高三—直线与圆圆与圆位置关系

复习课: 直线与圆、圆与圆的位置关系
教学目标
重点：掌握求解直线与圆的相关问题的基本方法,掌握圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：相离、相切和相交.有两种判断方法：（1）代数法（2）几何法. 2．掌握切线方程的求法： 3．掌握弦长求法：（1）几何法,（2）解析法.
4．圆与圆的位置关系：看12||O O 与12||r r -和12r r +的大小关系。

难点：掌握直线和圆相切时，求切线方程,当与圆相交时，弦长的计算.
能力点：解直线与圆的问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质，培养学生的数形结合思想. 教育点：提高学生的数学作图能力，培养学生数形结合应用能力.
自主探究点：解直线与圆的问题,要利用平面几何中圆的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷. 易错点：1.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；当与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形．
2.对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．
学法与教具
1.学法：讲授法、讨论法.
2.教具：直尺，投影仪.
一、【知识结构】
二、【知识梳理】 1．直线与圆的位置关系
位置关系有三种：________、________、________． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：判别式法
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系： ⇔相交， ⇔相切，
相离⇔ .
2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法
运用韦达定理及弦长公式
||AB = =
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
3．求过点00(,)p x y 的圆222
x y R +=的切线方程
(1)若00(,)p x y )在圆222
x y R +=上，
则以00(,)p x y 为切点的圆的切线方程为________________．
(2)若00(,)p x y 在圆222x y R +=外，则过222
x y R +=的切线方程可设00()y y k x x -=-，利用
待定系数法求解．
说明：求切线斜率时应考虑斜率不存在的情况．
4．圆与圆的位置关系的判定
外切⇔
内切⇔ 相交⇔ 相离⇔ 内含⇔
三、【范例导航】
【例1】已知直线:1l y kx =+，圆2
2
:(1)(1)12C x y -++=, (1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；
(2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长
【分析】(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系.
【解答】 (1)证明： 因为不论k 为何实数，直线l 总过点(0,1)A ，而||AC R =
<=，所以点(0,1)A )
在圆的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点(0,1)A .所以不论k 为何实数，直线和圆总有两个交点．
(2)由平面几何知识知过圆内定点(0,1)A 的弦，只有和AC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点(0,1)A 为
弦AB 的中点，由勾股定理，知||AB =l 被圆C 截得的最短弦长为【点评】解直线与圆的问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质.
变式训练:
已知圆42
2
=+y x ，直线:.l y x b =+当b 为何值时，圆42
2
=+y x 上恰有3个点到直线l 的距离都等于1 ?
答案：
例2 .已知实数y x ,满足方程0142
2
=+-+x y x ，求：
（1）
x
y 的最大值和最小值；（2）x y -的最小值；(3）22y x +的最大值和最小值. 【分析】(1)、(2)转化为直线与圆相交，（3）转化为两点间的距离的平方.
【解答】（1）设,y k y kx x =
=则直线与圆相切时得d r =求y k x =的取值.x
y
的最大值, 最小值
（2）x y -的最小值2-；
（3）转化为在圆上求一点使222||PO x y =+最大、最小，则2
2y x +的最大值7+最小值7-【点评】 (1)本题要注意充分利用圆的几何性质答题．(2)要注意解答这类题目的答题格式．使答题过程完整规范．(3)本题的易错点是转化方向不明确，思路不清晰．（4）也可以用三角换元解题. 例3 已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆2
2
:(1)(2)4C x y -+-=．
(1)求过(3,1)M 点的圆的切线方程；
(2)若直线40ax y -+=与圆相切，求a 的值；
(3)若直线40ax y -+=与圆相交于,A B 两点，且弦AB 的长为a 的值．
【分析】求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．
【解答】
解 (1)圆心(1,2)C )，半径为2， ①当直线的斜率不存在时，方程为3x =
由圆心(1,2)C 到直线3x =的距离2d r ==知，此时，直线与圆相切． ②当直线的斜率存在时， 设方程为1(3)y k x -=- 即130kx y k -+-= 由题意知
2d r =
==，解得34
k =
∴方程为3450x y --=.
故过M 点的圆的切线方程为3x =或3450x y --=. (2)由题意有
2d r ===，
解得0a =或43
a =
(3)∵圆心到直线40ax y -+=的距离为
d =，∴22
22+= 解得34
a =-
. 【点评】 注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．
变式训练:
1.在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面
积为
A ．
B ．
C ．
D ．
2.若圆2
2
44100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )
A. [
,]124ππ
B.5[,]1212ππ
C.[,]63ππ
D.[0,]2
π
3.（2011天津卷15）已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为__________________． 【答案】B B 2
2
(1)18x y ++=
例4 a 为何值时，圆2221:2450C x y ax y a +-++-=和圆2222:2230C x y x ay a ++-+-=．
(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切．
【分析】 判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
【解答】将两圆方程写成标准方程．
221:()(2)9C x a y -++= 222:(1)()4C x y a ++-=.
∴两圆的圆心和半径分别为
1(,2)C a -，13r =，2(1,)C a -，22r =， 设两圆的圆心距为d ， 则22265d a a =++
(1)当5d =，即2226525d a a =++=时，两圆外切，此时5a =-或2a =. (2)当15d <<，两圆相交，此时52a -<<-或12a -<<.
(3)当5d >，即2226525d a a =++>时，两圆外离，此时5a <-或2a >. (4)当1d =，即222651d a a =++=时，两圆内切，此时1a =-或2a =-. 【点评】判断两圆的位置关系常和公切线连在一起命题，要注意.
变式训练:
圆221:2220C x y x y +++-=与圆222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
【答案】B
四、【解法小结】
1．过圆外一点M 可以作两条直线与圆相切，其直线方程的求法有两种：
(1)用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求 出切线的斜率，进而求得直线方程．
(2)用待定系数法设出直线方程，再利用直线与圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程．
2．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去22,x y 就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．
4．求圆外一点P 到圆C 上任意一点距离的最小值为||PO r -，最大值为||PO r + (其中r r 为圆C 的半径)．
5. 求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1-列方程来简化运算．
五、【布置作业】
必做题：
1. （20XX 年高考（天津理））设,m n R ∈,若直线(1)(1)2m x n y +++=与圆2
2
(1)(1)1x y -+-=相切,
则m n +的取值范围是 （ ）
A ．[13,1+3]-
B ．(,13][1+3,+)-∞-∞U
C ．[222,2+22]-
D ．(,222][2+22,+)-∞-∞U
2 ．（20XX 年高考（重庆理））对任意的实数k ,直线:1l y kx =+与圆2
2
2x y +=的位置关系一定是
（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
3.一直线经过点3(3,)2P --被圆2225x y +=截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程．
4．已知圆22
:(1)4C x y ++= 4和圆外一点(1,23)A ，
(1)若直线m 经过原点O ，且圆O 上恰有三个点到直线m 的距离为1，求直线m 的方程；
(2)若经过A 的直线l 与圆C 相切，切点分别为,D E ，求切线l 的方程及,D E 两切点所在的直线方程．
选做题：5.（20XX 年高考（山东理））如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),
此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP uuu r
的坐标为
______________.
6．（20XX 年高考（江苏））在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上
至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是____.
答案：D C 3．3x =或34150x y ++= .
4．解 (1) 0x =
(2) ∴切线的方程为1x =33530x y -+=；外接圆：222310x y +--=. 5. 【解析】因为圆心移动的距离为2,所以劣弧2=PA ,即圆心角
2=∠PCA ,
,则2
2π
-
=∠PCA ,所以
2
cos )2
2sin(-=-
=π
PB ,
2
sin )2
2cos(=-=π
CB ,
所
以
2sin 22-=-=CB x p ,2cos 11-=+=PB y p ,所以)2cos 1,2sin 2(--=OP .
另解1:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为⎩
⎨
⎧+=+=θθ
sin 1cos 2y x ,且
22
3,2-=
=∠π
θPCD ,则点P
的坐标为⎪⎩
⎪⎨⎧
-=-+=-=-+=2
cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2π
πy x ,即
)2cos 1,2sin 2(--=OP .
6. 【解析】∵圆C 的方程可化为:()2
241x y -+=,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为1.
∵由题意,直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有 公共点;
∴存在0x R ∈,使得||11AC ≤+成立,即min ||2AC ≤. ∵min ||AC 即为点C 到直线2y kx =-2421
k k -+,24221
k k -≤+,解得4
03
k ≤≤
. ∴k 的最大值是43
.
六、【教后反思】
1.本教案的亮点是：复习相关知识并以填空的形式呈现，非常清晰.再次，例题选择难度适中层层深入，关注高考热点问题的一般思路与方法，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，选择近两年高考题及模拟题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.
2.本教案的弱项是：需考虑无斜率的情况,要充分运用图形的几何性质应用太少..。