四川省广安友谊中学2024届中考联考数学试卷含解析

四川省广安友谊中学2024届中考联考数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF BC
，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
2．从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（）
A．B．C．D．
3．用半径为8的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（）
A．4 B．6 C．16πD．8
4．下列成语描述的事件为随机事件的是（）
A．水涨船高B．守株待兔C．水中捞月D．缘木求鱼
5．已知二次函数y=（x+a）（x﹣a﹣1），点P（x0，m），点Q（1，n）都在该函数图象上，若m＜n，则x0的取值范围是（）
A．0≤x0≤1B．0＜x0＜1且x0≠1 2
C．x0＜0或x0＞1 D．0＜x0＜1
6．上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是（）
A． B． C． D．
7．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是2
5400cm，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）
A．213014000
x x
+-=B．2653500
x x
+-=
C．213014000
x x
--=D．2653500
x x
--=
8．某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（）
A．94分，96分B．96分，96分
C．94分，96.4分D．96分，96.4分
9．关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（）
A．a≠±1B．a＝1 C．a＝﹣1 D．a＝±1
10．如图，在ABC △中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是( )
A ．
DF AE
FC AC = B ．AD EC
AB AC
= C ．AD DE
DB BC
= D ．
DF EF
BF FC
= 11．用加减法解方程组323415x y x y -=⎧⎨+=⎩①
②
时，如果消去y ，最简捷的方法是（ ）
A ．①×4﹣②×3
B ．①×4+②×3
C ．②×2﹣①
D ．②×2+①
12．2017年“智慧天津”建设成效显著，互联网出口带宽达到17200吉比特每秒．将17200用科学记数法表示应为（ ） A ．172×102
B ．17.2×103
C ．1.72×104
D ．0.172×105
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在边长为1的正方形格点图中，B 、D 、E 为格点，则∠BAC 的正切值为_____．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 和正方形DOFE 的顶点B ，F 在x 轴上，顶点C ，D 在y 轴上，且S △ADC =4，反比例函数y=
k
x
（x ＞0）的图像经过点E ， 则k=_______ 。

15．函数2y x =
-x 的取值范围是_____．
16．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长为__cm ．
17．如图，已知点A （a ，b ），0是原点，OA=OA 1，OA ⊥OA 1，则点A 1的坐标是 ．
18．双曲线11y x =
、23
y x
=在第一象限的图像如图，过y 2上的任意一点A ，作x 轴的平行线交y 1于B ，交y 轴于C ，过A 作x 轴的垂线交y 1于D ，交x 轴于E ，连结BD 、CE ，则
BD
CE
＝ ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数为-10，OB=3OA ，点M 以每秒3个单位长度的速度从点A 向右运动．点N 以每秒2个单位长度的速度从点O 向右运动（点M 、点N 同时出发）数轴上点B 对应的数是______．经过几秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等？
20．（6分） “六一”儿童节前夕，某县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对红星小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6名，7名，8名，10名，12名这五种情形，并绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该校有_____个班级，补全条形统计图；
（2）求该校各班留守儿童人数数据的平均数，众数与中位数；
（3）若该镇所有小学共有60个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名留守儿童．
21．（6分）如图1，在圆O 中，OC 垂直于AB 弦，C 为垂足，作BAD BOC ∠=∠，AD 与OB 的延长线交于D . （1）求证：AD 是圆O 的切线；
（2）如图2，延长BO ，交圆O 于点E ，点P 是劣弧AE 的中点，5AB =，13
2
OB =
，求PB 的长 .
22．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m+3）x+m+2=1． （1）求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数m 的值． 23．（8分）先化简，再求值：
13a -﹣219-a ÷1
26
-a ，其中a ＝1．
24．（10分）为了解朝阳社区20~60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
求参与问卷调查的总人数．补全
条形统计图．该社区中20~60岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．
25．（10分）先化简，再计算: 22444332
x x x x x x x ++--÷
++-其中322x =-+． 26．（12分）在△ABC 中，已知AB=AC ，∠BAC=90°，E 为边AC 上一点，连接BE ．如图1，若∠ABE=15°，O 为BE 中点，连接AO ，且AO=1，求BC 的长；如图2，D 为AB 上一点，且满足AE=AD ，过点A 作AF ⊥BE 交BC 于点F ，过点F 作FG ⊥CD 交BE 的延长线于点G ，交AC 于点M ，求证：BG=AF+FG ．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、B
【解题分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【题目详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵DF BC
，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【题目点拨】
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
2、C
【解题分析】
左视图就是从物体的左边往右边看．小正方形应该在右上角，故B错误，看不到的线要用虚线，故A错误，大立方体
的边长为3cm，挖去的小立方体边长为1cm，所以小正方形的边长应该是大正方形1
3
，故D错误，所以C正确．
故此题选C．
3、A
【解题分析】
由于半圆的弧长=圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为8π，底面半径=8π÷2π．
【题目详解】
解：由题意知：底面周长=8π，
∴底面半径=8π÷2π=1．
故选A．
【题目点拨】
此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长．
4、B
【解题分析】试题解析：水涨船高是必然事件，A不正确；
守株待兔是随机事件，B正确；
水中捞月是不可能事件，C不正确
缘木求鱼是不可能事件，D不正确；
故选B．
考点：随机事件.
5、D
【解题分析】
分析：先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答．
详解：二次函数y =（x +a ）（x ﹣a ﹣1），当y =0时，x 1=﹣a ，x 2=a +1，∴对称轴为：x =122x x +=1
2 当P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随x 的增大而减小，由m ＜n ，得：0＜x 0≤1
2
；
当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得：1
2
＜x 0＜1．
综上所述：m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1． 故选D ．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏． 6、B 【解题分析】
分析：根据题意出教室，离门口近，返回教室离门口远，在教室内距离不变，速快跑距离变化快，可得答案． 详解：根据题意得，函数图象是距离先变短，再变长，在教室内没变化，最后迅速变短，B 符合题意； 故选B ．
点睛：本题考查了函数图象，根据距离的变化描述函数是解题关键． 7、B 【解题分析】
根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程. 【题目详解】
由题意，设金色纸边的宽为xcm ， 得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400， 整理后得：2653500x x +-= 故选：B. 【题目点拨】
本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键. 8、D 【解题分析】
解：总人数为6÷10%=60（人）， 则91分的有60×20%=12（人）， 98分的有60-6-12-15-9=18（人），
第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是（96+96）÷
2=96；
这些职工成绩的平均数是（92×6+91×12+96×15+98×18+100×9）÷60
=（552+1128+1110+1761+900）÷60
=5781÷60
=96.1．
故选D．
【题目点拨】
本题考查1.中位数；2.扇形统计图；3.条形统计图；1.算术平均数，掌握概念正确计算是关键．9、C
【解题分析】
根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【题目详解】
由题意可知：
10
12
a
a
-≠
⎧
⎨
⎩＋＝
，解得a＝−1
故选C．
【题目点拨】
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．10、A
【解题分析】
根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可.
【题目详解】
A.∵DE BC，
∴DF DE
FC BC
=，
AE DE
AC BC
=，
∴DF AE
FC AC
=，故A正确；
B. ∵DE BC，
∴AD AE
AB AC
=，故B不正确；
C. ∵DE BC，
∴AD DE
AB BC
=，故C不正确；
D. ∵DE BC，
∴DF EF
CF BF
=，故D不正确；
故选A.
【题目点拨】
本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
11、D
【解题分析】
试题解析：用加减法解方程组
323
415
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
时，如果消去y，最简捷的方法是②×2+①,
故选D.
12、C
【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【题目详解】
解：将17200用科学记数法表示为1.72×1．
故选C．
【题目点拨】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、3 4
【解题分析】
根据圆周角定理可得∠BAC=∠BDC，然后求出tan∠BDC的值即可．【题目详解】
由图可得，∠BAC=∠BDC，
∵⊙O在边长为1的网格格点上，
∴BE=3，DB=4，
则tan ∠BDC=
BE DB =34
∴tan ∠BAC=34
故答案为34 【题目点拨】
本题考查的知识点是圆周角定理及其推论及解直角三角形，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理及其推论及解直角三角形.
14、8
【解题分析】
设正方形ABOC 和正方形DOFE 的边长分别是m 、n ，则AB=OB=m ，DE=EF=OF=n ，BF=OB+OF=m+n ，然后根据S △ADF =S 梯形ABOD +S △DOF -S △ABF =4，得到关于n 的方程，解方程求得n 的值，最后根据系数k 的几何意义求得即可．
【题目详解】
设正方形ABOC 和正方形DOFE 的边长分别是m 、n ，则AB =OB =m ，DE =EF =OF =n ，
∴BF =OB +OF =m +n ，
()()2111=m m+n +n -m m+n =4222
ADF DOF ABF ABOD S S S S ∴=+-=梯形， ∴2n =8，
∵点E (n .n )在反比例函数y =kx (x >0)的图象上，
∴k =2n =8，
故答案为8.
【题目点拨】
本题考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点(x ，y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k. 15、2x ≥
【解题分析】
根据被开方式是非负数列式求解即可.
【题目详解】
依题意，得20x -≥，
解得：2x ≥，
故答案为：2x ≥．
【题目点拨】
本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，
字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 16、1
【解题分析】
底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.
【题目详解】
试题解析：①当腰是4cm ，底边是9cm 时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是4cm ，腰长是9cm 时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=1cm ．
故填1．
【题目点拨】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.
17、（﹣b ，a ）
【解题分析】
解：如图，从A 、A 1向x 轴作垂线，设A 1的坐标为（x ，y ），
设∠AOX=α，∠A 1OD=β，A 1坐标（x ，y ）则α+β="90°sinα=cosβ" cosα="sinβ" sinα==cosβ=
同理cos α==sinβ= 所以x=﹣b ，y=a ，
故A 1坐标为（﹣b ，a ）．
【点评】重点理解三角函数的定义和求解方法，主要应用公式sinα=cosβ，cosα=sinβ．
18、23
【解题分析】 设A 点的横坐标为a ，把x=a 代入23y x =得23y a =，则点A 的坐标为（a ，3a ）． ∵AC ⊥y 轴，AE ⊥x 轴，
∴C 点坐标为（0，3a ），B 点的纵坐标为3a
，E 点坐标为（a ，0），D 点的横坐标为a ．
∵B 点、D 点在11y x =
上，∴当y=3a 时，x=a 3；当x=a ，y=1a
． ∴B 点坐标为（a 3，3a ），D 点坐标为（a ，1a
）． ∴AB=a －3a =2a 3，AC=a ，AD=3a －1a =2a ，AE=3a ．∴AB=23AC ，AD=23
AE ． 又∵∠BAD=∠CAD ，∴△BAD ∽△CAD ．∴BD AB 2CE AC 3==．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）1；（2）经过2秒或2秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等
【解题分析】
试题分析：（1）根据OB=3OA ，结合点B 的位置即可得出点B 对应的数；
（2）设经过x 秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等，找出点M 、N 对应的数，再分点M 、点N 在点O 两侧和点M 、点N 重合两种情况考虑，根据M 、N 的关系列出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
试题解析：（1）∵OB=3OA=1，
∴B 对应的数是1．
（2）设经过x 秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等，
此时点M 对应的数为3x-2，点N 对应的数为2x ．
①点M 、点N 在点O 两侧，则
2-3x=2x ，
解得x=2；
②点M 、点N 重合，则，
3x-2=2x ，
解得x=2．
所以经过2秒或2秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等．
20、（1）16；（2）平均数是3，众数是10，中位数是3；（3）1．
【解题分析】
（1）根据有7名留守儿童班级有2个，所占的百分比是2.5%，即可求得班级的总个数，再求出有8名留守儿童班级的个数，进而补全条形统计图；
（2）将这组数据按照从小到大排列即可求得统计的这组留守儿童人数数据的平均数、众数和中位数；
（3）利用班级数60乘以（2）中求得的平均数即可．
【题目详解】
解：（1）该校的班级数是：2÷2.5%=16（个）．
则人数是8名的班级数是：16﹣1﹣2﹣6﹣2=5（个）．
条形统计图补充如下图所示：
故答案为16；
（2）每班的留守儿童的平均数是：（1×6+2×7+5×8+6×10+2×2）÷16=3
将这组数据按照从小到大排列是：6，7，7，8，8，8，8，8，10，10，10，10，10，10，2，2．
故这组数据的众数是10，中位数是（8+10）÷2=3．
即统计的这组留守儿童人数数据的平均数是3，众数是10，中位数是3；
（3）该镇小学生中，共有留守儿童60×3=1（名）．
答：该镇小学生中共有留守儿童1名．
【题目点拨】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了平均数、中位数和众数以及用样本估计总体．
PB
21、（1）详见解析；（2）313
【解题分析】
（1）连接OA，利用切线的判定证明即可；
（2）分别连结OP、PE、AE，OP交AE于F点，根据勾股定理解答即可．
【题目详解】
解：（1）如图，连结OA，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC，
又∠BAD=∠BOC，
∴∠BAD=∠AOC
∵∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BAD+∠OAC=90°，
∴OA⊥AD，
即：直线AD是⊙O的切线；
（2）分别连结OP、PE、AE，OP交AE于F点，∵BE是直径，
∴∠EAB=90°，
∴OC∥AE，
∵OB=13
2
，
∴BE=13
∵AB=5，在直角△ABE中，AE=12，EF=6，FP=OP-OF=13
2
-
5
2
=4
在直角△PEF中，FP=4，EF=6，PE2=16+36=52，
在直角△PEB中，BE=13，PB2=BE2-PE2，
【题目点拨】
本题考查了切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
22、(1)见解析；(2) m=-1.
【解题分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1>1，由此即可证出：无论实数m取什么值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用分解因式法解原方程，可得x1=m，x2=m+1，在根据已知条件即可得出结论．
【题目详解】
（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+2）
=（m+1）2
∴无论m取何值，（m+1）2恒大于等于1
∴原方程总有两个实数根
（2）原方程可化为:(x-1)(x-m-2)=1
∴x 1=1, x 2=m+2
∵方程两个根均为正整数,且m 为负整数
∴m=-1.
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与根据因式分解法解一元二次方程. 23、-1
【解题分析】
原式第二项利用除法法则变形，约分后通分，并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．
【题目详解】 解：原式＝13
a -﹣1(3)(3)a a +-•2（a ﹣3） ＝
13a -﹣23
a +＝23269a a a +-+-＝299a a --， 当a ＝1时，原式＝9119--＝﹣1． 【题目点拨】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24、（1）参与问卷调查的总人数为500人；（2）补全条形统计图见解析；（3）这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人．
【解题分析】
（1）根据喜欢支付宝支付的人数÷其所占各种支付方式的比例=参与问卷调查的总人数，即可求出结论；
（2）根据喜欢现金支付的人数（41～60岁）=参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比例-15，即可求出喜欢现金支付的人数（41～60岁），再将条形统计图补充完整即可得出结论；
（3）根据喜欢微信支付方式的人数=社区居民人数×微信支付所占各种支付方式的比例，即可求出结论．
【题目详解】
（1）()1208040%500+÷=（人)．
答：参与问卷调查的总人数为500人．
（2）50015%1560⨯-=（人)．
补全条形统计图，如图所示．
（3）()8000140%10%15%2800⨯---=（人)．
答：这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人．
【题目点拨】
本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是：（1）观察统计图找出数据，再列式计算；（2）通过计算求出喜欢现金支付的人数（41～60岁）；（3）根据样本的比例×总人数，估算出喜欢微信支付方式的人数．
25、23x -+；22- 【解题分析】 根据分式的化简求值，先把分子分母因式分解，再算乘除，通分后计算减法，约分化简，最后代入求值即可．
【题目详解】
解：22444332
x x x x x x x ++--÷++- =2(2)(2)(2)332
x x x x x x x ++--÷++- =2(2)233(2)(2)
x x x x x x x +--⋅+++- =
233
x x x x +-++ =23x -+ 当322x =-+时，原式=2223223
-
=--++． 【题目点拨】
此题主要考查了分式的化简求值，把分式的除法化为乘法，然后约分是解题关键．
26、（1） （2）证明见解析
【解题分析】
（1）如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，根据AB2+AE2=BE2，可得方程（2x+x）2+x2=22，解方程即可解决问题．
（2）如图2中，作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，首先证明EG=MG，再证明FM=FQ即可解决问题．
【题目详解】
解：如图 1 中，在AB 上取一点M，使得BM=ME，连接ME．
在Rt△ABE 中，∵OB=OE，
∴BE=2OA=2，
∵MB=ME，
∴∠MBE=∠MEB=15°，
∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，
∵AB2+AE2=BE2，
∴，
∴x=（负根已经舍弃），
∴AB=AC=（2+ ）•，
∴BC= AB= +1．
作CQ⊥AC，交AF 的延长线于Q，
∵ AD=AE ，AB=AC ，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAC=90°，FG ⊥CD ，
∴∠AEB=∠CMF ，
∴∠GEM=∠GME ，
∴EG=MG ，
∵∠ABE=∠CAQ ，AB=AC ，∠BAE=∠ACQ=90°，
∴△ABE ≌△CAQ （ASA ），
∴BE=AQ ，∠AEB=∠Q ，
∴∠CMF=∠Q ，
∵∠MCF=∠QCF=45°，CF=CF ，
∴△CMF ≌△CQF （AAS ），
∴FM=FQ ，
∴BE=AQ=AF+FQ=AF=FM ，
∵EG=MG ，
∴BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG ．
【题目点拨】
本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
27、（1）（1）A （a ，0），B （3,0），D （0,3a ）.（2）a 的值为
73
.（3）当D 、O 、C 、B 四点共圆. 【解题分析】
【分析】（1）根据二次函数的图象与x 轴相交，则y=0，得出A （a ，0），B （3，0），与y 轴相交，则x=0，得出D （0，3a ）. （2）根据（1）中A 、B 、D 的坐标，得出抛物线对称轴x=32a +，AO=a ，OD=3a ，代入求得顶点C （32a +，-2
32a -⎛⎫ ⎪⎝⎭），
从而得PB=3- 32a +=32a -，PC=232a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；再分情况讨论：①当△AOD ∽△BPC 时，根据相似三角形性质得233322a a a a =--⎛⎫ ⎪⎝⎭， 解得：a= 3（舍去）；
②△AOD ∽△CPB ，根据相似三角形性质得23332
2a
a a a =
--⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，解得：a 1=3（舍），a 2=73； （3）能；连接BD ，取BD 中点M ，根据已知得D 、B 、O 在以BD 为直径，M （
32，32a ）为圆心的圆上，若点C 也在此圆上，则MC=MB ，根据两点间的距离公式得一个关于a 的方程，解之即可得出答案.
【题目详解】（1）∵y=（x-a ）（x-3）（0<a<3）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧）， ∴A （a ，0），B （3，0），
当x=0时，y=3a ，
∴D （0，3a ）；
（2）∵A （a ，0），B （3，0），D （0，3a ）.∴对称轴x=32
a +，AO=a ，OD=3a ， 当x= 32a +时，y=- 232a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴C （32a +，-232a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
）， ∴PB=3-32a +=32a -，PC=232a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ①当△AOD ∽△BPC 时，
∴AO OD BP PC
=， 即 233322a a a a =--⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 解得：a= 3（舍去）；
②△AOD ∽△CPB ，
∴AO OD CP PB =，
即23332
2a
a a a =
--⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 解得：a 1=3（舍），a 2=
73 . 综上所述：a 的值为73； （3）能；连接BD ，取BD 中点M ，
∵D 、B 、O 三点共圆，且BD 为直径，圆心为M （
32，32
a ）， 若点C 也在此圆上，
∴MC=MB ， ∴2
22223333333222222a a a a ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， 化简得：a 4-14a 2+45=0，
∴（a 2-5）（a 2-9）=0，
∴a 2=5或a 2=9，
∴a 15a 25a 3=3（舍），a 4=-3（舍），
∵0<a<3，
∴5
∴当5D 、O 、C 、B 四点共圆.
【题目点拨】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟练应用相关知识是解题的关键.。