四川省棠湖中学2018_2019学年高一数学下学期期末模拟试题

2019年春四川省棠湖中学高一期末模拟考试
数学试题
第I 卷(选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.已知全集，集合，,则
A.
B.
C.
D.
2.=- 15sin 45sin 15cos 45cos A.
B.
C.
D.
3.已知，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
4.为了得到函数的图象，可以将的图象
A. 向左平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
5.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点()21P ，，则t a n2α=
A.
4
3
B.
1
2
C. 1
2
-
D. 43
-
6.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3
7.已知,是直线，是平面，给出下列命题： ①若，，，则或
．
②若，，
，则．
③ 若,
,
,,则
．
④若
，且
，，则．其中正确的命题是
A. ①,②
B. ②,③
C. ②,④
D. ③,④
8.已知
2π
απ<<，且3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭等于
9.设为等差数列
的前项和,且,则
A. 28
B. 14
C. 7
D. 2
10.如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°、30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于
1)m
1)m
1)m
1)m
11.已知是球的球面上四个不同的点，若，且
平面平面
，则球的表面积为 A.
B.
C.
D.
12.已知定义在R 的函数()y f x =对任意的x 满足()()1f x f x +=-，当11x -≤<，
()3f x x =．函数⎪⎩⎪
⎨⎧<->=0,10
,log )(x x
x x x g a ，若函数()()()h x f x g x =-在[)6-+∞，
上有6个零点，则实数a 的取值范围是
A. ()1077⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，，
B. ][117997⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，，
C. (]117997⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，，
D. (]11199⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭
，， 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.若幂函数的图象经过点（2，
），则f （）=______．
14.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______
15.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 若 =2，S 4=4，则S 8的值为 ．
16.如图15， 在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝
OC ， M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的余弦值______________.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10分）已知函数f （x ）=+
的定义域为集合A ，集合B={x|log 2x≥1}．
（Ⅰ）求A∩B，A∪B；
（Ⅱ）若集合C={y|a ＜y ＜a+1}，且C ⊆（A∩B），求实数a 的取值范围．
18.（12分）已知()1cos ,sin 714
ααβ=+=
，且02πβα<<<. （Ⅰ）求tan2α的值； （Ⅱ）求β.
19.（12分）设数列{}n a 满足10a =且
111
111n n
a a +-=--. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n b =，记n s 是数列{}n b 的前n 项和，证明： 1n S <.
20.（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，
D 是AC 的中点
.
（Ⅰ）求证： 1//B C 平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小；
（3）求直线1AB 与平面1A BD 所成角的正弦值.
21.（12分）在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ． a ， b ， c 成公差为2的等差数列， 120ACB ∠=︒，点D 在边AB 上，且CD AC ⊥． （Ⅰ）求b 的值． （Ⅱ）求BD
AD
的值．
22.（12分）已知函数.
（Ⅰ）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当
时，若对任意的
，总存在
，使
成立，求实
数的取值范围；
（III）若的值域为区间，是否存在常数，使区间的长度为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）
2019年春四川省棠湖中学高一期末模拟考试
数学试题答案
1.B
2.A
3.D
4.A
5.A
6.C
7.C
8.D
9.B 10.B 11.A
12.C
13.
14.
15.12
16.3
17.（1）由
得，1≤x≤4；
∴A={x|1≤x≤4}，且B={x|x ≥2}； ∴A∩B={x|2≤x≤4}，A∪B={x|x≥1}； （2）∵C ⊆（A∩B）； ∴
；
解得2≤a≤3；∴a 的取值范围是[2，3]． 18.（1）因为10,cos 2
7π
αα<<
=
，所以sin tan αα==
所以2
2tan tan21tan ααα=
==-， （2
）因为(
)sin ααβ=
+=
， 所以()sin sin ααβ>+， 又02
π
α<<，所以
2
π
αβπ<+<，所以()11
cos 14
αβ+=-
， 所
以
()(
)
(
)
1
c 1
βα
⎡⎤=
+
-
=
+
+
+
=-
⨯+=⎣⎦， 又02
π
β<<
，所以3
π
β=
.
19.（Ⅰ）由
111111n n a a +-=--知数列1{ 1n a ⎫
⎬-⎭是首项为1
111a =-，公差为1的等差数列。

()11
11?1,11n n n n a a n
∴
=+-=∴=--
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
n b =
=
==
1111n n
n k k k S b ==∴===<∑∑ 20.（1）设1AB 与1A B 相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，
D 为AC 中点， 1//PD B C ∴.
又
PD ⊂平面1A BD ， 1B C ⊄平面1A BD
1//B C ∴平面1A BD
.
（2）正三棱柱111ABC A B C -， 1AA ∴⊥底面ABC .
又
BD AC ⊥， 1A D BD ∴⊥，
1A DA ∴∠就是二面角1A BD A --的平面角.
1=3AA 1
12AD AC =
=，
11tan A A A DA AD
∴∠==13A DA π∴∠=，即二面角1A BD A --的大小是3
π
.
（3）由（2）作1AM A D ⊥， M 为垂足.
BD AC ⊥，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，
BD ∴⊥平面11A ACC ，
AM ⊂平面11A ACC ， BD AM ∴⊥.
1A D BD D ⋂=， AM ∴⊥平面1A DB ，连接MP ，则APM ∠就是直线1A B 与平面1A BD
所成的角.
13AA =， 1AD =， ∴在1Rt AA D ∆中， 13
A DA π
∠=
，
1sin60AM ∴=⨯︒=
，
1AP AB ==. sin AM APM AP ∴∠==
2
=. ∴直线1AB 与平面1A BD
所成的角的正弦值为7
.
（备注：也可以建立空间直角坐标系来解答.）
21.（1）由题意，设2a b =-， 2c b =+，结合余弦定理有：
()()
()
2
2
22212022b b b cos b b -+-+︒=
-，解得5b =．
（2）由（1）可知3a =， 5b =， 7c =，结合余弦定理可得1314cosA =
，则70
13
AD =， 2113BD AB AD =-=
，
3
10
BD AD =． 试题解析：
（1）∵a ， b ， c 成公差为2的等差数列， ∴2a b =-， 2c b =+，
在ABC 中，由余弦定理可得， 222
2a b c cos ACB ab
+-∠=，
即()()()
2
2
2
221120222b b b cos b b -+-+︒=-=-， 解得5b =．
（2）由（1）可知3a =， 5b =， 7c =，
在ABC 中，由余弦定理可得2222549913
225714
b c a cosA bc +-+-===⨯⨯，
∵CD AC ⊥，
∴在Rt ACD 中， 513
14
AC cosA AD AD ===， ∴7013
AD =
， ∴702171313
BD AB AD =-=-=， ∴
213
7010
BD AD ==．
22. (1)根据题意得： 的对称轴是，故
在区间递增， 因为函数在区间上存在零点，故有，即
，
故所求实数的范围是； （2）若对任意的，总存在
，使成立，
只需函数
的值域是函数
的值域的子集，
时， 的值域是
，
下面求， 的值域，
令，则，
，
①时， 是常数，不合题意，舍去；
②时，
的值域是
，
要使 ，只需
，计算得出
；
③时，
的值域是
，
要使
，只需
，计算得出
；
综上，的范围是.
（3）根据题意得，计算得出，
①时，在区间上，最大，最小，
，
计算得出：或（舍去）；
②时，在区间上，最大，最小，
，计算得出：；
③时，在区间上，最大，最小，
，
计算得出：或，故此时不存在常数满足题意，
综上，存在常数满足题意，或.。