数学建模_大作业1

数学建模大作业姓名1：赵成宏学号：201003728姓名2：吴怡功学号：201003738姓名3：蒲宁宁学号：201004133专业：车辆工程2013年5 月28 日直升机运输公司问题一家运输公司正考虑用直升机从某城市的一摩天大楼运送人员。

你被聘为顾问，现在要确定需要多少架飞机。

按照建模过程仔细分析，建模。

为了简化问题，可以考虑升机运输公司问题。

基本假设如下：假设运载的直升机为统一型号; 假设每架飞机每次载人数相同；假设飞机运送的人员时互不影响；假定人员上了飞机就安全，因此最后一次运输时，只考虑上飞机所花时间。

1、按照数学建模的全过程对本题建立模型，并选用合理的数据进行计算（模型求解）; 2、本问题是否可以抽象为优化模型;除了考虑建立优化模型之外，是否可以采用更简单的方法建立模型。

注意考虑假设条件。

甚至基于不同的假设建立多个模型。

归纳起来，有以下假设：（H1）所有飞机的飞行高度度均为10 000m ，飞行速度均为800km/h 。

(H2)飞机飞行方向角调整幅度不超过6，调整可以立即实现；(H3)飞机不碰撞的标准是任意两架飞机之间的距离大于8km; (H4)刚到达边界的飞机与其他飞机的距离均大于60km; (H5)最多考虑N 架飞机;(H6)不必考虑飞机离开本区域以后的状况. 为方便以后的讨论，我们引进如下记号: D 为飞行管理区域的边长;S 为飞行管理区域取直角坐标系使其为[0,D ]×[0，D]; v 为飞机飞行速度，v=800km/h;（x 0i ，y i）第i 架飞机的初始位置;（)(),(t t y x ii ）为第i 架飞机在t 时刻的位置;θ0i为第i 架飞机的原飞行方向角，即飞行方向与x 轴夹角，0≤θ≤2π;θi ∆第i 架飞机的方向角调整，-6π≤i θ∆≤6π; i θ﹦i 0i θθ∆+为第i 架飞机调整后的飞行方向角;一、两架飞机不碰撞的条件1、两架飞机距离大于8km 的条件设第i 架和第j 架飞机的初始位置为（0i 0i y x ，），（0j 0j y x ，）,飞行方向角分别为错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

,他们的位置为错误！未找到引用源。

(t)=vtcos 错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

(t)=vtsin 错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

(t)=vtcos 错误！未找到引用源。

+ 0j x错误！未找到引用源。

(t)=vtsin 错误！未找到引用源。

+0j y若记时刻t 他们距离为错误！未找到引用源。

(t),则他们之间距离的平方为2ij r （t ）=（x i （t ）-x j (t)）2+（y i (t)-y j （t ））2经简单计算可得 2ij r （t ）=v 2 [(cos iθ-cos j θ)2+(sin iθ-sin j θ)2] t 2+2v[(0i x -0j x )(cos i θ-cos j θ)+(0i y -0j y )(sin i θ-sin j θ)]t+(0i x -0j x )2+(0i y -0j y )2引入ij a = v 2 [(cos i θ-cos j θ)2+(sin i θ-sin j θ)2]ij b =2v[(0i x -0j x )(cos i θ-cos j θ)+(0i y -0j y )(sin i θ-sin j θ)]那么2ij r （t ）=ij a t 2+ij b t+ 2ij r （0）由此可见，两架飞机不碰撞的条件为 2ij r （t ）=ij a t 2+ij b t+ 2ij r （0） >642、由假设（6），我们不必理会飞机飞离区域Ω的状况，因此，在考虑两架飞机是否在区域内发生碰撞时，只需考察两架飞机有一架到达边界之前（7-7）式是否成立就可以了。

记第i 架飞机到达边界的时间为错误！未找到引用源。

， t ij =min （t i ,t j ）表示第i 架飞机和第j 架飞机中至少有一架到达边界的时间，从而在区域Ω内不发生碰撞的条件就成为要求（7-7）式在t 时成立。

现在我们要计算第i 架飞机到达边界的时间错误！未找到引用源。

方向角错误！未找到引用源。

的分析，不难得到错误！未找到引用源。

的计算公式如下：i i v x D θcos 0-，若20πθ<≤i ，tan i θ00I i x D y D --≤或πθπ223≤≤i ，-tan 00i i i x D y -≤θ， i i v y D θsin 0-，若20πθ≤<i ，tan 00i i i x D y D --≥θ或πθπ<≤i 2，-tan 00i i i x y D -≥θ, i i v x θcos 0-，若πθπ≤<i 2，-tan 00i i i x y D -≤θ或23πθπ<≤i ，tan 00i i i x y ≤θ，i i v y θsin 0-,若23πθπ≤<i ，tan 00i i i x y ≥θ或πθπ223<≤i ，- tan 00i i i x D y -≥θ 二、非线性规划模型设有一架飞机到达区域Ω的边界时，连通区域内的飞机有N 架。

设它们的位置为（x 0i ，y i），飞行方向角为i θ0（i=1,2，…N ）。

为了避免在区域Ω内发生碰撞，对各架飞机进行i θ∆的飞行角调整，又设调整后的飞行角为i θ=i 0i θθ∆+，i=1,2，…N调整的目的是避免在区域Ω内发生碰撞，但显然调整量越小越好。

引入目标函数F （N θθθ∆∆∆,.....,21）=∑=∆Ni i 1θ在我们讨论的飞行管理问题中它是有待于极小化的。

目标函数亦可取为∑=∆Ni 12iθ。

由前面的分析，第i 架与第j 架飞机在Ω中不相撞的条件为2ij r (t)>64，t ij t ≤其中r ij (t)和ij t 分别由前面可知。

而N 架飞机在区域内两两不相撞的条件可表述为2ij r (t)>64, t ij t ≤，i ，j=1,2，…N ，i ≠j这是极小化中必须满足的约束条件。

由假设（H2），另一个约束条件应为 6i πθ≤∆ ，i=1,2，…N飞行管理的数学模型就归结为在以上两约束条件下，求目标函数F （N θθθ∆∆∆,.....,21)=∑=∆Ni i 1θ的极小值。

通常表示为min F （N θθθ∆∆∆,.....,21)=∑=∆Ni i 1θ,s.t. 2ij r (t)＞64 ，t ij t ≤，i ，j=1,2，….N,i ≠j6i πθ≤∆，i=1,2，….N.由于在这个及消化问题中目标函数可约束条件关于变量N θθθ∆∆∆,.....,21均为非线性的，因此上述方程组是一个有约束的非线性的规划模型。

由于约束条件2ij r (t)>64, t ij t ≤，i ，j=1,2，…N ，i ≠j有较强的非线性，特别是ij t 的表达式比较复杂，我们可以将问题进一步简化。

注意到区域Ω的对角线长度为2D ，任一架飞机在Ω内的飞行距离不会超过2D ，从而在区域内停留的时间 不超过 t=2D/v只要在时间m t 内飞机不发生碰撞就可以保证在Ω内不会发生碰撞。

据此，我们将假设（H6）修改为（H6）’不考虑飞机在时间m t =2D/v 以后的状况。

数学模型可简化为min F （N θθθ∆∆∆,.....,21)=∑=∆Ni i 1θ,s.t. 2ij r (t)＞64 ，t ij t ≤，i ，j=1,2，….N,i ≠j6i πθ≤∆，i=1,2，….N.由于m t 是一个不依赖i θ∆的常数，问题得到了明显简化。

航空公司的预定票策略一、问题的提出在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。

公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。

设飞机容量为n，若公司限制只预订n张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。

如果不限制订票数量，则当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，将会引起那些不能登机的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，导致公司声誉受损和一定的经济损失（如付给赔偿金）。

这样，综合考虑公司的经济利益和社会声誉，必然存在一个恰当的预订票数量的限额。

二、模型分析已预订航班的持票者数为m，在超订策略下，允许m超过飞机的容量N，如果这m个持票者恰好有k个未出现者，则实到的乘客数位m-k，当m-k≤N,即k≥m-N时，这些乘客都可以上机，因而航班的机票收入为（m-k）g。

而如果m-k＞N，即k<m-N，那么只能有N个乘客搭乘该次航班，剩下的乘客只能被安排搭乘后续的航班。

三、模型建立设该航班的机票收入为Ng。

飞机航班的利润如下：(m-k)g-f，k≥m-N,S k = (1)Ng-f, k<m-N,S k是一个随机变量，为了进行比较，我们计算它的数学期望，假设有k个未出现者的概率为P k，则航班的期望收益为S =k Pk S ∑=mk =)(m 0f Ng Pk N k -∑-=+∑-=-mNm k f g P ])k -m [(k (2)当m ≤N 时，(1)式中的第一个和式消失，S 由第二个和式单独给出，求和下限改为零，即 S =])[(0f g k m Pk mk --∑= (3)实际上，这对应于需求不足的情况，预定航班的乘客数可能很小。

此时，讨论超订策略是没有意义的。

因此，我们仅考虑需要定航班的乘客数很大，航空公司允许的最大预定数m(>N)总是会达到的情形。

这是在繁忙线路上的航班可能会遇到的情况。

将(2)式改为S =)(m0f Ng Pk k -∑=+∑-=---mNm k f Ng f g P )]()k -m [(k=(Ng-f)∑=mk Pk +∑-=mNm k P g )k -N -m (k由P k 的定义，∑=mk Pk =1，在上式的求和号中令j=N+k-m, 有S =Ng – f + g∑-=mNm k P g )k -N -m (k = Ng – f - g ∑=Nj P m-N+j 4）（4）式求和号中的每一项都是正，因此有S≤g – f ，显然，获得接近最大期望利润的唯一方法就是减少所有的P m-N+j （0≤j ≤N ），使之尽可能接近于零。

而这可以通过使预定数m 大大超过N 来实现，因为随着预订机票的乘客数的增加，未出现者的概率会越来越小。

现在，我们可以理解为了获得尽可能多的利益而故意超订了。