概率论与数理统计课件2324

满足连续型随机变量 的两个最基本性质
f x的图形
在(a, b)上服从均匀分布的随机变量X落在(a, b)中任 一等长度的子区间内的可能性是相同的, 或者说X 落在(a, b)子区间的概率只依赖于子区间的长度, 而 与子区间的位置无关．
X的分布函数为
0,
F
x
x b
a a
,
1 ,
F ( x)相应的图形为
引理
若 X ~ N( , 2)
则 Y X ~ N (0,1)
标准正态分布表的使用:
(1)表中给出了x>0时, (x)的数值, 当x<0时,
利用正态分布密度函数的对称性, 易见有
(x)=1-(-x);
(2) 若X~N(0,1), 则由连续型随机变量分布 函数的性质2, 有 P{a<Xb}=P{aXb}=P{aX<b}
解 由题意知{1 x 5}是一个必然事件
即 P1 X 5 1
若x 1,则{X x}是不可能事件, F(x) P{X x} 0
若1 P{1 X 5} 1可得k 1/ 4,从而
F(x) PX x Px 1 P1 X x 1 (x 1)
Fx
x
f
t dt
则X称为连续型随机变量，其中函数f (x)称 为X的概率密度函数，简称概率密度.
由定义知道，概率密度f x具有以下性质
映而 上机((13出)式 是变) XX表量对取Pf在明，x于 x点x1概用附x任率概近的X意0密率的概实度密值率x2(数 f度2的分()x描概x布F)1不,述率的xx是 22它大密,fx随的小1集Fx机分．程dxx变1x布因2度,量有比此,1fxXx1分对(2取xf布 )于的值x性两性函连d大x质个质x的数续小(最1概直型)能基,(率2观随本反)是,．的
4
若x 5，则{X x}是必然事件，F(x) 1
X的分布函数为
0,
F ( x)
1( 4 1,
x
1),
x 1, 1 x 5
x 5.
F ( x)的图形如下图所示
F ( x)是一个定义在（－,）上的一个连续函数， 在整个数轴上没有一个跳跃点.
第四节 连续型随机变量
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
e
x
,
0,
x 0， 其他.
指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示
例3 已知某种电子元件寿命X (单位：h)服从参数
1/1000的指数分布,求3个这样的元件使用1000
小时至少有一个已损坏的概率。
解：X的概率密度为
f
x
1
1000
e
x 1000
,
0,
于是PX 1000 f xdx e1 1000
P (Y
2)
C32
(
2 3
)2
1 3
C33
(
2 3
)3
20 27
指数分布
设连续型随机变量X概率密度为满足连续型随机变量
的两个最基本性质
f
x
e
x
,
x 0,
0,
x 0,
其中 0常数为,则称X服从参数为的指数分布．
易知f (x) 0且 f xdx exdx 1
0
X的分布函数为
F
x
1
x 1 1 x 0
0 x 1 x 1
P0 X 1 P0 X 1 PX 0 F (1) F (0) PX 0
1 3 1 42
3. 4
F ( x)的图形如下图所示
F(x)
1
－1
Ｏ
1
x
分布函数F x的图形是一条阶梯曲线，
它在X＝－1,0,1处有跳跃 其跳跃值分别为X 取－1,0,1的概率 1 ,1 ,1 .
xa a xb
xb
例2 设随机变量 X 在[2，5]上服从均匀分布，现对 X 进行三次
独立观测。试求至少有两次测值大于 3 的概率
解 依题意得：X 的密度函数为
f (x) 13 ，2<x<5 0 ，其他
设 Y 表示二次独立观测其测值大于 3 的次数，则
P(X 3) 5 1 dx 2
33
3
=P{a<X<b}=(b)-(a);
(3) 若X~N(,2), 则 Y X ~ N (0,1),
故X的分布函数
F(x) P{X x} P X x
b
;
P{a X b} P a Y b
b
a
.
例4 已知X ~ N (8,4 2 ) 求P{X 16}, P{X 0}及P{12 X 20}
X的分布函数为 F ( x)如下图所示
F(x)
1
2π
e dt x
(t )2 2 2
当 0, 1,时称X服从标准正态分布,记为X ~ N (0,1)。 其概率密度和分布函数分别用 ( x), Φ( x)表示，即有
(x)
1
x2
e 2,
2π
(x) 1
x t2
e 2 dt
2π
易知 (x) 1 (x)
例5设 X ~ N( , 2) 求X落在区间( k , k )内的概率
k (1,2,3,)
解 P{ X k} P{ k X k} (k) (k)
2 (k) 1
于是 P{ X } 2 (1) 1 0.6826
P{ X 2} 2 (2) 1 0.9544 P{ X 3} 2 (3) 1 0.9973
第三节 随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
F(x) PX x
称为X的分布函数
分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个 实数轴．
在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数 x左边的概率
Xx
分布函数具有以下基本性质：
1. 0 F(x) 1
2. F(x)是x的不减函数
3. F() lim F(x) 0，F() lim F(x) 1
显然f (x) 0，下面来证明 ＋ f (x)dx 1 －
令 x t,得
1
(x )2
e 2 2 dx
2π
1
t2
e 2 dt
2π
利用
于是
e x2 dx π , 有
0
2
t2
e 2 dt 2π
1
2π
e
(
x )2 2 2
dx
1
f (x)如图所示
函数f (x)的图形关于直线x 对称, f (x)在x 处 达到最大.当固定时,的值越小, f (x)的图形越尖。 反之，当的值越大，f (x)的图形就越平.
x 0, x 0.
各元件的寿命是否超过1000小时是独立的，因此 3个元件使用1000小时都未损坏的概率为 e3 ，从 而至少有一个已损坏的概率为1 e3 ．
正态分布
满足连续型随机变量
设连续型随机变量X概率密度的为两个最基本性质
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
, x
2π
其中, ( 0)为常数,则称X服从参数为,的正态 分布,记为X ~ N (, 2 ).
(3)
P
3 2
X
5 2
F
5 2
F
3 2
1 0.9375 0.0625
x0 0 x2 x2
均匀分布
设连续型随机变量X具有概率密度
f
x
b
1
a
,
0,
a x b, 其他,
则称X在区间(a, b)上服从均匀分布, 记为X～U (a, b)
易知f (x) 0,且 f xdx 1
424
一般地，设离散型随机变量X的分布函数为
PX xk pk， k 1，2，
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
x对kk }所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
例2 在区间[1,5]上任意掷一个质点,用X表示这个 质点与原点的距离,则X是一个随机变量.如果这个 质点落在[1,5]上任一子区间内的概率与这个区间 的长度成正比，求X的分布函数.
例1 设连续型随机变量X具有概率密度
f
x
kx 0 ,
1,
0 x 2, 其他.
(1)确定常数k
(2)求X的分布函数Fx
(3)求P
3 2
X
5 2
解 (1)
由
f (x)dx 1,得
2
(kx 1)dx 1
0
解得k 1/ 2
(2) X的分布函数为
0,
F
x
x
f
t dt
1 4
x2
x,
1,
则有P{ X 3} 1 P{ X 3} 0.0027 0.003 X落在( 3 , 3 )以外的概率小于0.003，
在实际问题中常认为它不会发生.
3
2
68.26% 95.44% 99.74%
2 3
设X ~ N (0,1), 若u满足条件P{X u } ,0 1,则 称点u为标准正态分布的上分位点(如下图所示)
(4) 若f (x)在点x连续，则有F '(x) f (x)
X 落在由区性间(质x1,(x42)]知上,的对概于率f (x)的连续点x有
P{x1 fXx x2l}im等于F区x 间x Fx lim Px X x x
(x1, x2 ]上曲线xf(0x )之下的x
x0
x
曲边梯形的面积(如图)
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
注: 另一方面, 若一个函数具有上述性质, 则它一 定是某个随机变量的分布函数.
例1 设随机变量X的分布律为
X -1 0 1
pk ¼ ½ ¼
求X的分布函数，并求P0 X 1
解 由概率的有限可加性 分布函数为：
0
1
F
(
x)
4 3
4
1
解 由引理及X的分布函数,查表得
P{X 16} P{ X 8 16 8} (2) 0.9773
4
4
P{X 0} P{ X 8 8} (2) 1 (2) 0.0227
44
P{12 X 20} P{12 8 X 8 20 8} (3) (1)
4
4
4
0.9987 0.8413 0.1574
由(x)的图形的对称性可知：u1 u
作业
• P47页 1. 2. 3
P54页 1. 3. 4. 7