人教课标版(B版)高中数学必修5参考课件1-简单线性规划

名称
定义
目标函数 求 最大值或最小值 的函数，叫做目标函数
约束条件 目标函数中的变量所要满足的 不等式组 .
线性目标函数
如果目标函数是 关于变量的一次函数 目标函数
，则称为线性
线性约束条件
如果约束条件是 关于变量的一次不等式(或等式) ，则 称为线性约束条件
最优解
使目标函数达到 最大值或最小值 的点的 坐标 ，称 为问题的最优解
【解】 设 A，B 两种金属板各取 x 张，y 张，用料面积为 z，则约束条件为
3x＋6y≥45， 5x＋6y≥55， x≥0， y≥0，
目标函数 z＝2x＋3y. 作出可行域，如图所示的阴影部分．
目标函数 z＝2x＋3y 即直线 y＝－23x＋3z，其斜率为－23，在 y 轴上的截距为3z，且是随 z 变化的一簇平行线．
表示的平面区域如图所示．
1．在平面区域中，A，B，C 的坐标分别是什么？ 【提示】 由xx＋－yy＋＋15＝＝00，， 得 B(－3,2)；由xx＝－3y＋，5＝0， 得 A(3,8)； 由xx＋＝y3＋，1＝0， 得 C(3，－4)．
2．对于函数 z＝2x－y，当直线 2x－y－z＝0 经过 A、B、C 三点时，z 的值分别是多少？
x－4y＋3≤0， 【自主解答】 由约束条件3x＋5y－25≤0，
x≥1，
作出(x，y)的可行域如图所示．
由3x＝x＋15，y－25＝0，
解得 A1，252.
由xx－＝41y，＋3＝0， 解得 C(1,1)， 由3x－x＋45y＋y－32＝5＝0，0， 解得 B(5,2)． (1)∵z＝yx＝yx－ －00， ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率． 观察图形可知 zmin＝kOB＝25.
(2)z＝x2＋y2 的几何意义是可行域中的点到原点 O 的距离的 平方．结合图形可知，可行域中的点到原点的距离中，dmin＝|OC| ＝ 2，dmax＝|OB|＝ 29，
∴2≤z≤29.
在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何 意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．应熟练掌握以下 式子的几何意义：
【思路探究】 根据题意列出目标函数及约束条件，利用简 单线性规划求最值．
【自主解答】 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间 分别为 x 分钟和 y 分钟，总收益为 z 元，由题意得
x5＋00yx≤＋320000，y≤90 000， x≥0，y≥0.
目标函数为 z＝3 000x＋2 000y.
x＋y≤300， 二元一次不等式组等价于5x＋2y≤900，
(1)设 z＝yx，求 z 的最小值； (2)设 z＝x2＋y2，求 z 的取值范围．
【思路探究】 (1)①式子 z＝yx可进行怎样的改写？ ②yx－ －00表示的几何意义是什么？ ③当倾斜角是锐角时，斜率与倾斜角的大小关系是什么？ (2)①代数式 x2＋y2 可以怎样进行改写？ ②x2＋y2 的几何意义是什么？
x≥0，y≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 所示，
作直线 l：3 000x＋2 000y＝0. 即 3x＋2y＝0. 平移直线 l，从图中可知，当直线 l 过 M 点时，目标函数取 得最大值． 联立5x＋x＋y＝2y＝30900，0. 解得 x＝100，y＝200.
∴点 M 的坐标为(100,200)． ∴zmax＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)． 故该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分 钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元．
由图可知，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
解方程组3x－x＋45y＋y－32＝5＝0，0， 得 A 点坐标为(5,2)，
解方程组xx－＝41y，＋3＝0， 得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
kQA＝13－－－－121＝722＝74.
故 z＝2k∈34，72.
利用线性规划解决实际问题
某公司计划 2014 年在甲、乙两个电视台做总时间 不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视 台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟，假定甲、 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益 分别为 0.3 万元和 0.2 万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电 视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万 元？
(1)形如yx－ －ba的式子，表示动点 M(x，y)和定点 N(a，b)连线 的斜率 k.
(2)形如 x－a2＋y－b2的式子，表示动点 M(x，y)到定点 N(a，b)的距离|MN|；而(x－a)2＋(y－b)2 表示动点 M(x，y)到定点 N(a，b)的距离的平方，即|MN|2.
(3)形如|ax＋a2b＋y＋b2c|的式子，表示动点 M(x，y)到直线 ax＋by ＋c＝0 的距离 d；而|ax＋by＋c|表示 a2＋b2d.
【提示】 直线经过 A(3,8)时，z 的值为－2； 直线经过 B(－3,2)时，z 的值为－8， 3．当直线 2x－y－z＝0 经过平面区域时，z 的最大值是多少？ 最小值呢？ 【提示】 z 的最大值为 10，最小值为－8. 4．z 值的大小与直线 2x－y－z＝0 的纵截距有何关系？ 【提示】 z 随直线的纵截距的增大而变小.
易
错
教
易
学
误
教
辨
法
析
分
析
当
堂
双
课
基
前 自
3.5.2 简单线性规划
达 标
主
导
课
学
后
知
能
课
检
堂
测
互
动
教
探
师
究
备
课
资
源
●三维目标 1．知识与技能 了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可 行域、可行解、最优解等概念，能根据约束条件建立线性目标函 数．了解并初步应用线性规划的图解法解决一些实际问题．
x－y＋2≥0， 已知x＋y－4≥0，
2x－y－5≤0，
求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(2)z＝2xy＋＋11的取值范围．
【解】 依约束条件作出可行域为图中阴影部分．
A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
(1)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，
求 z 的最大值和最小值．
【思路探究】 (1)你能画出本题的可行域吗？(2)将目标函
数变形成什么形式？变形后直线的纵截距与 z 有什么关系？(3)
平移哪条直线最方便？在可行域中的什么位置 z 取得最大，最小
值？ 【自主解答】 可行域如图所示．
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴上 的截距为 z，随 z 变化的一组平行直线．
1．本题的关键是建立线性规划的数学模型，这也是求解这 类应用题的难点．
2．解答线性规划应用题的一般步骤 (1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理 解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于 线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关 系，有时可借助表格来理顺．
y－3≤0，
则目标函数 z＝y－2x 的最小值为( )
A．－7
B．－4
C．1
D．2
【解析】 画出可行域(如图)，由 z＝y－2x 得 y＝2x＋z，由 图形可知，当直线 y＝2x＋z 经过点 A(5,3)时，z 取得最小值，最 小值为 zmin＝3－10＝－7.
【答案】 A
已知线性目标函数的最值求参数
已知变量 x，y 满足约束条件1－≤2x≤＋xy－≤y4≤，2， 若 目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的 取值范围为________．
【思路探究】 (1)本题的可行域是怎样的？你能准确画出 吗？(2)目标函数仅在点(3,1)处取得最大值说明目标函数对应的 直线的斜率是怎样的？它与直线 CD 的斜率有怎样的关系？
1.了解线性规划的意义，能根据线性约束条件建 课 立目标函数．(重点) 标 2.理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实 解 际问题．(重点、难点) 读 3.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截
距的关系．(易混点)
线性规划中的基本概念
【问题导思】 x－y＋5≥0，
已知不等式组x＋y＋1≥0， x≤3
线性规划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的 最大值或最小值. 问题，称为线性规划问题
可行解 满足线性约束条件的 解 ，叫做可行解
可行域 由所有 可行解 组成的集合叫做可行域
求线性目标函数的最值
设 z ＝ 2x ＋ y ， 式 中 变 量 x ， y 满 足 条 件
x－4y≤－3， 3x＋5y≤25， x≥1，
1．本题中，z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，z 代表直线在 y 轴上的截距，所以越向上平移，z 越大，反之则越小，解决这种 题目，首先要搞清 z 的几何意义．
2．(1)解二元线性规划问题的一般步骤是： ①画：在直角坐标平面上画出可行域和直线 ax＋by＝0(目标 函数为 z＝ax＋by)； ②移：平行移动直线 ax＋by＝0，确定使 z＝ax＋by 取得最 大值或最小值的点；
由图知，当直线 z＝2x＋3y 过可行域上的点 M 时，截距最小， 即 z 最小．
解方程组35xx＋＋66yy＝＝4555，， 得 M 点的坐标为(5,5)， 此时 zmin＝2×5＋3×5＝25(m2)， 即两种金属板各取 5 张时，用料面积最省．
y)到点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作 AC 的垂线，易知垂足在
AC 上，故 zmin＝d2＝
|102－＋5＋－21|22＝92.
(2)z
＝
2y＋1 x＋1
＝
2
xy＋＋121
可
以
看作
可
行
域内的来自点(x，
y) 与
点
Q－1，－12连线斜率 k 的 2 倍．其范围 kQB≤k≤kQA， 而 kQB＝31－－－－121＝324＝38，
【自主解答】 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形 ABCD(包括边界)．
点 C 的坐标为(3,1)，z 最大，即平移 y＝－ax 时使直线在 y 轴上的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1.
【答案】 a>1
1．本题属逆向思维类型，解答时要画出图形，使用数形结 合的方法．
2．解答此类问题首先要熟练掌握线性规划问题的求解程序 和确定最优解的方法，还要明确线性目标函数的最值一般在可行 域的顶点或边界取得，对边界直线的斜率与目标函数对应的直线 的斜率要认真对照分析．
在本例条件下，若目标函数 z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点 有无数个，求 a 的取值范围．
【解】 如上例中图形，若 z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点 有无数个，则必有直线 z＝ax＋y 与直线 x＋y＝4 重合，此时 a ＝1.
非线性目标函数的最优解问题
变量 x，y 满足x3－x＋4y5＋y－3≤250≤，0， x≥1，
(2)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际 问题转化为数学上的线性规划问题．
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题． (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个， 所用原料分别为 A，B 两种规格的金属板，每张面积分别为 2 m2 与 3 m2.用 A 种规格的金属板可造甲种产品 3 个，乙种产品 5 个； 用 B 种规格的金属板可造甲，乙两种产品各 6 个．问 A，B 两种 规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最 省？
2．过程与方法 提高学生提出、分析和解决问题的能力，发展学生数学应用 意识，力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和作出判 断． 3．情感、态度与价值观 体会数形结合、等价转化等数学思想，逐步认识数学的应用 价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心．
●重点难点 重点：理解和用好图解法； 难点：如何用图解法寻找线性规划的最优解．
③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最 大值和最小值；
④答：给出正确答案． (2)一般地，对目标函数 z＝ax＋by，若 b>0，则纵截距与 z 同号，因此，纵截距最大时，z 也最大；若 b<0，则纵截距与 z 异号，因此，纵截距最大时，z 反而最小．
3x＋y－6≥0， (2013·天津高考)设变量 x，y 满足约束条件x－y－2≤0，