2019年济南市中考题(Word+答案)

山东省济南市2019年初三年级学业水平考试数学试题
一、选择题(本大题共12个小题，每题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合
题目要求的．) 1. －7的相反数是
A ． －7
B ．－1
7 C ．7 D ． 1
【答案】C
2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是
A B C D 【答案】 D
3．2019年1 月3日，“嫦娥四号〞 探测器成功着陆在月球反面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球反面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为
A ． 0.1776×103
B ． 1.776×102
C ．1.776×103
D ． 17.76×102 【答案】B
4． 如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ，假设∠1＝70°，那么∠CBE 的度数为 A ．20° B．35° C．55° D．70°
【答案】B
5．实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如下图，以下关系式不成立的是
A ． a －5＞b －5
B ． 6a ＞6b
C ． －a ＞－b
D ． a －b ＞0
【答案】C
6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
赵爽弦图
科克曲线
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
斐波那契螺旋线 笛卡尔心形线
7．化简
4x 2－4＋1x ＋2
的结果是 A ．x －2 B ．1x ＋2 C ．2x －2 D ．2
x ＋2
【答案】B 【解析】
4x 2－4＋1x ＋2＝4(x ＋2)(x －2)＋1x ＋2＝4＋(x －2)(x ＋2)(x －2)＝x －2(x ＋2)(x －2)＝1
x ＋2
． 8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，那么这7次成绩的中位数和平均数分别是
A ．9.7m ， 9.9m
B ．9.7m ， 9.8m
C ．9.8m ， 9.7m
D ．9.8m ， 9.9m
9.
【答案】B
9．函数y ＝－ax ＋a
与y ＝a
x
(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是
D ．
【答案】D
10．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心、CE 为半径作弧，交CD 于点F ，连接AE 、AF ．假设AB ＝6，∠B ＝60°，那么阴影局部的面积为 A ．9
3－3π B．93－2π C．183－9π D．183－6π
【答案】A
【解析】由可得：CE ＝CF ＝1
2
AB ＝3，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，AE ＝AF ＝33，∠ECF ＝120°．
S △AEC ＝S △AFC ＝12
×3×33＝
923，S 四边形AECF ＝93，S 扇形ECF ＝1
3
×π×32＝3π． ∴S 阴影＝S 四边形AECF －S 扇形ECF ＝93－3π．
11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A 测得历下亭C 在北偏东37°方向，继续向北走105m 后
到达游船码头B ，测得历下亭C 在游船码头B 的北编东53°方向．请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为 (参考数据：tan37°≈34，tan53°≈4
3
)．
A ．225m
B ．275m
C ．300m
D ．315m
游船码头
历下亭
【答案】C
【解析】过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ．
在Rt △ACD 中，∵tan ∠A ＝CD AD ，∴tan37°＝CD AD ＝3
4
．∴可设CD ＝3x ，AD ＝4x ．∴AC ＝5x ．
在Rt △BCD 中，∵tan ∠DBC ＝
CD BD ，∴tan53°＝CD BD ＝43．∴3x BD ＝43．∴BD ＝9
4
x ． ∵AB ＋BD ＝AD ，∴105＋9
4x ＝4x ．解得x ＝60．
∴AC ＝5x ＝300〔m 〕．
D
12．关于x 的一元二次方程ax 2
＋bx ＋12＝0有一个根是－1，假设二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋12的图象的顶点在第
一象限，设t ＝2a ＋b ，那么t 的取值范围是
A ．－12＜t ＜14
B ．－1＜t ≤14
C ．－12≤t ＜12
D ．－1＜t ＜1
2
【答案】D
【解析】将x ＝－1代入ax 2
＋bx ＋12＝0，得a －b ＋1
2
＝0．
∴a ＝b －1
2
……………………………………①．
∴t ＝2a ＋b ＝2(b －1
2
)＋b ＝3b －1……………………………………②．
根据题意可知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋12的图象经过点〔－1，0〕和〔0，1
2〕．
又∵二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋1
2
的图象的顶点在第一象限，
∴该抛物线的开口向下，与x 轴有两个交点，且顶点的纵坐标y 顶＞1
2．
∴a ＜0，b ＞0． ∴a ＝b －12＜0．∴b ＜1
2
．
又∵b ＞0，∴0＜b ＜12．∴0＜3b ＜32．∴－1＜3b －1＜1
2．
又∵t ＝3b －1，
∴－1＜t ＜1
2……………………………………③．
下面再采用验证法作出进一步的判断：
在14＜t ＜12的范围内，假设取t ＝38，得38＝3b －1．解得b ＝1124．∴a ＝b －12＝－124． 此时y ＝ax 2
＋bx ＋12＝－124x 2＋1124x ＋12＝－124(x －112)2＋21796，x 顶＝112＞0，y 顶＝21796＞12
．
∴t ＝3
8
符合题意……………………………………④．
在－1＜t ＜－12的范围内假设取t ＝－34，得－34＝3b －1．解得b ＝112．∴a ＝b －12＝－5
12．
此时y ＝ax 2＋bx ＋12＝－512x 2＋112x ＋12＝－512(x －110)2＋121240，x 顶＝110＞0，y 顶＝121240＞1
2．
∴t ＝－3
4符合题意……………………………………⑤．
综上可知：答案选D ．
二、填空题： (本大题共613．分解因式： m 2－4
m ＋4＝________； 【答案】(m －2)2
14．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个一样的扇形，转动转盘，转盘停顿时，指针落在红色区域的概率等于________；
【答案】1
3
15． 一个n 边形的内角和等于720°， 那么n ＝________； 【答案】6
16．代数式2x －1
3
与代数式3－2x 的和为4，那么x ＝________；
【答案】x ＝－1
17．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l 1、l 2分别表示去年、今年水费y (元)与用水量x (m 3)之间的关系．小雨家去年用水量为150m 3，假设今年用水量与去年一样，水费将比去年多________元．
m 3
【答案】210
【解析】图中l 1的解析式为y ＝3x ，当x ＝150时，y ＝3×150＝450〔元〕， ∴小雨家去年用水的水费为450元．
图中l BC 的解析式为y ＝6x －240，当x ＝150时，y ＝6×150－240＝660〔元〕． 660－450＝210〔元〕． ∴水费将比去年多210元．
18． 如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折， 使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，假设AD ＝8，AB ＝5，那么线段PE
的长等于________．
【答案】20
3
【解析】由题意可得：四边形ABNM 是正方形，AM ＝AB ＝MN ＝BN ＝5，CN ＝DM ＝8－5＝3，∠ABM ＝45°，CD ＝CF ＝5，DE ＝EF ．
在Rt △CFN 中，∵CF ＝5，CN ＝3，∴FN ＝4． ∴MF ＝MN －FN ＝5－4＝1．
设DE ＝EF ＝x ，那么ME ＝3－x ．
在Rt △MEF 中，∵ME 2
＋MF 2
＝EF 2
，∴(3－x )2
＋12
＝x 2
．x ＝53．∴EF ＝53，那么ME ＝3－x ＝4
3
．
∴MF ∶ME ∶EF ＝3∶4∶5．
过点P 作PG ⊥AM 于点G ，那么∠GPM ＝∠ABM ＝45°．∴PG ＝MG ．
∵PG ∥MF ，∴△EFM ∽△EPG ．∴PG ∶EG ∶PE ＝MF ∶ME ∶EF ＝3∶4∶5． 设PG ＝MG ＝3y ，那么EG ＝4y ，PE ＝5y ． ∵EG ＝MG ＋EM ，∴4y ＝3y ＋43．∴y ＝4
3．
∴PE ＝5y ＝20
3
．
三、解答题： (本大题共9个小题，共78分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 19． (本小题总分值6分)
计算：(1
2)－1＋(π＋1)0－2cos60°＋9
【解】原式＝2＋1－2×1
2＋3
＝5．
20． (本小题总分值6分)
解不等式组：⎩
⎪⎨⎪
⎧5x －3≤2x ＋9① 3x ＞x ＋102. ② ，并写出它的所有整数解． 【解】由①，得
5x －2x ≤9＋3． ∴x ≤4． 由②，得 6x ＞x ＋10． ∴x ＞2．
∴原不等式组的解集是2＜x ≤4． 它的所有整数解为：3，4． 21． (本小题总分值6分)
如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 和BC 上的点，∠DAF ＝∠BCE ．求证：BF ＝DE ．
【证明】
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，AD ∥B C ． ∴∠AFB ＝∠DAF ，∠DEC ＝∠BCE ． 又∵∠DAF ＝∠BCE ， ∴∠AFB ＝∠DE C ． ∴△ABF ≌△CDE ． ∴BF ＝DE ．
22． (本小题总分值8分)
为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购置了一批书籍．其中购置A 种图书花费了3000元，购置B 种图书花费了1600元，A 种图书的单价是B 种图书的1.5倍，购置A 种图书的数量比B 种图书多20本．
(1)求A 和B 两种图书的单价；
(2)书店在“世界读书日〞进展打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购置了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元? 【解】〔1〕设B 种图书的单价为x 元，A 种图书的单价为1.5x 元，根据题意，得；
30001.5x －1600
x ＝20． 2000x －1600
x
＝20．
解得x ＝20．
经检验x ＝20是原方程的根． ∴1.5x ＝30．
答：A 种图书的单价为30元，B 种图书的单价为20元．
(2) 〔20×30＋20×25〕×0.8＝880(元)． 答：共花费880元． 23． (本小题总分值8分)
如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，过点C 的⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC 、BD ． (1)求证；∠ABD ＝∠CAB ；
(2)假设B 是OE 的中点，AC ＝12，求⊙O 的半径．
【解析】
〔1〕证明：∵AD ＝AD ，∴∠ABD ＝∠AC D ． ∵OA ＝OC ，∴∠ACD ＝∠CA B ． ∴∠ABD ＝∠CA B ．
〔2〕解：连接BC ，那么∠ACB ＝90°． ∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90°． ∵B 是OE 的中点，∴OB ＝BE ＝1
2OE ．
∴OC ＝OB ＝1
2OE ．
∴∠E ＝30°． ∴∠COE ＝60°． 又∵OC ＝OB ，
∴△OCB 是等边三角形． ∴∠ABC ＝60°．
在Rt △ABC 中，∵tan ∠ABC ＝AC BC ，∴tan60°＝12
BC
．
∴BC ＝
12
3
＝43．
24． (本小题总分值10分
某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：
4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1
5.2 5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2 4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1 4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3
(1)统计表中的a ＝_______，b ＝_______； (2)请补全条形统计图；
(3)根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E 级〞的有多少人?
(4)该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼〞宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1
女〞的概率． 【解】〔1〕a ＝8，b ＝0.15； (2)补全后的条形统计图如下图：
〔3〕400×0.25=100〔人〕．
答：估计该校八年级学生视力为 “E 级〞的有100人．
男1女〞的结果有8种，所以其概率为812＝2
3．
25． (本小题总分值10分)
如图1，点A (0，8)、点B (2，a )在直线y ＝－2x ＋b 上，反比例函数y ＝k x
(x ＞0)的图象经过点B ． (1)求a 和k 的值；
(2)将线段AB 向右平移m 个单位长度(m ＞0)，得到对应线段CD ，连接AC 、 B D ．
①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求
DE
EF
的值； ②在线段AB 运动过程中，连接BC ，假设△BCD 是以BC 为腰的等腰三形，求所有满足条件的m 的值．
【解】〔1〕将点A (0，8)代入y ＝－2x ＋b ，得b ＝8． ∴直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋8． 将点B (2，a )代入y ＝－2x ＋8，得 a ＝－2×2＋8＝4． ∴点B (2，4)．
将点B (2，4)代入y ＝k
x (x ＞0)，得
k ＝2×4＝8．
∴反比例函数的解析式为y ＝8
x
(x ＞0)．
〔2〕当m ＝3时，D 〔5，4〕．∴F 〔5，0〕． 将x ＝5代入y ＝8x ，得y ＝85．∴E 〔5，8
5〕．
∴DE ＝4－85＝125，EF ＝8
5．
∴DE EF ＝12
585
＝32
． 〔3〕根据题意，得C 〔m ，8〕，D 〔2＋m ，4〕． ∴BC 2＝(m －2)2＋(8－4)2＝m 2－4m ＋20， BD 2＝(2＋m －2)2＋(4－4)2＝m 2， CD 2＝AB 2＝(2－0)2＋(4－8)2＝20．
①假设BC ＝CD ，那么m 2－4m ＋20＝20．解得m 1＝4，m 2＝0〔不合题意，舍去〕． ②假设BC ＝BD ，那么m 2－4m ＋20＝m 2．解得m ＝5． ∴满足条件的m 的值为4或5． 26． (本小题总分值12分)
小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进展了拓展探究．
(一)猜想探究
在△ABC 中，AB ＝AC ，M 是平面内任意一点， 将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN ，连接N B ．
(1)如图1，假设M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是______，NB与MC的数量关系是______；
(2)如图2，点E是AB延长线上点，假设M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，(1)中结论是否仍然成立?假设成立，请给予证明，假设不成立，请说明理由．
(二)拓展应用
如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．
Q
1 N
C
C
1
【解】〔1〕∠NAB＝∠MAC，NB＝MC；
〔2〕(1)中结论仍然成立，证明如下：
由旋转可得：AN＝AM，∠NAM＝∠BA C．
∴∠NAB＋∠BAM＝∠BAM＋∠MA C．
∴∠NAB＝∠MA C．
又∵AB＝AC，
∴△NAB≌△MA C．
∴NB＝M C．
〔3〕过点A1作A1G⊥B1C1于点G，那么B1G＝
1
2
A1B1＝4，A1G＝3B1G＝43．
在△A1B1C1中，∴∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，∴∠C1＝45°．
在Rt△ABC中，∵∠C1＝45°，∴A1C1＝2A1G＝46．
作A1B1的延长线B1F，将A1C1绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1P1(点P1在B1F上)，将A1B1绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1P2，连接P1P2．
根据题意可知：当点P在点C1处时，点Q在点P1处，当点P在点B1处时，点Q在点P2处．
∵点P在线段B1C1上运动，∴点Q在线段P1P2上运动．
过点B1作B1H⊥P1P2于点H，那么线段B1Q长度的最小值= B1H．
与〔2〕同理可得：A1Q＝A1P，∠QA1P1＝∠PA1C1．
又∵A1P1＝A1C1＝46，
∴△QA1P1≌△PA1C1．
∴∠QP1A1＝∠PC1A1＝45°．
在Rt△P1B1H中，∵∠B1 P1P2＝45°，∴B1H＝
P1B1
2
＝
46－8
2
＝43－42．
∴线段B1Q长度的最小值= B1H＝43－42．
P
27．〔此题总分值12分〕
如图1，抛物线C ：y ＝ax 2＋bx 经过点A 〔－4，0〕、B 〔－1，3〕两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C ′．
〔1〕求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；
〔2〕如图2，直线l ：y ＝kx －12
5经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m 〔m ＜－2〕，
连接DO 并延长，交抛物线C ′于点E ，交直线l 于点M ，假设DE ＝2EM ，求m 的值；
〔3〕如图3，在〔2〕的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得∠DEP ＝∠GAB ？假设存在，求出点P 的横坐标；假设不存在，请说明理由．
【解】〔1〕将点A 〔－4，0〕、B 〔－1，3〕的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －4b 3＝a －b ．解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4． ∴抛物线C 的函数解析式为y ＝－x 2－4x ．
∵y ＝－x 2－4x ＝－( x 2＋4x )＝－( x 2＋4x ＋4－4)＝－( x ＋2) 2＋4， ∴抛物线C 的顶点G 的坐标为〔－2，4〕．
〔2〕∵抛物线C 与新的抛物线C ′关于原点O 中心对称，
∴新的抛物线C ′的函数解析式为－y ＝－(－x )2－4(－x )，即y ＝x 2－4x ． 将点A 〔－4，0〕的坐标代入y ＝kx －125，得0＝－4k －－125．解得k ＝－3
5．
∴直线l 的函数解析式为y ＝－35x －12
5
．
设点D 的坐标为〔m ，－m 2－4m 〕〔其中m ＜－2〕． 由题意可知：点D 与点E 关于原点O 中心对称， ∴点E 的坐标为〔－m ，m 2
＋4m 〕且OD ＝OE ＝1
2
DE ．
∵DE ＝2EM ，∴EM ＝1
2DE ．∴OD ＝OE ＝EM ．∴x M ＝2x E ＝－2m ．
把x ＝－2m 代入y ＝－35x －125，得y ＝－35×(－2m )－125＝65m －12
5．
∴点M 的坐标为〔－2m ，65m －12
5
〕．
∵点E 是OM 的中点，∴y E ＝
y O ＋y M
2
．
∴m 2＋4m ＝0＋(65m －12
5)
2．整理，得5m 2＋17m ＋6＝0．解得m 1＝－3，m 2＝－2
5〔不合题意，舍去〕．
∴m ＝－3．
〔3〕存在点符合题意的点P ，使得∠DEP ＝∠GA B ．
在〔2〕的条件下，m ＝－3，那么点D 的坐标为〔－3，3〕，点E 的坐标为〔3，－3〕． 取抛物线C ′的顶点为点G ′．
由题意可得：点G 〔－2，4〕与点G ′关于原点O 中心对称，∴点G ′的坐标为〔2，－4〕． 分别连接BG 、EG ′、OG ′．
由点A 〔－4，0〕、B 〔－1，3〕可得直线AB 的解析式为y ＝x ＋4，且AB ＝32． 由点B 〔－1，3〕、G 〔－2，4〕可得直线BG 的解析式为y ＝－x ＋2，且BG ＝2． ∵k AB ·k BG ＝1×(－1)＝－1，∴AB ⊥BG ．∴∠ABG ＝90°．
由点O 〔0，0〕、E 〔3，－3〕可得直线OE 的解析式为y ＝－x ，且OE ＝32． 由点G ′〔2，－4〕、E 〔3，－3〕可得直线EG ′的解析式为y ＝x －6，且EG ′＝2． ∵k OE ·k EG ′＝1×(－1)＝－1，∴OE ⊥EG ′．∴∠OEG ′＝90°．
∵AB ＝OE ＝32，BG ＝EG ′＝2，∠ABG ＝∠OEG ′＝90°，∴△ABG ≌△OEG ′．∴∠GAB ＝∠
G′OE ．
∴要使∠DEP ＝∠GAB ，只要∠DEP ＝∠G′OE 即可．
方法一：直线OG ′的解析式为y ＝－2x ．作线段OE 的垂直平分线，交线段OE 于点N ，交线段OG ′于点F ，作直线EF ，交抛物线C 与两点P 1、P 2，那么∠FEO ＝∠G′OE ．∴点P 1、P 2即为所求 线段OE 的垂直平分线的解析式为y ＝x －3． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3y ＝－2x 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2．∴点F 的坐标为〔1，－2〕．
由点E 〔3，－3〕、F 〔1，－2〕可得直线EF 的解析式为y ＝－12x －3
2．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32y ＝－x 2－4x
得2x 2＋7x －3＝0．解得x 1＝－7＋734，x 2＝－7－734
．
∴点P 的横坐标为－7＋734或－7－734
．
方法二：直线OG ′的解析式为y ＝－2x ．
在线段OG ′上取一点F ，使FE ＝FO ，那么∠FEO ＝∠G′OE ＝∠GA B ．直线EF 交抛物线C 于两点P 1、P 2，那么点P 1、P 2即为所求． 设F 的坐标为〔t ，－2t 〕，那么OF 2＝(0－t )2＋(0＋2t )2＝5t 2，EF 2＝(t －3)2＋(－2t ＋3)2＝5t 2－18t ＋18． ∵FE ＝FO ，∴5t 2＝5t 2－18t ＋18．解得t ＝1． ∴F 〔1，－2〕． 由点E 〔3，－3〕、F 〔1，－2〕可得直线EF 的解析式为y ＝－12x －32．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32y ＝－x 2－4x
得2x 2＋7x －3＝0．解得x 1＝－7＋734，x 2＝－7－734
．
∴点P 的横坐标为－7＋734或－7－734．。