文科数学-2022年高考考前押题密卷(全国乙卷)(全解全析)

3π
－α 2 ＝
绝密★启用前
2022 年高考考前押题密卷(全国乙卷)
文科数学·全解全析
一、选择题(本题共12 个小题，每小题5 分．满分60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的)
1．答案 C 解析由题意，得集合A＝{x|x2－4<0}＝{x|－2<x＜2 }，集合B＝{x|lg x<0}＝{x|0<x<1}，所以A∩B＝{x|0<x<1}＝(0，1)．
2.答案 C 解析设z＝b i，b∈R 且b≠0，则1＋i
＝b i，得到1＋i＝－ab＋b i，∴1＝－ab，且1＝b，1＋a i
解得a＝－1．故选C．
3.答案 D 解析由程序框图得到分段函数f(x)
正确．－x2－2x，x<0，
x2－2x，x≥0，
画出图象如图所示，则由图得D
4.答案 D 解析因为f(x)＝x cos x－1
，所以
x
f(－x)＝(－x)cos(－x)－
1
－x
＝－x cos x＋
1
－
x
f(x)，即
f(x)＝x cos x－1
为奇函数，排除A，B；又当x→0＋时，y远远小于0，排除C．x
5.答案 B 解析由题意，得本次调查的人数为50÷10%＝500，其中合唱比赛所占的比例为200
＝0.4＝
500 40%，所以机器人所占的比例为1－10%－20%－15%－40%＝15%，所以选取的学生中参加机器人社团的学生人数为500×15%＝75．
6．答案 C 解析从5 个小球中随机取出2 个，其标注的数字情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10 种情况，而取出小球标注的数字之差的绝对值
为2 或4 的情况有(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，有4 种情况，其概率为P＝4
＝
2
．10 5
7.答案 A 解析∵cos cos(π＋α)＝2，∴－sin α－cos α＝2，即s in α＋cos α＝－2，∴(sin
π＋π 9 6 ＝
α＋cos α)2＝2，∴sin αcos α 1，∴ tan α＋ 1
＝sin α＋cos α＝ 1 ＝2． 2 tan α cos α sin α sin αcos α
8. 答案 A 解析 由 f (x )＝－f (x ＋2)，得 f (x ＋4)＝f (x )，所以函数 f (x )是周期为 4 的周期函数，所以 f (2 022)
＝f (504×4＋2)＝f (2)＝5．
9. 答案 D 解析 如图所示，作平面
KSHG ∥平面 ABCD ，C 1F ，D 1E 交平面 KSHG 于点 N ，M ，连接MN ，由面面平行的性质得 MN ∥平面 ABCD ，由于平面 KSHG 有无数多个，所以平行于平面 ABCD 的MN 有无数多条，故选 D ．
T 5π － π
π 2π
10. 答案 C 解析 由函数图象知，A ＝2， ＝ － 12 ＝ ，所以
T ＝π，ω＝ ＝2，所以 f (x )＝2sin(2x
5π，－2 2 12 2 5π 2× ＋φ T
5π 3π
＋φ)，因为函数图象过点 12 2π ，所以 2sin 2π
12
＝－2，则
2x ＋2π ＋φ＝2k π＋ 6 ，k ∈Z ，解得φ＝ 2 2k π＋ ，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ＝ 3 ，所以 f (x )＝2sin 3
3 ，将函数 f (x )的图象上所有点的横坐标
2
变为原来的 ，得到 f (x )＝2sin 3
3x ＋2π 3 π ，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移 个单位长度，得到
6 3x ＋π 2π
π π，7π g (x )＝2sin 6 ，g (x )的最小正周期 T ＝ 3 ，故 A 错误；当 x ∈ 时，3x ＋ ∈ 2 6
6 ，此时 g (x )
单调递减，故 B 错误；令 3x ＋ π＝k π＋ 6 π，k ∈Z ，则 x ＝ 2 k π π ＋ 3 9 ，k ∈Z ，当 k ＝1 时，x 4π ＝ ，故 C 正确； 9
因 为 2sin 3×
11．答案 D 解析
＝2，故 D 错误． 如图所示．
由|MF 1|－|MF 2|＝2a ，所以|AF 1|－|BF 2|＝2a ，因为|AP |＝|PQ |，|BF 2|＝|QF 2|，所以|PF 1|＋|PQ |－|QF 2|＝2a ，
π，π 9 3
＝ 又|PF |＝|PF |＝|PQ |＋|QF |，所以 2|PQ |＝2a ＝4 3⇒a ＝2 3，所以双曲线方程为x 2
y 2
1，则
a ＝2 3， 1 2 2 － ＝ 12 4
c ＝4，所以离心率为 e ＝c ＝2 3．
a 3
12．答案 B 解析 设 g (x )＝f (x )－ln x ，x ∈(0，＋∞)，则 g ′(x )＝f ′(x ) 1 xf ′(x )－1
－ ＝ >0，故 g (x )在(0，
x x
＋∞)上单调递增，g (4)＝f (4)－ln 4＝2ln 2－2ln 2＝0．不等式 f (e x )<x ，即 f (e x )－ln e x <0，即 g (e x )<g (4)， 根据 g (x )的单调性知 0<e x <4，即 e x <4＝e ln 4，解得 x <ln 4，即 x <2ln 2，故解集为(－∞，2ln 2)．故选 B ． 二、填空题(本题共 4 个小题，每小题 5 分．满分 20 分)
13．答案 －1 解析 2a ＋b ＝(4，2m ＋1)，∵b ·(2a ＋b )＝7，∴2×4＋2m ＋1＝7，解得 m ＝－1．
14. 答案 8 解析 根据几何体的三视图转换为直观图如图所示，故 V ＝1
×2×3×4＝8．
3
15. 答案
1
3
解析 由题意可知，p ＝2，
则 F (1，0)，准线为直线 x ＝－1，过 A ，B 分别作 AM ，BN 垂直准线于 M ，N ，则有|BF |＝|BN |，|AF |
＝|AM |，因为|BC |＝2|BF |，所以|BC |＝2，所以|BN |＝2，所以|BN |＝|BF |＝4，|BC | 8
，所以|CF |＝4，因
|CF | 3 p 3 3 3 4
为 p ＝|CF |，所以 2 ＝ |CF | ＝ 4 ＝
4 ，解得|AM |＝4，所以|AF |＝4，所以|BF |＝3＝1． |AM | |CA | |AM | |CF |＋|AF | 4＋|AF | 4＋|AM | |AF | 4 3
16. 答案 60° 解析 因为 OB ·AC ＋OA ·BC ≥OC ·AB ，且△ABC 为等边三角形，OB ＝1，OA ＝2，所以 OB ＋OA ≥OC ，所以 OC ≤3，所以 OC 的最大值为 3，取等号时，∠OBC ＋∠OAC ＝180°，所以 cos ∠OBC ＋cos ∠OAC ＝0，不妨设 AB ＝x ，所以x 2＋1－9 2x
x 2＋4－9＝0，解得 x ＝ 7，所以 cos ∠AOC 4x 9＋4－7 ＝
2×2×3
＋
b
，所以所求线性回归方程为 ＝ b y × ＝1
，所以∠AOC ＝60°． 2
三、解答题(本题共 6 个小题，满分 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必
考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答) － 17. 解析 (1)由已知数据得 x ＝ 1
(1＋2＋3＋4＋5)＝3， 5 y ＝1 5
×710＝142， 错误!(x i － x )
2＝(－2)2＋(－1)2＋0＋12＋22＝10， 错误!(
x i － x )(y i
－ y )＝错误!x i y i
－5 x y ＝2 600－5×3×142＝470，
所以 r ≈ 470
3.16 149.8
≈0.99．
因为 y 与 x 的相关系数近似为 0.99，接近 1，说明 y 与 x 的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系． ...................................................................................... 6 分
(2)由(1)得^
＝错误!＝470
＝47， 10
a ^＝ y － ^ x ＝142－47×3＝1 ^
47x ＋1．
^
将 2025 年对应的年份编号 x ＝9 代入线性回归方程得y ＝47×9＋1＝424，
故预测 2025 年该市新能源汽车充电站的数量为 424 个． ................................................................... 12 分
18. 解析 (1)如图，取 AD 的中点 O ，连接 OE ，PO ，OC ，BD ，则 OE ∥BD ，
因为底面 ABCD 为菱形，则 AC ⊥BD ，所以 AC ⊥OE ， 因为 PA ＝PD ，所以 PO ⊥AD ，
因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ，平面 PAD ∩平面 ABCD ＝AD ，PO ⊂平面 PAD ， 所以 PO ⊥平面 ABCD ，又 AC ⊂平面 ABCD ，所以 PO ⊥AC ， 因为 PO ∩OE ＝O ，所以 AC ⊥平面 POE ，
因为 PE ⊂平面 POE ，所以 AC ⊥PE ． ........................................................................................... 6 分 (2)若 PA ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，则 AC ＝2 3，PO ＝ 3，
在 △COD 中 ，OC ＝ OD 2＋DC 2－2OD ·DC cos 120°＝ 7，PC ＝ OC 2＋PO 2＝ 10，
2×2×2 3
6 8 3 1 2 1 2 1 2 1 3n ＋2 1 2 1 2 1 3n －1 1 n
2
1 2 1 2 ，即 1 ×
在△PAC 中，cos ∠PAC ＝4＋12－10＝ ＝ 3，所以 sin ∠PAC ＝ 13
，
4 4 所 以 S △PAC ＝1PA ·AC sin ∠PAC ＝1×2×2 3× 13＝ 39
．
2 2 4 2
设点 E 到平面 PAC 的距离为 h ，V E －P AC ＝V P 1 1 －ACE ·S △PAC ·h ＝ ·S △ACE ·PO ，
1× 39·h ＝1 1
×1× 3× 3 3 3 ，解得 h ＝ 39． 3 2 3 2 13
即点 E 到平面 PAC 的距离为 39． ....................................................................................... 12 分
13
a n ＋1 1 1 19．解析 (1)由 2S n 1＝2S n ＋a n 得，2S n 1－2S n ＝2a n 1＝a n ，∴ ＝ ，又 a 1＝ ，
＋ ＋ ＋
1 1
n
a n 2 2
∴{a n }是首项为 ，公比为 2 的等比数列．∴a n ＝ ．
2
设等差数列{b n }的公差为 d (d >0)，由 b 1＝2，b 1，b 2－1，b 3 成等比数列．
∴(d ＋1)2＝2(2＋2d )，即 d 2－2d －3＝0．
∵d ＞0，∴d ＝3．∴b n ＝3n －1． ...................................................................................... 6 分
1 n 1
n 1
1 － (2)∵c n ＝a n ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ 3n －1 ， b n b n ＋1 (3n －1)(3n ＋2) 3
1 2 n
1 1－1 1－1 － ∴T n ＝ ＋ 2
1
＋…＋ ＋ 2 5 ＋ 5 3
n
8 ＋…＋ 1－ 1 ＝2 ＋ 2 1－1 3
2 ＝7－ 6 ＋ 1 3(3n ＋2) ．
n 不等式 T n ＋k ＜0 可化为 k ＜ ＋
1 －7
， 3(3n ＋2) 6 1 ∵n ∈N *
＋ 3(3n ＋2) 单调递减，
n 1 7
－7，－3 7
∴ ＋ 3(3n ＋2)
－ 的值域是 6 6 5 ，故 k ≤－ ． 6 1 3n ＋2
1 3n ＋
2 1 2 1 2 －
k 2＋1 4 k 2＋1
4 1
|
，
因此实数 k －∞，－7
6 ． ....................................................................................... 12 分 20．解析 (1)过点 M (4，0)且斜率为 k 的直线的方程为 y ＝k (x －4)，
y ＝k (x －4)，
x 2 2 得 2－8k 2x ＋16k 2－1＝0，
＋y ＝1， 4
因为直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(－8k 2)2－4 k 2－1)>0，
3 3
－ 3
， 解得－ <k < ，所以 k 的取值范围是 6 6 6 ................................................... 4 分
(2)设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 P (x 1，－y 1)，由题意知 x 1≠x 2，y 1≠y 2， 8k 2
16k 2－1 由(1)得 x 1＋x 2＝ k 2＋
1，x 1·x 2＝ 4 k 2＋1 4
直线 BP 的方程为x －x 1 ＝ y ＋y 1 ，令 y ＝0，得 N 点的横坐标为y 1(x 2－x 1)
＋x ， x 2－x 1 y 2＋y 1 y 2＋y 1 又 y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)，
|y 1(x 2－x 1)
＋x 1
|
|y 1x 2＋x 1y 2
| |
2kx 1x 2－4k (x 1＋x 2)
|
故
|ON | ＝
16k 2－1 y 2＋y 1
8k 2
＝
y 2＋y 1
＝
k (x 1＋x 2)－8k
＝
2k · k 2＋1 4
－4k · k 2＋
4
8k 2
k · 2 1－8k k ＋ ＝1． 4 ……………………………………………………………………………………………………………12 分
21．解析 (1) f ′(x )＝－x 2－(a －2)x ＋2a e x －(x ＋a )(x －2)
＝ ，
e
x 当 a ＝0 时，f ′(1)＝ 1 f (1)＝1
e e
则 f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y ＝1
x ． .......................................................4 分
e (2)由(1)知，令
f ′(x )＝0，解得 x ＝2 或 x ＝－a ，
①当 a ＝－2 时，f ′(x )≤0 恒成立，此时函数 f (x )在 R 上单调递减， ∴函数 f (x )无极值；
②当 a >－2 时，令 f ′(x )>0，解得－a <x <2，令 f ′(x )<0，解得 x <－a 或 x >2，
3 6 ， |
1 ，
( ≥ ∴函数 f (x )在(－a ，2)上单调递增，在(－∞，－a )，(2，＋∞)上单调递减，
∴f (x ) ＝f (2)＝
a ＋4
>0； 极大值
③当 a <－2 时，令 f ′(x )>0，解得 2<x <－a ，令 f ′(x )<0，解得 x <2 或 x >－a ， ∴函数 f (x )在(2，－a )上单调递增，在(－∞，2)，(－a ，＋∞)上单调递减，
∴f (x ) ＝f (－a )
－a
，
极大值
＝ >0 e
－a
综上，函数 f (x )的极大值恒大于 0． .................................................................................. 12 分
22．解析 (1)曲线 C 的极坐标方程可化为ρ2cos 2 θ＝aρsin θ，
由 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线 C 的直角坐标方程为 x 2＝ay (a ＞0)．
由直线 l 的参数方程得直线 l 的普通方程为 x ＋y －1＝0． .............................................................. 5 分 x ＝2－ 2
t ，
2
(2)把直线 l 的参数方程 y ＝－1＋
代入曲线 C 的直角坐标方程， t 2 得 t 2－(4 2＋ 2a )t ＋(8＋2a )＝0 ①，
Δ＝2a 2＋8a ＞0．
设 M ，N 对应的参数分别为 t 1，t 2，则 t 1，t 2 恰为方程①的两根，
∴t 1＋t 2＝4 2＋ 2a ＞0，t 1t 2＝8＋2a ＞0，∴t 1＞0，t 2＞0． 易知|MN |＝|t 1－t 2|，|PM |＝t 1，|PN |＝t 2．
∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴(t 1－t 2)2＝t 1t 2，则(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2．
∴(4 2＋ 2a )2＝5(8＋2a )，解得 a ＝1 或 a ＝－4(舍去)，∴a ＝1． ................................................... 10 分
23．解析 (1)3＋1＋1＝(3＋1＋1)3x ＋y ＋4z ≥1 3×3x ＋ 1×y ＋ 1
×4z )2＝4．
x y z x y z 9
9 x y z 当且仅当 3x ＝y ＝2z 时等号成立．所以 m ＝4．......................................................................................... 5 分 (2)当 a ＞1 时，|x －1|＋a |x －8|＝|x －1|＋|x －8|＋(a －1) |x －8|≥|x －1|＋|x －8|≥7， 而 7≥4 成立，故 a ＞1．
当 0＜a ≤1 时，|x －1|＋a |x －8|＝a |x －1|＋a |x －8|＋(a －1) |x －1|≥a |x －1|＋a |x －8|≥7a ， 所以 7a ≥4 成立，故 a 4
．
7
综上，正实数 a 的取值范围为[4
，＋∞)． ................................................................................................... 10 分
7
2 e 2。