人教版高三数学上册期末考试文科数学模拟试卷(附答案)

学
校
：
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名
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密
封
线
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密
封
线
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-
高中三年级第一学期期末考试模拟试题
高三数学（文）
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。

（1）已知i是虚数单位，若()1+
i a i i
+=，则实数a的值为
A.1
B.0
C.1-
D. 2-
（2）已知,a b R
∈，若a b，则
A. 2
a b B. 2
ab b C.
11
22
a b D.33
a b
（3）执行如图所示的程序框图，输出的k值为
A.4
B.5
C.6
D.7
（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次
数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：
已知两组数据的平均数相等，则,x y的值分别为
A.0,0
B.0,5
C.5,0
D.5,5
（5）已知直线0
x y m
-+=与圆22
:1
O x y
+=相交于,A B两点，且AOB
∆为正
三角形，则实数m的值为
A.
2
B.
2
C.
2
或
2
- D.
22
-
（6）设，则“1
a=”是“直线10
ax y
+-=与直线++10
x ay=平行”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件,
（7）在ABC
∆中，=1,
AB AC D
=是AC的中点，则BD CD
⋅的取值范围是
A.
31
(,)
44
- B.
1
(,)
4
-∞ C.
3
(,)
4
-+∞ D.
13
(,)
44
（8）已知正方体的
1111
ABCD A B C D
-棱长为2，点,
M N分别是棱
11
,
BC C D的
中点，点P在平面
1111
A B C D内，点Q在线段
1
A N上，若PM=，则PQ
长度的最小值为
A.1
B.
C.1
- D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知双曲线2
2
1ax y -=的一条渐近线方程为y x =，则实数k 的值
为 .
（10）若变量,x y 满足约束条件010220y x y x y ≥⎧
⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则z x y =+的最大值
是 .
（11）ABC ∆中，
1,a b ==且ABC ∆
，则c = .
（12）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .
（13）函数2,0
()(2),0
x x f x x x x ⎧≤=⎨-⎩的最大值为 ；若函数()f x 的图像与直
线(1)y k x =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 .
（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只
则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的选项是 .
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且2375,a S a ==. （Ⅰ）数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2n a
n b =，求数列{}+n n a b 前n 项和.
12A-SX-0000004
（16）（本小题13分）
已知函数()cos 2tan()4
f x x x π
=⋅-.
（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的值域.
（17）（本小题14分）
据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。

为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．，速度越快．．．．，单位是MIPS ）
设,i i a b 分别表示第次测试中品牌A 和品牌B 的测试结果，记i i i
X a b =-(1,2,,12)i =
（Ⅰ）求数据12312,,,,X X X X 的众数；
（Ⅱ）从满足4i X =的测试中随机抽取两次，求品牌A 的测试结果恰好有一次大于品牌B 的测试结果的概率；
（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
如图，三棱柱111ABC A B C -侧面11ABB A ⊥底面ABC ，,AC AB ⊥
12,AC AB AA ===0
160AA B ∠=，,E F 分别为棱11,A B BC 的中点.
（Ⅰ）求证：AC AE ⊥；
（Ⅱ）求三棱柱111ABC A B C -的体积；
（Ⅲ）在直线1AA 上是否存在一点P ，使得//CP 平面AEF ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由.
（19）（本小题14分）
已知椭圆22
:+13x y C m m
=，
直线:20l x y +-=与椭圆C 相交于两点,P Q ，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）当2OPQ S ∆=时，求椭圆C 的方程；
（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为N .若PN BQ λ=，求λ的值.
已知函数2
()(1)x
f x x e ax =-+.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：“=0a ”是“函数()y f x =有且只有一个零点” 的充分必要条件.
参考答案
数学（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分) 9.110.211.2或12.
2
13.1[0,)+∞14.5 A 三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15（本题共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d
⎩⎨
⎧+=+=+d
a d a d a 6335
111，解得31=a ，2=d ------------------------3分 由d n a a n )(11-+=，则12+=n a n ------------------------5分 因此，通项公式为12+=n a n .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12+=n a n ，则1
22+=n n b
42
2121
121==++++n n n n b b )(------------------------7分 因为3
128b ==，------------------------8分
所以{}n b 是首项为8，公比为4=q 的等比数列.------------------------9分
记{}n n b a +的前n 项和为n T ，则
)()()(n n n b a b a b a T ++⋅⋅⋅++++=2211
)()(n n b b b a a a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=2121------------------------10分
q
q b a a n n n --+
+=11211)
()(------------------------12分 3
14822
)(-++=n n n ---------------------13分
16（本题共13分） 解：（Ⅰ）2
4π
+π≠π-
k x ，Z k ∈------------------------2分 解得：4
3π
+π≠k x ，Z k ∈------------------------3分
所以，函数的定义域为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈π+
π≠Z k k x x ,|43------------------------4分 （Ⅱ）)tan(cos )(42π
-
⋅=x x x f x
x x x tan tan )sin (cos +-⋅
-=11
22------------------------6分 x x x
x x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos +-⋅
+-=------------------------8分 2)sin (cos x x --=
12-=x x cos sin
12-=x sin ------------------------9分
因为3,4x k k Z ππ≠+∈，所以3
2,2
x k k Z ππ≠+∈，
所以sin 21x ≠-，------------------------11分
所以，函数()f x 的值域为],(02-.------------------------13分 17.（本题共13分） 解：（Ⅰ）
所以i X 等于1有2次，i X =2有3次，i X =4有4次，i X =6有2次，i X =7有1次，
则数据12312,,...X X X X 的众数为4------------------------5分
（Ⅱ）设事件D =“品牌A 的测试结果恰有一次大于品牌B 的测试结果”.
满足4i X =的测试共有4次，其中品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M ，N 表示.品牌A 的测试结果小于品牌B 的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P ，Q 表示.从中随机抽取两次，共有MN ,MP ,MQ ,NP ,NQ ,PQ 六种情况，其中事件D 发生，指的是MP ,MQ ,NP ,NQ 四种情况.
故42
()63
P D ==. ------------------------10分
（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.
给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.
标准1: 分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述 标准2：会用测试结果的平均数进行阐述 ------------------------13分
可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下： 结论一：，品牌B 处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌A 处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些。

理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表
格的相同文件，品牌A 的测试有两次打开速度比品牌B 快(数值小），品牌B 有四次比品牌A 快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌A 有四次打开速度比品牌B 快（数值小）. 从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌A 打 品牌A
处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为92
12
，品牌B 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为97
12
，所以品牌A 打开文件速度快一些.（且品牌A 方差较小） 18.（本题共14分）
（Ⅰ）证明：三棱柱111C B A ABC -中， 侧面⊥11A ABB 底面ABC ，AB AC ⊥， 又因为侧面11ABB A I 底面AB ABC =，
⊂AC 底面ABC ，
所以⊥AC 平面11A ABB ，-----------------------3分 又因为⊂AE 平面
11A ABB ，
所以AE AC ⊥；------------------------4分
（Ⅱ）解：连接1AB ,因为三棱柱111C B A ABC -中，所以AB B A =11.
因为12AB AA ==，所以1112A B AA ==.又因为06011=∠B AA ，且AE =所以△11B AA 是边长为2的正三角形.因为E 是棱11B A 的中点，所以11B A AE ⊥， 又因为AC AE ⊥，AC C A //11，所以11C A AE ⊥. 因为11111AC A B A =I ，⊂1111,B A C A 底面111C B A ，
所以⊥AE 底面111C B A .------------------------6分 所以三棱柱111C B A ABC -的体积为
111111111
2222
A B C V S AE A B AC AE ∆=⋅=
∙∙=⨯⨯=； …………………………8分
（Ⅲ）在直线1AA 上存在点P ，使得//CP 平面AEF .------------------------9分 证明如下：连接BE 并延长，与1AA 的延长线相交，设交点为P .连接CP . 因为11//BB AA ，所以11A PE B BE ，故
1111EA A P EP
EB BB EB
==
----------------------10分
由于E 为棱11A B 的中点，所以11EA EB =，故有PE EB =----------------------11分 又F 为棱BC 的中点，
故EF 为BCP ∆的中位线，所以//EF CP .------------------------12分 又EF ⊂平面AEF ，CP ⊄平面AEF ， 所
以
//
CP 平面
AEF
.
------------------------13分
故在直线1AA 上存在点P ，使得
//CP 平面AEF .
此时112A P BB ==，124AP AA ==. -------------------------14分
19.（本题共14分）
解：（Ⅰ）m a 32=，m b =2，m c 22=，------------------------2分
3
2222
==a c e ，故36
=e .------------------------4分
（Ⅱ）设()11,y x P ，()22,y x Q
⎩⎨
⎧=-+=+0
23322y x m y x ，得到03122
=-+m x x 12-4， 依题意，由2
(12)44(123)0m ∆=--⨯⨯->得1m >.
且有121231234
x x m x x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，------------------------6分
12|PQ x x =-==，
------------------------7分
原点到直线l 的距离2=d ------------------------8分 所以11
||222
OPQ S PQ d ∆=⋅==------------------------9分
解得7
3
m =
>1， 故椭圆方程为22
3177
x y +=.------------------------10分 （Ⅲ）直线l 的垂线为:ON
y x =，------------------------11分
由20y x x y =⎧⎨+-=⎩
解得交点)1,1(N ，------------------------12分
因为
PN BQ
λ=，又123
x x +=
所以BQ
PN =λ=
12
22
12221=--=
--x x x x ，故λ的值为1.------------------------14分
20.（本题共13分）
解：（Ⅰ）依题意，()2,x
f x xe ax x R '=+∈-----------------------------1分
所以切线的斜率()00k f '==
又因为()01f =-，-----------------------------2分 所以切线方程为.-----------------------------3分 （Ⅱ）先证不必要性.
当0a =时，()()1x
f x x e =-，
令()0f x =，解得1x =.-----------------------------4分
此时，()f x 有且只有一个零点，故“()f x 有且只有一个零点则0a <”不成立. -----------------------------5分 再证充分性. 方法一： 当0a <时，
()()2x f x x e a '=+.
令()0f x '=，解得()120,ln 2x x a ==-.-----------------------------6分
（i ）当()ln 20a -=，即12
a =-时，()()
10x
f x x e '=-≥， 所以()f x 在R 上单调增. 又
()()2010,220f f e =-<=->，
所以()f x 有且只有一个零点.-----------------------------7分 （ii ）当()ln 20a -<，即1
02
a -
<<时， ()f x ，()f x '随x 的变化情况如下:
-----------------------------8分
当0x ≤时，()1e 0x
x -<，2
0ax ≤，所以()0f x <-----------------------------9分
又()2
2
2e 4e 20f a =+>->
所以()f x 有且只有一个零点.-----------------------------10分 （说明：如果学生直接写出x →+∞时()0f x >，要扣1分） （iii ）当()ln 20a ->，即1
2
a <-
时，()f x ，()f x '随x 的变化情况如下:
因为
()010f =
-<，所以(,l n (
x a ∈-∞-时，()0
f x <-----------------------------12分 令01x a =-，则01x >. 下面证明当1x >时，2
e x
x >.
设2()(1)e x x g x x =>，则(2)
'()e
x
x x g x -=. 当(1,2)x ∈时，'()0,()g x g x >在1,2（）上单调递增；
当(2,+)x ∈∞时，'()0,()g x g x <在2,+∞（）上单调递减
所以当=2x 时，()g x 取得极大值24
(2)1e
g =<.
所以当1x >时，()1g x <, 即2e x x <.
所以0022
000()e (e )0x
x
f x a ax a x =-+=->.
由零点存在定理，()f x 有且只有一个零点.
综上，0a <是函数()f x 有且只有一个零点的充分不必要条件.-----------------------------13分
（i ）当()ln 20a -≤，即1
02
a -
≤<时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， ()f x ∴单调递增.-----------------------------8分
又()2
2
10,(2)e 4e 20f a f a =<=+≥->
()f x ∴有且只有一个零点.-----------------------------10分
（ii ）当()ln 20a ->，即1
2
a <-时，以下同方法一.。