2015-2016学年北京市丰台区八年级(下)期末数学试卷

2015-2016 学年北京市丰台区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共30 分，每小题3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（3 分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于y 轴对称的点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（2，﹣3）2．（3 分）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A． B．
C． D．
3．（3 分）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
4．（3 分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2：
甲乙丙丁
平均数（cm）561 560 561 560
方差s2（cm2） 3.5 3.5 15.5 16.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘B、C 两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点A，然后测量出AB、AC 的中点D、E，且DE＝10m，于是可以计算出池塘B、C 两点间的距离是（）
A．5m B．10m C．15m D．20m
6．（3 分）将直线y＝﹣7x+4 向下平移3 个单位长度后得到的直线的表达式是（）A．y＝﹣7x+7 B．y＝﹣7x+1 C．y＝﹣7x﹣17 D．y＝﹣7x+25 7．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5 时，此方程可变形为（）A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 8．（3 分）设正比例函数y＝mx 的图象经过点A（m，4），且y 的值随x 值的增大而减小，则m＝（）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
9．（3 分）如图，在▱ABCD 中，AB＝4，AD＝7，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E，则DE 的长是（）
A．4 B．3 C．3.5 D．2
10．（3 分）甲乙两城市相距600 千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市．已知货车出发1 小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息．在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为s（千米），客车出发的时间为t（小时），它们之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（）
A．货车的速度是60 千米/小时B．离开出发地后，两车第一
次相遇时，距离出发地150 千米C．货车从出发地到终点共
用时7 小时D．客车到达终点时，两车相距180 千米
二、填空题（共18 分，每小题3 分）
11．（3 分）函数的自变量x 的取值范围是．
12．（3 分）一组数据﹣1，0，1，2，3 的方差是．
13．（3 分）关于x 的一元二次方程x2+3x+m﹣2＝0 有一个根为1，则m 的值等于．
14．（3 分）已知菱形的两条对角线长分别是6 和8，则这个菱形的面积为．15．（3 分）在学习了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 是平行四边形，请添加一个条件，使得▱ABCD 是矩形．”经过思考，小明说：“添加AC＝BD．”小红说：“添加AC⊥BD．”你同意的观点，理由是．16．（3 分）将一张长与宽之比为的矩形纸片ABCD 进行如下操作：对折并沿折痕剪开，发现每一次所得到的两个矩形纸片长与宽之比都是（每一次的折痕如下图中的虚线所示）．已知AB＝1，则第3 次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是；第2016 次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是．
三、解答题（共25 分，每小题5 分）
17．（5 分）解方程：x2﹣6x+6＝0．
18．（5 分）如图，直线l1：y＝﹣2x 与直线l2：y＝kx+b 在同一平面直角坐标系内交于点P．
（1）直接写出不等式﹣2x＞kx+b 的解集；
（2）设直线l2 与x 轴交于点A，△OAP 的面积为12，求l2 的表达式．
19．（5 分）已知关于x 的一元二次方程3x2﹣6x+1﹣k＝0 有实数根，k 为负整数．（1）求k 的值；
（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．
20．（5 分）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．已知AB＝3，求BC 的长．
21．（5 分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家快递公司每月的投递总件数的增长率相同，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为30 万件和36.3 万件，求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率．
四、解答题（共15 分，每小题5 分）
22．（5 分）为弘扬中华传统文化，了解学生整体听写能力，某校组织全校1000 名学生进行一次汉字听写大赛初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：
分组/分频数频率
50≤x＜60 6 0.12
60≤x＜70 a0.28
70≤x＜80 16 0.32
80≤x＜90 10 0.20
90≤x≤100 c b
合计50 1.00
（1）表中的a＝，b＝，c＝；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图；
（3）如果成绩达到90 及90 分以上者为优秀，可推荐参加进入决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．
23．（5 分）如图，在△ABC 中，AB＝BC，BD 平分∠ABC．四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F，连接CE．
求证：四边形BECD 是矩形．
24．（5 分）某学校需要置换一批推拉式黑板，经了解，现有甲、乙两厂家报价均为200 元/ 米2，且提供的售后服务完全相同，为了促销，甲厂家表示，每平方米都按七折计费；
乙厂家表示，如果黑板总面积不超过20 米2，每平方米都按九折计费，超过20 米2，那么超出部分每平方米按六折计费．假设学校需要置换的黑板总面积为x 米2．
（1）请分别写出甲、乙两厂家收取的总费用y（元）与x（米2）之间的函数关系式；
（2）请你结合函数图象的知识帮助学校在甲、乙两厂家中，选择一家收取总费用较少的．
五、解答题（共12 分，每小题6 分）
25．（6 分）如图，点O 为正方形ABCD 的对角线交点，将线段OE 绕点O 逆时针方向旋转90°，点E 的对应点为点F，连接EF，AE，BF．
（1）请依题意补全图形；
（2）根据补全的图形，猜想并证明直线AE 与BF 的位置关系．
26．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连接AB．如果对于平面内一点P，线段AB 上都存在点Q，使得PQ≤1，那么称点P 是线段AB 的“附近点”．
（1）请判断点D（4.5，2.5）是否是线段AB 的“附近点”；
（2）如果点H （m，n）在一次函数的图象上，且是线段AB 的“附近点”，求m 的取值范围；
（3）如果一次函数y＝x+b 的图象上至少存在一个“附近点”，请直接写出b 的取值范围．
2015-2016 学年北京市丰台区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共30 分，每小题3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（3 分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于y 轴对称的点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（2，﹣3）
【分析】根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解答】解：点P（2，﹣3）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．2．（3 分）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；
C、是轴对
称图形，也是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也
是中心对称图形．故错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合．
3．（3 分）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【分析】设这个多边形是n 边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n 的方程，从而求出边数n 的值．
【解答】解：设这个多边形是n 边形，
则（n﹣2）•180°＝900°，解得：n
＝7，
即这个多边形为七边
形．故选：C．
【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．（3 分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2：
甲乙丙丁
平均数（cm）561 560 561 560
方差s2（cm2） 3.5 3.5 15.5 16.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可．
【解答】解：∵甲的方差是3.5，乙的方差是3.5，丙的方差是15.5，丁的方差是16.5，∴S 甲2＝S 乙2＜S 丙2＜S 丁2，
∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔，
∵甲的平均数是561，乙的平均数是560，
∴成绩好的应是甲，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；
故选：A．
【点评】本题考查了方差和平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．（3分）如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘B、C 两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点A，然后测量出AB、AC 的中点D、E，且DE＝10m，于是可以计算
出池塘B、C 两点间的距离是（）
A．5m B．10m C．15m D．20m
【分析】根据三角形中位线定理可得到BC＝2DE，可得到答案．
【解答】解：
∵D、E 分别为AB、AC 的中点，
∴DE 为△ABC 的中位线，
∴BC＝2DE＝20m，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
6．（3 分）将直线y＝﹣7x+4 向下平移3 个单位长度后得到的直线的表达式是（）A．y＝﹣7x+7 B．y＝﹣7x+1 C．y＝﹣7x﹣17 D．y＝﹣7x+25 【分析】根据一次函数的图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：直线y＝﹣7x+4 向下平移3 个单位长度后得到的直线的表达式是y＝﹣7x+4﹣3＝﹣
7x+1．故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
7．（3 分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5 时，此方程可变形为（）A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．
【解答】解：∵x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x+4＝5+4，∴（x﹣2）2＝9．故选：D．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．8．（3分）设正比例函数y＝mx 的图象经过点A（m，4），且y 的值随x 值的增大而减小，则m＝（）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
【解答】解：把x＝m，y＝4 代入y＝mx 中，
可得：m＝±2，
因为y 的值随x 值的增大而减小，
所以m＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y＝kx（k≠0）的图象为直线，当k ＞0 时，图象经过第一、三象限，y 值随x 的增大而增大；当k＜0 时，图象经过第二、四象限，y 值随x 的增大而减小．
9．（3 分）如图，在▱ABCD 中，AB＝4，AD＝7，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E，则DE 的长是（）
A．4 B．3 C．3.5 D．2
【分析】根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，根据ED＝AD﹣AE＝AD﹣AB 即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
又∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴ED＝AD﹣AE＝AD﹣AB＝7﹣4＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出∠ABE＝∠AEB，判断三角形ABE 中，AB＝AE，难度一般．
10．（3 分）甲乙两城市相距600 千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市．已知货车出发1 小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息．在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为s（千米），客车出发的时间为t（小时），它们之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（）
A．货车的速度是60 千米/小时B．离开出发地后，两车第一
次相遇时，距离出发地150 千米C．货车从出发地到终点共
用时7 小时D．客车到达终点时，两车相距180 千米
【分析】通过函数图象可得，货车出发1 小时走的路程为60 千米，客车到达终点所用的时间为6 小时，根据行程问题的数量关系可以求出货车和客车的速度，利用数形结合思想及一元一次方程即可解答．
【解答】解：由函数图象，得：货车的速度为60÷1＝60 千米/小时，客车的速度为600 ÷6＝100 千米/小时，故A 正确；
设客车离开起点x 小时后，甲、乙两人第一次相遇，根据题意得：
100x＝60+60x，
解得：x＝1.5，
∴离开起点后，两车第一次相遇时，距离起点为：1.5×100＝150（千米），
故B 正确；
甲从起点到终点共用时为：600÷60＝10（小时），
故C 错误；
∵客车到达终点时，所用时间为6 小时，货车先出发1 小时，
∴此时货车行走的时间为7 小时，
∴货车走的路程为：7×60＝420（千米），
∴客车到达终点时，两车相距：600﹣420＝180（千米），故D 正
确．故选：C．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
二、填空题（共18 分，每小题3 分）
11．（3 分）函数的自变量x 的取值范围是 x≠﹣1 ．
【分析】根据分母不等于0 列出不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（3 分）一组数据﹣1，0，1，2，3 的方差是 2 ．
【分析】利用方差的定义求解．方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．【解答】解：数据的平均数＝（﹣1+0+1+2+3）＝1，
方差s2＝[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]＝
2．故填2．
【点评】本题考查了方差的定义．一般地设n 个数据，x1，x2，…x n，平均数＝（x1+x2+x3…+x n），方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．
13．（3 分）关于x 的一元二次方程x2+3x+m﹣2＝0 有一个根为1，则m 的值等于﹣
2 ．
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于m 的方程，从而求得m 的值．
【解答】解：将x＝1 代入方程得：1+3+m﹣2＝0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义．就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．（3 分）已知菱形的两条对角线长分别是6 和8，则这个菱形的面积为 24 ．【分析】因为菱形的面积为两条对角线积的一半，所以这个菱形的面积为24．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别是6 和8，
∴这个菱形的面积为6×8÷2＝24
故答案为24
【点评】此题考查了菱形面积的求解方法：①底乘以高，②对角线积的一半．15．（3 分）在学习了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 是平行四边形，请添加一个条件，使得▱ABCD 是矩形．”经过思考，小明说：“添加AC＝BD．”小红说：“添加AC⊥BD．”你同意小明的观点，理由是对角线相等的平行四边形是矩形．
【分析】根据矩形的判定定理可知谁的说法是正确的，本题得以解决．
【解答】解：根据是对角线相等的平行四边形是矩形，古小明的说法是正确的，
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，古小红的说法是错误的，故答案为：小明，对角线相等的平行四边形是矩形．
【点评】本题考查矩形的判定，解题的关键是明确矩形的判定定理的内容．
16．（3 分）将一张长与宽之比为的矩形纸片ABCD 进行如下操作：对折并沿折痕剪开，发现每一次所得到的两个矩形纸片长与宽之比都是（每一次的折痕如下图中的虚线所示）．已知AB＝1，则第3 次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是
；第2016 次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是．
【分析】先求出矩形纸片的长，再根据矩形的周长公式分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．
【解答】解：1×＝，
对开次数：
第一次，周长为：2（1+ ）＝2+，
第二次，周长为：2（+ ）＝1+ ，
第三次，周长为：2（+ ）＝，
第四次，周长为：2（+ ）＝，
第五次，周长为：2（+ ）＝，
…
∴第3 次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是，
第2016 次对开后所得标准纸的周长为．
故答案为：；．
【点评】此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用，根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键．
三、解答题（共25 分，每小题5 分）
17．（5 分）解方程：x2﹣6x+6＝0．
【分析】根据公式法：x＝，可得答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝6，
∴△＝b2﹣4ac＝12，
，
∴，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟记公式是解题关键，注意先把方程化成一元二次方程的一般形式．
18．（5 分）如图，直线l1：y＝﹣2x 与直线l2：y＝kx+b 在同一平面直角坐标系内交于点P．
（1）直接写出不等式﹣2x＞kx+b 的解集 x＜3 ；
（2）设直线l2 与x 轴交于点A，△OAP 的面积为12，求l2 的表达式．
【分析】（1）求不等式﹣2x＞kx+b 的解集就是求当自变量x 取什么值时，y＝﹣2x 的函数值大；
（2）求△OAP 的面积，只要求出OA 边上的高就可以，即求两个函数的交点的纵坐标的绝对值．
【解答】解：（1）从图象中得出当x＜3 时，直线l1：y＝﹣2x 在直线l2：y＝kx+b 的上方，
∴不等式﹣2x＞kx+b 的解集为x＜3，
故答案为：x＜3；
（2）∵点P 在l1 上，
∴y＝﹣2x＝﹣6，
∴P（3，﹣6），
∵，
∴OA＝4，A（4，0），
∵点P 和点A 在l2 上，
∴
∴
∴l2：y＝6x﹣24．
【点评】此题考查一次函数问题，关键是根据求线段的长度的问题一般是转化为求点的坐标的问题来解决．
19．（5 分）已知关于x 的一元二次方程3x2﹣6x+1﹣k＝0 有实数根，k 为负整数．（1）求k 的值；
（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．
【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0 列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的值；
（2）将k 的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k 的值．
【解答】解：（1）根据题意，得△＝（﹣6）2﹣4×3（1﹣k）≥0，
解得k≥﹣2．
∵k 为负整数，
∴k＝﹣1，﹣2．
（2）当k＝﹣1 时，不符合题意，舍去；
当k＝﹣2 时，符合题意，此时方程的根为x1＝x2＝1．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：
（1）△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 时，方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 时，方程没有实数
根．也考查了一元二次方程的解
法．
20．（5 分）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．已知AB＝3，求BC 的长．
【分析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC 的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC 的长．
【解答】解：由折叠可得，△EOC≌△EBC，
∴CB＝CO，
∵四边形ABED 是菱形，
∴AO＝CO．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B＝90°，
设BC＝x，则AC＝2x，
∵在Rt△ABC 中，AC2＝BC2+AB2，
∴（2x）2＝x2+32，
解得x＝，即BC＝．
【点评】根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC 的长．
21．（5 分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家快递公司每月的投递总件数的增长率相同，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为30 万件和36.3 万件，求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率．
【分析】利用五月份完成投递的快递总件数为：三月份完成投递的快递总件数×（1+x）2，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设投递快递总件数的月平均增长率是x，
依题意，得：30（1+x）2＝36.3
则1+x＝±1.1 解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍），
答：投递快递总件数的月平均增长率是10%．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出五月份完成投递的快递总件数是解题关键．
四、解答题（共15 分，每小题5 分）
22．（5 分）为弘扬中华传统文化，了解学生整体听写能力，某校组织全校1000 名学生进行一次汉字听写大赛初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：
分组/分频数频率
50≤x＜60 6 0.12
60≤x＜70 a0.28
70≤x＜80 16 0.32
80≤x＜90 10 0.20
90≤x≤100 c b
合计50 1.00
（1）表中的a＝14 ，b＝ 0.08 ，c＝ 4 ；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图；
（3）如果成绩达到90 及90 分以上者为优秀，可推荐参加进入决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．
【分析】（1）根据频率分布表确定出总人数，进而求出a，b，c 的值即可；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图，如图所示；
（3）根据样本中90 分及90 分以上的百分比，乘以1000 即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：a＝6÷ 0.12× 0.28＝14，b＝1﹣（0.12+0.28+0.32+0.20）＝0.08，c＝6÷0.12×0.08＝4；
故答案为：14；0.08；4；
（2）频数分布直方图、折线图如图，
（3）根据题意得：1000×（4÷50）＝80（人），
则你估计该校进入决赛的学生大约有80 人．
【点评】此题考查了频数（率）分布折线图，用样本估计总体，频数（率）分布表，以及频数（率）分布直方图，弄清题中的数据是解本题的关键．
23．（5 分）如图，在△ABC 中，AB＝BC，BD 平分∠ABC．四边形ABED 是平行四边形，
DE 交BC 于点F，连接
CE．求证：四边形BECD 是
矩形．
【分析】根据已知条件易推知四边形BECD 是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD 是矩形．
【解答】证明：∵AB＝BC，BD 平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD．
∵四边形ABED 是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD 是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴▱BECD 是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．24．（5 分）某学校需要置换一批推拉式黑板，经了解，现有甲、乙两厂家报价均为200 元/ 米2，且提供的售后服务完全相同，为了促销，甲厂家表示，每平方米都按七折计费；乙厂家表示，如果黑板总面积不超过20 米2，每平方米都按九折计费，超过20 米
2，那么超出部分每平方米按六折计费．假设学校需要置换的黑板总面积为x 米2．
（1）请分别写出甲、乙两厂家收取的总费用y（元）与x（米2）之间的函数关系式；
（2）请你结合函数图象的知识帮助学校在甲、乙两厂家中，选择一家收取总费用较少的．
【分析】（1）根据题目中的数量关系即可得到甲、乙两厂家收取的总费用y（元）与x （米2）之间的函数关系式；
（2）分别画出甲、乙两厂家收取的总费用y（元）与x（米2）的函数图象，结合图象分析即可．
【解答】解：（1）
甲厂家的总费用：y 甲＝200×0.7x＝140x；乙厂家的总费用：
当0＜x≤20 时，y 乙＝200×0.9x＝180x，当x＞20 时，y 乙
＝200×0.9×20+200×0.6（x﹣20）
＝120x+1200；
（2）甲、乙两厂家收取的总费用y（元）与x（米2）的函数图象如图所示：
若y 甲＝y 乙，140x＝120x+1200，x＝60，
根据图象，当0＜x＜60 时，选择甲厂家；
当x＝60 时，选择甲、乙厂家都一样；
当x＞60 时，选择乙厂家．
【点评】本题主要考查了一次函数在实际生活中的应用，涉及到的知识有运用待定系数法求函数的解析式，平面直角坐标系中交点坐标的求法，函数图象的画法等，从图表及图象中获取信息是解题的关键，属于中档题．
五、解答题（共12 分，每小题6 分）
25．（6 分）如图，点O 为正方形ABCD 的对角线交点，将线段OE 绕点O 逆时针方向旋转90°，点E 的对应点为点F，连接EF，AE，BF．
（1）请依题意补全图形；
（2）根据补全的图形，猜想并证明直线AE 与BF 的位置关系．
【分析】（1）根据旋转的性质画出OF，按照题意连接各线段即可得出图形；
（2）猜想：AE⊥BF．延长EA 交OF 于点H，交BF 于点G，根据正方形的性质以及角的计算即可得出OA＝OB，∠EOA＝∠FOB，由此即可证出△EOA≌△FOB（SAS），进而得出∠OEA＝∠OFB，再结合∠EOF＝90°以及对顶角相等，即可得出∠OFB+∠FHG＝90°，故AE⊥BF．
【解答】解：（1）依照题意画出图形，如图1 所示．
（2）猜想：AE⊥BF．
证明：延长EA 交OF 于点H，交BF 于点G，如图2 所示．
∵O 为正方形ABCD 对角线的交点，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°．
∵OE 绕点O 逆时针旋转90°得到OF，
∴OE＝OF，∠AOB＝∠EOF＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB．
在△EOA 和△FOB 中，，
∴△EOA≌△FOB（SAS），
∴∠OEA＝∠OFB．
∵∠OEA+∠OHA＝90°，∠FHG＝∠OHA，
∴∠OFB+∠FHG＝90°，∠FGH＝90°，
∴AE⊥BF．
【点评】本题考查了作图中的旋转变换、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）画出图形；（2）找出∠OFB+∠FHG＝90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的角，再通过角的计算找出直角是关键．
26．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连接AB．如果对于平面内一点P，线段AB 上都存在点Q，使得PQ≤1，那么称点P 是线段AB 的“附近点”．
（1）请判断点D（4.5，2.5）是否是线段AB 的“附近点”；
（2）如果点H （m，n）在一次函数的图象上，且是线段AB 的“附近点”，求m 的取值范围；
（3）如果一次函数y＝x+b 的图象上至少存在一个“附近点”，请直接写出b 的取值范围．
【分析】（1）点P 是线段AB 的“附近点”的定义即可判断．
（2）首先求出直线与线段AB 交于，分①当时，②当时，列出不等式即可解决问题．
（3）如图，在RT△AMN 中，AM＝1，∠MAN＝45°，则点M 坐标（2﹣，3+ ），在RT△BEF 中，BE＝1，∠EBF＝45°，则点E 坐标（6+，3﹣）
分别求出直线经过点M、点E 时的b 的值，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点D 到线段AB 的距离是0.5，
∴0.5＜1，
∴点D（4.5，2.5）是否是线段AB 的“附近点”；
（2）∵点H（m，n）是线段AB 的“附近点”，点H（m，n）在直线上，∴；
直线与线段AB 交于．
①当时，有≥3，
又AB∥x 轴，∴此时点H（m，n）到线段AB 的距离是n﹣3，
∴0≤n﹣3≤1，∴．
②当时，有≤3，
又AB∥x 轴，∴此时点H（m，n）到线段AB 的距离是3﹣n，
∴0≤3﹣n≤1，∴，
综上所述，．
（3）如图，在RT△AMN 中，AM＝1，∠MAN＝45°，则点M 坐标（2﹣，3+ ），
在RT△BEF 中，BE＝1，∠EBF＝45°，则点E 坐标（6+，3﹣）
当直线y＝x+b 经过点M 时，b＝1+，
当直线y＝x+b 经过点E 时，b＝﹣3﹣，
∴﹣3﹣≤b≤1+．
【点评】本题考查一次函数综合题、线段AB 的“附近点”的定义等知识，解题的关键是连接题意，学会分类讨论，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．。