讲座5：李亚普诺夫函数和能量函数

t
x(t) = x(t0) + a(x(τ ))dτ
t0
成立，那么 x : [t0, t1] → X 称为（5.2）的解。 为检验一个给定函数 V 是不是系统（5.2）的李亚普诺夫函数，我们通常
把 V (x(t)) 对 t 微分。如果 X 是一个开集， V 和 x 都是可微的（注意 x 的 可微性由 a 的连续性保证），那么 t → V (x(t)) 也是可微的，并且由
x˙ 1(t) = f (x(t), u(t))
(5.7)
其中 f : X × U → Rn 是给定函数。令 σ : X × U → R 是给定函数。如果对 所有可积函数对 x : [t0, t1] → X 和 u : [t0, t1] → U ，
t1
V (x(t1)) − V (x(t0)) ≤ σ(x(t), u(t))dt
这里 Kantor 函数是指使 k(0) = 0 和 k(1) = 1 的连续严格单调函数 k : [0, 1] → R ，尽管在全长为1的开不相交区间 T ⊂ [0, 1] 内族 T = {T } 上 k(t) 是常数。事实上，对一个确定的 Kantor 函数 k 定义
V (x¯) = floor(x¯) + k(1 − floor(x¯)),
+
δ))
−
V (x(t) + δa(x(t))) δ
≤
V
(x(t)
+
δa(x(t))) δ
−
V
(x(t))
+
M | x(t
+
δ)
−
x(t) δ
−
δa(x(t)) |
的最大值（在 t ∈ [t0, t1 − δ] 上）趋近于一个非正极限。
引入
x(t) = [x1(t); t], a([barx; r]) = [a1(x¯, r); 1],
现在令 M 是在 x 轨迹邻域内 V 的李普希茨常数。因为 a 是连续的，
lim
δ→0,δ>0
| x(t
+
δ) δ
−
x(t)
−
a(x(t))|
=
0
∀t
3
成立。因此，当 δ → 0 时，
V
(x(t + δ)) δ
−
V
(x(t))
=
V (x(t)
+
δa(x(t))) δ
−
V (x(t)) + V (x(t
t1
V (x(z(·), t1)) − V (x(z(·), t0)) ≤ σ(z(t))dt ∀t1 ≥ t0 ≥ 0, z ∈ B
t0
(5.1)
成立，那么定义在行为集为 B ，状态为 x : B × [0, ∞) → X 的系统的状态空 间 X 上的实值函数 V : X → R 称为供给率为 σ 的能量函数。
4
lim sup
ε→0 0<t<ε
V
(x¯
+
tf (x¯, u¯)) t
−
V
(x¯)
≤
σ(x¯, u¯)
∀ x¯ ∈ X, u¯ ∈ U
(5.8)
成立，那么 V (x(t)) 是系统（5.7）的供给率为 σ 的能量函数。 这个定理的证明和定理5.1的证明过程类似。同样可能存在其它推广形式，
例如对不连续的函数 f 等。
这一讲介绍了使用李亚普诺夫函数及其广义性原理进行系统分析。
5.1 认识李亚普诺夫函数
对于给定系统，构造李亚普诺夫函数的方法很多，这些方法间只有些微 的差别。依据假设条件，可以得到很多系统行为的结论。
5.1.1 李亚普诺夫函数和能量函数简介
通常，李亚普诺夫函数是系统状态的实值函数，它对系统行为集内的每 个信号都是单调非增的。更为普遍地，能量函数也是系统状态的实值函数，它 存在明显的上升上界。
根据这个定义，李亚普诺夫函数提供了系统行为有限但不十分明确的信 息。例如，如果 X = Rn ， V (x(t)) = |x(t)|2 是一个李亚普诺夫函数，那么 我们可以知道系统状态 x(t) 在所有时间上有界，尽管我们可能无法得知 x(t) 的具体值是什么。
对物理上的守恒系统，全部能量通常是李亚普诺夫函数。即使对非守恒 系统，找到类似能量的表达式做为备选李亚普诺夫函数通常也是十分重要的。
但是，如果 V 和（5.2）的所有解都是“足够平滑的”，条件（5.4）只是 V 为李亚普诺夫函数的充分条件。 定理5.1 如果 X 是 Rn 内的一个开集， V : X → R 是局部李普希茨函数， a : X → Rn 是连续的，并且条件（5.4）成立，那么 V (x(t)) 对（5.2）所有解 x : [t0, t1] → X 是单调非增的。 证明 我们将使用下面的论据：如果 h : [t0, t1] → R 是连续的，并使
其中 floor(x¯) 表示不超过 x¯ 的最大整数。令 a(x¯) 在每个区间 (m + t1, m + t2) 上都是零，其中 m 是整数，(t1, t2) ∈ T 。那么 x(t) ≡ t 是 ODE （5.2）的解， 尽管 t → V (x¯ + ta(x¯)) 对所有 x¯ ∈ R 在 t = 0 的邻域内是常数，但是 V (x(t)) 是严格单增的。
令 B = {z} 是系统的行为集（也就是 B 中的元素是自治系统所有可能 输出的向量信号，或者系统有输入时所有可能的输入/输出对）。上面讲过系 统的状态 是指函数 x : B × [0, ∞) → X ，只要 x(z1(·), t) = x(z2(·), t) ，这个 函数使得两个信号 z1 ，z2 ∈ B 在时间 t 定义了 B 的相同状态（具体内容和 例子见讲座1）。这里 X 是一个集合，称为 B 的状态空间。请注意给定行为 集 B ，状态空间 X 并不是唯一的。 定义 如果对所有 z ∈ B ， t → V (t) = V (x(t)) = V (x(z(·), t)) 是时间的非增 函数，那么定义在行为集为 B ，状态为 x : B × [0, ∞) → X 的系统的状态空 间 X 上的实值函数 V : X → R 称为李亚普诺夫函数。
定函数 f 是供给率为 σ 的有效能 (x¯, u¯) ≤ σ(x¯, u¯) ∀ x¯ ∈ X, u¯ ∈ U
成立。当 V 是局部李普希茨函数时，可以得到定理5.1的广义形式如下。 定理5.2 如果 X 是 Rn 内的一个开集， V : X → R 是局部李普希茨函数， f 和 σ : X × U → Rn 是连续的，并且条件
拥有不需明确计算出系统方程的解，就能证明系统状态的给定函数沿着
系统轨迹是单调非增的工具是十分重要的。对于由 ODE 模型定义的系统，通
常可以做到这一点。
ODE 模型
x˙ (t) = a(x(t))
(5.2)
定义了一个自治系统，其中 a : X → Rn 是定义在 Rn 的子集上的函数。如 果 t → V (x(t)) 对所有（5.2）的解都是单调非增的，那么函数 V : X → R 是 系统（5.2）的李亚普诺夫函数。前面讲过，如果 a ◦ x 在 [t0, t1] 上是绝对可积 的，并且所有 t ∈ [t0, t1] 时等式
时变 ODE 模型
x˙ 1(t) = a1(x1(t), t)
(5.6)
可以趋近于（5.2），在这种情况下，李亚普诺夫函数 V = V (x(t)) = V (x1(t), t) 必然依赖于时间。
5.1.3 ODE 模型的能量函数 状态向量为 x(t) ∈ X ⊂ Rn ，输入为 u(t) ∈ U ⊂ Rm 的 ODE 模型如下：
lim sup
ε→0 0<t<ε
V (x¯ +
ta(x¯)) − t
V
(x¯)
≤
0
∀ x¯ ∈ X
(5.4)
可以表明 V 是一个有效的李亚普诺夫函数。但是，这并不总是正确的。 例5.2 利用用 Kantor 函数的著名例子，我们可以构造一个有界的可积函数 a : R → R 和一个连续函数 V : R → R 使得 t → V (x¯ + ta(x¯)) 对所有 x¯ ∈ R 在 t = 0 的邻域内是常数，但是 V (x(t)) 对 ODE 的某个解是严格单调上升 的。
在许多应用中，σ 与输入和输出的瞬时值相比较而言是一个函数。例如， 如果 B = {z(t) = [v(t); w(t)]} 是给定系统所有可能的输入/输出对集合，那么 供给率为 σ(z(t)) = |v(t)|2 − |w(t)|2 的非负能量函数的存在证明了由
ω(·)
2 p
= lim sup
T →∞ t≤T
如果对所有可积函数对t0t1t0t1utdtt0使得所有t0t1utdtt0成立那么函数为连续可微的直接就可以证明给定函数是局部李普希茨函数时可以得到定理51的广义形式如下
麻省理工学院 电气工程与计算机科学系
6.243j（2003秋季）非线性系统动力学
A.Megretski
讲座5：李亚普诺夫函数和能量函数1
t0
使得所有 t ∈ [t0, t1] 时 t → f (x(t), u(t)) 使恒等式
t
x(t) = x(t0) + f (x(t), u(t))dt
t0
成立，那么函数 V : X → R 称为系统（5.7）的供给率为 σ 的能量函数。 当 X 为开集， f 和 σ 为连续的， V 为连续可微的，直接就可以证明给
∇V (x¯)a(x¯) ≤ 0 ∀ x¯ ∈ X
(5.3)
2
给出单调性条件，其中 ∇V (x) 表示 V 在 x 点的梯度。 在一些应用中可能会遇到有不可微解的系统（例如，由于外输入信号中
的跳跃）。方便的备选李亚普诺夫函数 V 在某些点也可能是不可微的。在这 种情况下，对所有 x¯ ∈ X ，通常考虑沿方向 a(x¯) 在 x¯ ∈ X 处 V 的次梯度。 我们希望这个次梯度的非正性，即
我们可以认为李亚普诺夫函数沿着系统轨迹
V (x(z(·), t1)) − V (x(z(·), t0)) ≤ 0 ∀ t1 ≥ t0 ≥ 0, z ∈ B
上升时有一个明显的上界（零）。能量函数对这给出了一个十分有用的广义理 论。
12003年9月19日版
1
定义 令 B 是一个n维向量信号 z : [0, ∞) → Rn 的集合。令 σ : Rn → Rn 是使 σ(z(t)) 对所有 z(·) ∈ B 局部可积的给定函数。如果
lim sup
d→0,d>0 δ∈(0,d)
h(t
+
δ) δ
−
h(t)
≤
0
∀ t ∈ [t0, t1)
(5.5)
成立，那么 h 单调非增。事实上，对每一 r > 0 ，令 hr(t) = h(t) − rt 。如果 hr 对所有 r > 0 是单调非增的，那么 h 也是。否则，假设对某些 t0 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t1 和 r > 0 有 hr(t3) > hr(t2) 。令 t4 是等式 hr(t) = hr(t2) 在 t ∈ [t2, t3] 上的最 大解。那么对所有 t ∈ [t3, t4] 有 hr(t) > hr(t4) ，因此在 t = t4 时（5.5）不成 立。
1 t
t
|ω(τ )|2dτ,
0
定义的输出能量永远不能超过输入能量。 例5.1 令行为集 B = {(i(t), v(t))} 表示无源单端口电路的（动态）电压―电流 关系。那么电路中积累的全部能量 E = E(t) 可以做为供给率为
σ(i(t), v(t)) = i(t)v(t).
的能量函数。
5.1.2 ODE 模型的李亚普诺夫函数