130元
B ．140元
C ．150元
D ．160元
【答案】D
【分析】结合函数图像求出
，代入数值即可求出结果.
()1
101002y x ,x ,=
+∈+∞【详解】结合函数图像可知，当
时，与之间是一次函数，设
()
100x ,∈+∞y x ()
100y kx b,x ,=+∈+∞当时，；当时，；100x =60y =200x =110y =则，解得，
60100110200k b k b =+⎧⎨=+⎩1210k b ⎧=⎪
⎨⎪=⎩此时
；
()1
101002y x ,x ,=
+∈+∞所以当时，，300x =1
30010160
2y =⨯+=故选：D.
7．设，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）111
33
2
224(),(),(355-===a b c A ．B ．a b c
>>a c b
>>
C ．
D ．c a b >>b c a
>>【答案】C
【分析】由题意利用指数函数､幂函数的单调性，得出结论．
【详解】解：∵
，3
12
11322,,3455a b c -
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭函数是增函数，，∴，∴，且1
3
y x =22
35>3
113
2235⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b >1a b
>>又，即，1
12
245()1
54-⎛⎫=> ⎪⎝⎭1c a b >>>综上可得，，c a b >>故选：C.
8．设，，当时，恒有，则（ ）
a R
b ∈0x ≥4332
12-+-≤+≤-x x ax b x x a b +=A ．B ．0C ．1D ．2
1-【答案】A
【分析】令得到，即可得解.
1x =11a b -≤+≤-【详解】解：因为当时，恒有，
0x ≥4332
12-+-≤+≤-x x ax b x x 令则，即，
1x =4332
111121a b -+-≤+≤-⨯11a b -≤+≤-所以.1a b +=-故选：A
二、多选题
9．对实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则a b <a c b c -<-22a b <33
a b
<C ．若则
D ．恒成立
2
2
0,0,,≠≠<a b ac bc 11b a <
22
245a b a b +≥--【答案】AD
【分析】由不等式的性质可判断A ；取特值可判断B ，C ；作差判断D.【详解】对于A ，若，则，故A 正确；
a b <a c b c -<-对于B ，若，，则
，则，故B 不正确；2,3a b =-=-22a b <338,27a b =-=-33a b >对于C ，若，满足，
，则C 不正确；2,2,1=-==a b c 22ac bc <11
b a >
对于D ，
，所以，
()()22
22245120
a b a b a b +-++=-++≥22
245a b a b +≥--故D 正确.故选：AD.
10．高斯是历史上最有影响力的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，高斯函数表示
[][](),=f x x x 不超过x 的最大整数，如，则（ ）
[][]1.61, 1.62=-=-A ．B ．(1)()1f x f x +=+()()()
≤f xy f x f y C ．D ．对任意()()()f x y f x f y +≥+*
,()()
∈≥n N f nx nf x 【答案】ACD
【分析】令，则，则，代入ACD 分析，即可判断，令，{}[]x x x =-0{}1x ≤<{}[]x x x =+3
,2
2x y ==可判断B.
【详解】令，则，且，
{}[]x x x =-0{}1x ≤<0,[]0x x ∀≥≥选项A ，，正确；
(1)[1][{}[]1][]1[{}][]1()1f x x x x x x x f x +=+=++=++=+=+选项B ，令，则，错误；3
,2
2x y ==33()(3)[3]312[][2]()(2)=()()22f xy f f f f x f y ===>⨯=⨯=选项C ，，正()[][{}[]{}[]][][][{}][{}][][]()()f x y x y x x y y x y x y x y f x f y +=+=+++=+++≥+=+确；
选项D ，，正确.()[][({}[])][[]{}][][{}][]()f nx nx n x x n x n x n x n x n x nf x ==+=+=+≥=故选：ACD
11．设正实数a ，b 满足，则下列说法正确的是（ ）21a b +=
A B ．有最小值141a b b +
++92C ．有最小值D ．有最大值1
2
2
a b +1
5
8
ab 【答案】ABC
【分析】根据正实数a ，b 满足，结合基本不等式和二次函数求最值即可判断.21a b +=
【详解】解：对于A ，正实数a ，b 满足，所以21a b +=2a b +≥1≥
，即
，故A 正确；≤
2a b =11,24a b ==
对于B ，，当且仅当()()()4141
4111915112122
a b b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫++⎛⎫⎡⎤+=++++⨯=++⨯≥ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭，即时等号成立，则有最小值，故B 正确；()411a b b a b b ++=++11
,33a b ==141a b b +++92对于C ，正实数a ，b 满足，则，故
，所以
21a b +=120a b =->1
02b <<
，则当时，有最小值，故C 正确；
()2
2
2
2
2
2
21125415
55a b b b
b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭25b =22a b +15对于D ，由A ，所以，则，故有最小值64，故D 错误.
≤
18ab ≤18
ab ≥864ab ≥8
ab 故选：ABC.12．已知函数
，则（ ）
()3233f x x x x
=++A ．f (x )是奇函数
B ．f (x )图象关于（—1，—1）对称
C ．f (x )在区间（—∞，+∞）上单调递增
D ．当
时，
12,(1,)x x ∈-+∞1212()()
(
22
++≤x x f x f x f 【答案】BCD 【分析】计算
可判断A ；验证
可判断B ；求导判断导函数正负可
())
1,(1f f -()2()2
f x f x --=--判断C ，作差验证
可判断D.1212()()(
)022x x f x f x f ++-≤【详解】选项A ，由于，故
不是奇函数，错误；
()7,(1)1
1f f =-=-()
f x 选项B ，
()32322(2)3(2)3(2)332()2
f x x x x x x x f x --=--+--+--=----=--故f (x )图象关于（—1，—1）对称，正确；选项C ，恒成立，故f (x )在区间（—∞，+∞）上单调递增，正确；
()223633(1)0
f x x x x '=++=+≥选项D ，
1212()()
(
22
x x f x f x f ++-3232
321212121112223333()3(3()2222x x x x x x x x x x x x ++++++++=++-
32232232321122121122112233+36333=842
x x x x x x x x x x x x x x ++++++++-
212123()()
[1]
42
x x x x -+=--
由于，，故，又，12,(1,)x x ∈-+∞12
12x x +>-12102x x +--<2
123()04x x -≥故，正确.
1212()()
(
)22++≤x x f x f x f 故选：BCD
三、填空题13．已知集合，则 __________．
{}{
}1
(,)|,(,)|-====A x y y x B x y y x A B = 【答案】
()(){}
1,1,1,1--【分析】解方程组，即可得.1
1y x
y x x -=⎧⎪
⎨==⎪⎩
A B ⋂【详解】联立，解得或，1
1y x y x x -=⎧⎪
⎨==⎪⎩11x y =⎧⎨=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩故
.
()(){}1,1,1,1A B =-- 故答案为：
.
()(){}1,1,1,1--14．已知是定义在上的偶函数，且在
上单调递减，，则不等式
()f x R ()f x ()0,∞+()30f -=的解集为___________．
()0xf x >【答案】
()()
,30,3-∞-⋃【分析】根据函数
的奇偶性、单调性以及符号法则即可解出．
()
f x 【详解】因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在
上单调递减，，所以
()0,∞+()30f -=，且
在
上单调递增．因此，当时，，当时，
()30
f =()
f x (),0∞-<3-x ()0f x <30x -<<，当时，
，当时，
，
()0
f x >03x <<()0
f x >3x >()0
f x <所以的解集为．
()0xf x >()(),30,3-∞-⋃故答案为：
．
()(),30,3-∞-⋃15．若函数是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是___________
()28,1,
2,1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪
=⎨>⎪
⎩
【答案】
[]32--，
【分析】分段函数在R 为增函数，各段分别为增函数，再满足断点处为增函数即可得出答案.
【详解】由题意得：12{032
29a
a a a a
-
≥<⇒-≤≤-≥--故答案为：
[]32--，
16．已知不等式的解集，若对不等式成2
10ax bx ++>1|12x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭4,)[,∀∈+∞x 220--≥bx mx a 立，则实数的最大值为______________．m 【答案】5
【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，代入所求不等式，利用二次函数根的分布列不等,a b 式即可得实数的最大值.
m 【详解】解：不等式的解集，则方程的两根为，2
10ax bx ++>1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭210ax bx ++=1,12-且，所以，解得，
a<01
121112b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩21a b =-⎧⎨=⎩所以不等式为，对不等式恒成立，则
2
20--≥bx mx a 240x mx -+≥[4,)x ∞∀∈+①，解得，
2424440m m ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩5m ≤或②，无解.2
424022m m m m ⎧>⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩综上，，所以实数的最大值为.5m ≤m 5故答案为：5.
四、解答题
17．已知全集，集合
，集合，集合R U =6R |10A x x ⎧⎫
=∈->⎨⎬
⎩⎭{}R |125B x m x m =∈+≤≤+
．
{
}2Z |20
C x x x =∈--+>(1)写出集合C 的所有子集：
(2)若，求实数m 的取值范围．R B A ⊆ 【答案】(1){}{}{}
,1,0,1,0∅--(2)或
4m <-112
m -≤≤
【分析】（1）求出集合，再根据子集的定义即可得解；
C （2）分和两种情况讨论，列出不等式，从而可得出答案.
B =∅B ≠∅【详解】（1）解：，{}
{}2Z |201,0C x x x =∈--+>=-所以集合的子集有
；
C {}{}{},1,0,1,0∅--（2）解：或，{6R 106
A x x x x ⎧⎫
=∈-=>⎨⎬⎩⎭}0x <则
，
{}R 06A x x =≤≤ 因为，
R B A ⊆ 当，即时，，符合要求，
125m m +>+4m <-R B A =∅⊆ 当时，则，
4m ≥-B ≠∅所以
，解得
，
4
10256m m m ≥-⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
112m -≤≤
综上所述实数m 的取值范围为或
.
4m <-112m -≤≤
18．当时，函数满足
1x ≥-()f x ()22,10+1=1
,0x x f x x x ---≤≤⎧⎪
⎨>⎪⎩(1)求时的解析式
0x ≥()
f x (2)若
为上的奇函数，求
的值并作出的图象．
()
f x R ()()4f f -()f x
【答案】(1)
()[]()2,0,11
,1,1x x f x x x ∞⎧-∈⎪=⎨∈+⎪-⎩(2)
；的图象见解析
()()2
43f f -=
()f x 【分析】（1）令反解出，分类讨论和，即可求出的解析式.1t x =+x 10x -≤≤0x >()f x （2）由
的奇偶性求出
，由（1）中的解析式结合奇偶性画出的图象．
()
f x ()()4f f -()f x 【详解】（1）当时，，10x -≤≤()122f x x +=--令
，所以，所以，
[]10,1t x =+∈1x t =-()()2122f t t t
=---=-当时，，
0x >()1
1f x x +=
令
，所以，所以
，
()
11,t x ∞=+∈+1x t =-()11f t t =
-所以，
()[]()2,0,11
,1,1x x f x x x ∞⎧-∈⎪=⎨∈+⎪-⎩（2）因为
为上的奇函数，所以
，
()
f x R ()()11
44413f f -=-=-
=--.
1122
3333f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭所以
.
()()2
43f f -=
的图象如下图所示，
()
f x
19．已知关于的函数是偶函数，且其图象过和两点．
x ()2g x mx nx b =++()2,1A ()0,3B -(1)求
的解析式：()g x (2)设，若在上的最大值为，求的值．
()()()21f x g x a x =+-()f x []1,3-5a 【答案】(1)
()23g x x =-(2)或1
3a =3
a =-【分析】（1）依题意可得，即可求出的值，再根据函数过点和，代()()g x g x -=n ()2,1A ()0,3B -入得到关于、的方程，解得即可；
m b （2）首先求出的解析式，即可得到其对称轴，分和两种情况讨论，结合二
()f x 112a -≤112a ->次函数的性质得到函数的最大值，即可得到方程，解得即可.
【详解】（1）解：因为函数
是偶函数，()2g x mx nx b =++所以，即恒成立，
()()g x g x -=22mx nx b mx nx b -+=++即恒成立，所以，则，
20nx =0n =()2g x mx b =+又函数过和两点，
()2,1A ()0,3B -所以，解得，所以.
413m b b +=⎧⎨=-⎩31b m =-⎧⎨=⎩()23g x x =-（2）解：由（1）可得，()()2213
f x x a x =+--函数开口向上，对称轴为
，21122a x a -=-=-①当即
时，解得，符合题意；112a -≤12a ≥-()()max 3635f x f a ==+=13a =
②当即时，解得，符合题意；112a ->12a <-()()max 1215f x f a =-=--=3a =-综上可得或.
13a
=3a =-20．有一个农场计划用铁网栅栏建设一个矩形养殖棚，如图，养殖棚的后面是现成的土墙，其他三面用铁网栅栏，侧面长度为米．
x (1)若铁网栅栏长共米且养殖棚内部两侧和前面都要留出宽米的投喂通道．
801①求养植棚的有效养殖面积（平方米）与（米）之间的函数关系式，并求有效面积为（平y x 522方米）时的值；
x ②若后面现成的土墙足够长．求怎样设计，才能使有效养殖面积最大．
(2)若要使建设的养植棚面积为平方米，铁网栅栏建设费用为元/米，那么，当为何值时，800200x 铁网栅栏的总建设费用最小，并求出的最小值．
z z 【答案】(1)①答案见解析；②当垂直与墙的一边边长为米时，有效养殖面积最大.
20(2)当米时，铁网栅栏的总建设费用最小，并求出的最小值为元.
20x =z z 16000【分析】（1）①利用图形结合矩形的面积公式可得出关于的函数关系式，结合实际情况求出y x 的取值范围，然后解方程，可得出的值；
x 522y =x ②利用二次函数的基本性质可求得的最大值，求出对应的值，即可得出结论；
y x （2）求出关于的函数关系式，利用基本不等式求出的最小值及其对应的值，即可得出结论.
z x z x 【详解】（1）①由图可知，，
()()21802228078y x x x x =---=-+-由，解得，
1080220x x ->⎧⎨
-->⎩139x <<故养植棚的有效养殖面积（平方米）与（米）之间的函数关系式为，其中
y x 228078y x x =-+-，
139x <<由，可得，解得或；
228078522y x x =-+-=2403000x x -+=10x =30
②当时，取最大值，即（平方米），()802022x =-
=⨯-y max 2400802078722y =-⨯+⨯-=即当垂直与墙的一边边长为米时，有效养殖面积最大.
20
（2）由题意可得（元），
800400200240040016000z x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，即当时，等号成立，400x x =20x =故当米时，铁网栅栏的总建设费用最小，并求出的最小值为元.
20x =z z 1600021．已知函数f (x )对任意，总有成立，且对任意实数，总有R m n ∈，()()()f m n f m f n +=+0x >．()0
f x >(1)求，并分析判断f (x )在R 上的单调性；()
0f (2)若，不等式总有解，求实数a 的取值范围．
(1,)x ∀∈+∞()413301x f a x f x x -⎛⎫-+-≥ ⎪-⎝⎭【答案】(1)
，f (x )在R 上单调递增；()00f =(2).
[)12,+∞【分析】（1）根据题意令求，令结合单调性的定义证明函数单调性；
0m n ==()0f 122,m x x n x =-=（2）令结合奇偶性的定义可证f (x )在R 上为奇函数，根据奇函数和单调性整理可得,==-m x n x 当成立，根据能成立问题结合基本不等式运算求解.
413
41x a x x -≥--(1,)x ∈+∞【详解】（1）∵，
()()()f m n f m f n +=+令，则，可得，
0m n ==()()()000f f f =+()00f =函数在R 上递增，证明如下：
令
，且，122,m x x n x =-=12x x >则
，即，()()()1122f x f x x f x =-+()()()1212f x f x f x x -=-∵，即，则，
12x x >120x x ->()120f x x ->
∴，即，
()()120f x f x ->()()12f x f x >故f (x )在R 上单调递增.
（2）∵，
()()()f m n f m f n +=+令，则，即，
,==-m x n x ()()()00f f x f x =+-=()()f x f x =--∴故f (x )在R 上为奇函数，
∵，则
，()413301x f a x f x x -⎛⎫-+-≥ ⎪-⎝⎭()413413311x x f a x f x f x x x --⎛⎫⎛⎫-≥--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又∵f (x )在R 上单调递增，则，413
31x a x x x --≥--即当成立，41341x a x x -≥--(1,)x ∈+∞，
()()()
419413944144112111x x x x x x x x ----
=--+=-+≥=---当且仅当，即时等号成立，()9411x x -=-52x =∴，
12a ≥故实数a 的取值范围为.
[)12,+∞22．已知关于x 的方程
有两个不相等的实数根．
()222124220k x kmx m +-+-=12,x x (1)证明：；2212m k <+(2)证明：
；122x x <(3)设
S 的最大值．||=S m 【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由题意可得，化简即可得证；
0∆>（2）根据韦达定理可得
，再结合即可得证；21222212m x x k -=+2212m k <+（3）利用韦达定理可得
，化简整理，再结合基本不等式即可得出2121222422,1212km m x x x x k k -+==++答案.
【详解】（1）证明：因为关于x 的方程有两个不相等的实数根，
()222124220k x kmx m +-+-=所以，
()()()2
224412220km k m ∆=--+->则，
2288160m k -++>所以；
2212m k <+（2）证明：由题意得，
21222212m x x k -=+因为，2212m k <+所以，()()2222122222221222212224221212121212k k m k x x k k k k k +-+--=<==-=+++++因为，所以，
2120k +>222212k -<+所以；
122x x <（3）解：由题意，2121222422,1212km m x x x x k k -+==++
则
||||S m m ==
，
||m ==因为，
()()222222222
12121224k m m k m m k +⎛⎫+-+-+≤=
⎪⎝⎭所以
，
≤当且仅当，即时，取等号，
22212m m k =-+22212m k
=+所以S .。