2016-2017学年高中数学北师大版选修2-2章末综合测评3 含解析

章末综合测评(三）导数应用
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1.物体运动的方程为s＝错误!t4－3,则t＝5时的瞬时速度为( ）
A。

5 B.25
C。

125 D.625
【解析】∵v＝s′＝t3，∴t＝5时的瞬时速度为53＝125。

【答案】C
2.函数f(x）＝(x－3）e x的单调递增区间是（)
A。

(－∞，2) B。

（0，3）
C.（1，4) D。

（2,＋∞）
【解析】f′（x)＝(x－2）e x，由f′(x)>0，得x〉2，所以函数f（x)的单调递增区间是（2,＋∞).
【答案】D
3.函数f（x）＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是（)
A。

a≥0 B。

a〉0
C.a≤0
D.a〈0
【解析】f′(x）＝3ax2＋1，
当a＝0时,f′（x）＝1>0，f（x）单调增加，无极值；
当a≠0时，只需Δ＝－12a>0，即a<0即可。

【答案】D
4。

（2016·西安高二检测）函数f（x）的导函数f′(x）的图像如图1所示，那么f（x）的图像最有可能的是( ）
图1
A B C D
【解析】数形结合可得在（－∞，－2）,（－1，＋∞)上，f′（x）〈0,f(x)是减函数;在(－2,－1）上,f′（x）>0，f（x）是增函数，从而得出结论。

【答案】B
5。

若函数y＝a（x3－x）的递增区间是错误!，错误!，则a的取值范围是( ）
A。

a〉0 B。

－1〈a〈0
C.a>1 D。

0〈a〈1
【解析】依题意得y′＝a（3x2－1)>0的解集为错误!，错误!,∴a〉
0.
【答案】A
6。

若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）－xf′(x)>0，则( ）
A.3f（1)〈f(3）
B.3f(1）〉f(3）
C.3f(1)＝f(3）
D.f(1）＝f(3）
【解析】由于f（x）>xf′(x)，错误!′＝错误!<0恒成立，因此错误!在R上是单调递减函数,∴错误!<错误!,即3f（1)〉f（3），故选B。

【答案】B
7。

若函数f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间［－2,－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( ）
A。

－5 B。

7
C。

10 D.－19
【解析】∵f(x）′＝－3x2＋6x＋9＝－3（x＋1）(x－3），
所以函数在[－2，－1]内单调递减，
所以最大值为f（－2）＝2＋a＝2，
∴a＝0,最小值为f（－1）＝a－5＝－5.
【答案】A
8。

函数y＝错误!x－2sin x的图像大致是（）
【解析】因为y′＝错误!－2cos x，
所以令y′＝错误!－2cos x〉0,
得cos x<错误!，此时原函数是增函数；
令y′＝错误!－2cos x〈0，得cos x>错误!，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C正确.
【答案】C
9.若f（x)＝－错误!x2＋b ln（x＋2)在（－1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是（)
【导学号：94210067】A。

[－1，＋∞)B。

(－1，＋∞）
C。

（－∞,－1］D。

（－∞，－1)
【解析】f′（x）＝－x＋错误!，由题意知f′（x)≤0在(－1，＋∞）上恒成立，即b≤x2＋2x在（－1，＋∞）上恒成立，即b≤（x＋1)2－1，则b≤－1，故选C.
【答案】C
10。

已知y＝f(x）是定义在R上的函数，且f（1）＝1,f′(x)>1,则f(x)〉x的解集是( ）
A.(0,1）B。

（－1，0)∪(0,1）
C.(1，＋∞)D。

（－∞,－1）∪（1,＋∞)
【解析】不等式f(x）〉x可化为f(x）－x〉0,
设g(x)＝f（x）－x，则g′（x）＝f(x)′－1,
由题意g′（x）＝f′(x）－1〉0,
∴函数g(x）在R上单调递增，又g(1）＝f（1）－1＝0，
∴原不等式⇔g（x）〉0⇔g（x）〉g(1），
∴x〉1,故选C.
【答案】C
11。

当x∈[－2，1］时,不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ）
A。

[－5，－3］B。

错误!
C.［－6，－2］D。

[－4，－3]
【解析】当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立,即a∈R。

当x∈(0，1］时,ax3≥x2－4x－3，a≥错误!，
∴a≥错误!错误!。

设φ（x)＝错误!,
φ′(x)＝错误!
＝－错误!＝－错误!＞0，
∴φ（x）在(0，1］上递增,φ(x)max＝φ（1)＝－6.
∴a≥－6。

当x∈[－2，0）时,a≤错误!，
∴a≤错误!错误!。

仍设φ(x）＝错误!，φ′（x）＝－错误!。

当x∈[－2,－1)时,φ′(x）＜0。

当x∈(－1，0)时,φ′（x）＞0.
∴当x＝－1时,φ(x）有极小值，即为最小值。

而φ(x）min＝φ（－1）＝错误!＝－2，∴a≤－2。

综上知－6≤a≤－2.
【答案】C
12。

已知函数f（x)＝x2＋2x＋a ln x，若函数f（x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是( ）
A。

a≥0 B.a〈－4
C。

a≥0或a≤－4 D.a〉0或a<－4
【解析】f′（x）＝2x＋2＋错误!，x∈（0，1），
∵f（x)在(0，1）上单调，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在(0,1）上恒成立，
∴2x＋2＋错误!≥0或2x＋2＋错误!≤0在(0，1）上恒成立,
即a≥－2x2－2x或a≤－2x2－2x在（0，1)上恒成立。

设g（x）＝－2x2－2x＝－2错误!错误!＋错误!，则g（x）在（0,1)上单调递减，
∴g（x)max＝g(0)＝0，g（x）min＝g（1）＝－4.
∴a≥g（x)max＝0或a≤g（x）min＝－4.
【答案】C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填在题中的横线上)
13。

（2016·天津高考）已知函数f(x）＝（2x＋1）e x，f′（x)为f（x）的导函数，则f′(0）的值为________.
【解析】因为f（x）＝（2x＋1)e x,
所以f′（x)＝2e x＋（2x＋1)e x＝(2x＋3）e x,
所以f′(0）＝3e0＝3。

【答案】3
14。

函数f（x）＝错误!e x(sin x＋cos x）在区间错误!上的值域为________。

【导学号：94210068】【解析】∵x∈错误!,
f′(x）＝e x cos x≥0，
∴f（0）≤f(x）≤f错误!，
即错误!≤f（x)≤错误!e错误!.
【答案】错误!
15。

（2016·洛阳高二检测)已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，在x＝1时有极值10,则a＋b＝________。

【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b,f′(1）＝2a＋b＋3＝0,f(1）＝a2＋a＋b＋1＝10，错误!解得错误!或错误!当a＝－3时,x＝1不是极值点,a，b 的值分别为4，－11，∴a＋b＝－7。

【答案】－7
16。

周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为________cm3。

【解析】设矩形的长为x，则宽为10－x(0〈x〈10)，由题意可知所求圆柱的体积V＝πx2（10－x）＝10πx2－πx3，
∴V′（x）＝20πx－3πx2。

由V′（x）＝0,得x＝0（舍去），x＝错误!，
且当x∈错误!时，V′（x）>0，
当x∈错误!时,V′(x)<0,
∴当x＝错误!时，V(x)取得最大值为错误!π cm3。

【答案】错误!π
三、解答题(本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17。

（本小题满分10分)若函数f（x）＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.
【解】∵f′（x）＝3x2＋6ax＋3（a＋2），
令3x2＋6ax＋3（a＋2）＝0，
即x2＋2ax＋a＋2＝0,∵函数f（x）有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a〉2或a〈－1.
故实数a的取值范围是(－∞,－1）∪（2，＋∞)。

18。

（本小题满分12分）设函数f（x)＝x3－3ax2＋3bx的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11）。

（1)求a，b的值；
（2）讨论函数f(x）的单调性。

【解】（1)求导得f′（x）＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x）的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点（1,－11）,所以
f（1)＝－11，f′（1)＝－12，
即错误!解得a＝1，b＝－3。

（2）由a＝1,b＝－3得
f′(x）＝3x2－6x－9＝3（x2－2x－3）
＝3（x＋1)(x－3）.
令f′（x)>0,解得x<－1或x>3；
又令f′(x）〈0,解得－1〈x〈3。

故当x∈（－∞，－1)和x∈（3，＋∞）时，f（x)是增函数，当x∈(－1,3）时，f（x）是减函数。

19。

（本小题满分12分）已知函数f（x)＝x3＋错误!mx2－2m2x－4（m为常数，且m>0）有极大值－错误!，求m的值.
【解】∵f′(x）＝3x2＋mx－2m2
＝(x＋m）（3x－2m），
令f′（x)＝0，则x＝－m或x＝错误!m.
当x变化时，f′(x）,f（x）的变化情况如下表：
单调递增单调递减单调递增
极大值错误!错误!
∴m＝1。

20。

(本小题满分12分）证明：当x>0时，ln（x＋1）〉x－错误!x2.
【证明】设f（x)＝ln(x＋1）－错误!＝ln（x＋1）－x＋错误!x2，函数的定义域是（－1,＋∞)，
则f′（x）＝错误!－1＋x＝错误!。

当x∈（－1，＋∞）时,f′（x)〉0，
∴f（x）在(－1，＋∞）上是增函数。

∴当x〉0时，f(x）〉f(0）＝0,
即当x>0时,ln(x＋1）〉x－1
2
x2.
21。

(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度）。

设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米。

假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域;
(2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大。

【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh（元），底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为（200πrh＋160πr2）元。

又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝错误!（300－4r2）,从而
V（r）＝πr2h＝错误!(300r－4r3）.
因为r>0，又由h〉0可得0<r〈5错误!,
故函数V(r)的定义域为(0，53）。

（2）因为V（r）＝错误!（300r－4r3)（0〈r〈5错误!），
所以V′(r）＝错误!（300－12r2)。

令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内,舍去）。

当r∈（0,5）时，V′（r）〉0,故V（r)在(0，5）上为增函数；
当r∈(5，5错误!）时,V′(r）〈0,故V（r）在(5，5错误!)上为减函数。

由此可知,V（r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8。

即当r＝5，h＝8时,该蓄水池的体积最大.
22。

（本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f（x）＝(x
－2)e x＋a（x－1)2有两个零点。

（1）求a的取值范围；
（2）设x1，x2是f(x）的两个零点，证明：x1＋x2＜2。

【解】（1）f′(x）＝(x－1)e x＋2a(x－1）＝（x－1）（e x＋2a）.
①设a＝0，则f（x）＝(x－2)e x,f（x）只有一个零点。

②设a＞0,则当x∈（－∞,1)时，f′（x）＜0；
当x∈(1,＋∞）时，f′（x)＞0，
所以f（x)在（－∞，1）内单调递减，在（1，＋∞)内单调递增。

又f(1)＝－e，f（2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln 错误!，
则f（b)＞错误!(b－2）＋a（b－1）2＝a错误!＞0,
故f（x）存在两个零点。

③设a＜0,由f′(x）＝0得x＝1或x＝ln(－2a）。

若a≥－错误!,则ln(－2a）≤1，故当x∈(1，＋∞）时，f′(x）＞0，因此f（x）在（1，＋∞）内单调递增.
又当x≤1时，f(x）＜0，所以f(x)不存在两个零点。

若a＜－错误!，则ln(－2a)＞1,
故当x∈（1，ln（－2a）时，f′（x)＜0；
当x∈(ln（－2a），＋∞）时，f′（x）＞0.
因此f(x)在（1,ln(－2a)内单调递减，
在(ln（－2a）,＋∞）内单调递增.
又当x≤1时，f(x）＜0，所以f（x)不存在两个零点。

综上，a的取值范围为（0，＋∞）。

（2）证明:不妨设x1＜x2，由（1）知，x1∈(－∞，1),x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f（x）在（－∞,1）内单调递减，所以x1＋x2＜2等价于f(x1)＞f（2－x2），即f(2－x2)＜0。

由于f(2－x2）＝－x2e2－x2＋a（x2－1)2，
而f(x2)＝(x2－2）e x2＋a（x2－1）2＝0,
所以f(2－x2）＝－x2e2－x2－（x2－2）e x2.
设g（x）＝－x e2－x－(x－2）e x,
则g′(x)＝（x－1)（e2－x－e x）。

所以当x＞1时,g′(x）＜0,而g(1)＝0，
故当x＞1时，g（x）＜0.
从而g(x2)＝f（2－x2）＜0,
故x1＋x2＜2。