4.3 相似三角形 浙教版九年级数学上册同步练习(含答案)

4.3 相似三角形
一、选择题（共8小题）
1. 如图所示，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 4
2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别
是3，4及x，那么x的值为( )
A. 7
B. 5
C. 7或5
D. 无数个
3. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一
点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )
A. 5
B. 8.2
C. 6.4
D. 1.8
4. 已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三边长为3，4，5，如果△DEF的周长为6，
那么△DEF中某条边的边长不可能是( )
A. 1.5
B. 2
C. 2.5
D. 3
5. 如图所示，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(1,1)，(4,1)，(6,1)，以C，D，E为顶
点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )
A. (6,0)
B. (6,3)
C. (6,5)
D. (4,2)
6. 如图所示，在钝角三角形ABC中，AB=6 cm，AC=12 cm，动点D从点A出发到点B
止，动点E从点C出发到点A止，点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )
A. 3 s或4.8 s
B. 3 s
C. 4.5 s
D. 4.5 s或
4.8 s
7. 已知△ABC的三边长分别为2，6，2，△AʹBʹCʹ的两边长分别为1和3，如果
△ABC与△AʹBʹCʹ相似，那么△AʹBʹCʹ的第三边长应该是( )
A. 2
B. 2
2C. 6
2
D. 3
3
8. 如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的
是( )
A. AB2=BC⋅BD
B. AB2=AC⋅BD
C. AB⋅AD=BD⋅BC
D. AB⋅AD=AD⋅CD
二、填空题（共6小题）
9. 已知△ABC的三边分别是4，5，6，与它相似的△AʹBʹCʹ的最长边为12，则△AʹBʹCʹ
的周长是．
10. 如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是线段AC的中点，点E在线段AB上，
且△ADE∽△ABC，则AE=．
11. 如图所示，∠ACB=∠ADC=90∘，AB=5，AC=4，若△ABC∽△ACD，则AD=
．
12. 如图所示，在△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=6，D为BC中点，E是线段AB上
一动点，若△BDE∽△BAC，则BE=．
13. 如图所示，在长方形ABCD中，AB=4，AD=3，E是AB边上一点（不与点A，B重
合），F是BC边上一点（不与B，C重合）．若△DEF和△BEF是相似三角形，则CF=．
14. 如图所示，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比
例函数y=k
(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若
x
△OCD∽△ACO，则直线OA的表达式为．
三、解答题（共6小题）
15. 如图所示，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36∘，∠D=107∘，△ABC∽△DAC．求：
（1）AB 的长．
（2）CD 的长．
（3）∠BAD 的大小．
16. 如图所示，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D ，点 E ，F 分别在 AB ，AC 上，
BE =AF ，FG ∥AB 交线段 AD 于点 G ，连接 BG ，EF ．
（1）求证：四边形 BGFE 是平行四边形；
（2）若 △ABG ∽△AGF ，AB =10，AG =6，求线段 BE 的长．
17. 如图所示，已知 △ABG ∽△FBD ，F 是 AB 的中点，求证：BD CD =AE EC ．
18. 如图所示，点 C ，D 在线段 AB 上，△PCD 是等边三角形，且 △ACP ∽△PDB ．
（1）求 ∠APB 的大小 ⋅
（2）说明线段 AC ，CD ，BD 之间的数量关系．
19. 如图所示，已知，在平面直角坐标系中有四点：A (―2,4)，B (―2,0)，C (2,―3)，D (2,0)，
设 P 是 x 轴上的点，且 PA ，PB ，AB 所围成的三角形与 PC ，PD ，CD 所围成的三角形相似，请求出所有符合上述条件的点 P 的坐标．
20. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a，
b，c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1．
（1）若c=a1，求证：a=kc；
（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，
c1都是正整数，并加以说明；
（3）若b=a1，c=b1，问：是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2 ?请说明理由．
答案
1. B
2. C
3. D
4. D
5. B
6. A
7. A
8. A
9. 30
10. 9
4
11. 16
5
12. 65
5
13. 5
3或3
2
14. y=2x
15. （1）∵△ABC∽△ADC，
∴AB
AD =BC
AC
，
即AB
2=6
4
，
∴AB=3．
（2）∵△ABC∽△ADC，
∴BC
AC =AC
DC
，
即6
4=4
DC
，
∴CD=8
3
．
（3）∵△ABC∽△ADC，∴∠CAD=∠B=36∘，
∠BAC=∠D=107∘，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD
=107∘+36∘
=143∘.
16. （1）∵FG∥AB，
∴∠BAD=∠AGF．
∵∠BAD=∠GAF，
∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．
∵BE=AF，
∴FG=BE．
∵FG∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形．
（2）BE=3.6．
17. ∵△ABG∽△FBD，
∴∠G=∠BDF．
∴DF∥AG．
∵F是AB的中点，
∴DF是△ABG的中位线．
∴BD=DG．
又∵DF∥AG，
∴DG
CD =AE
EC
．
∴BD
CD =AE
EC
．
18. （1）因为△PCD是等边三角形，所以∠PCD=60∘．
所以∠ACP=120∘．
因为△ACP∽△PDB，
所以∠APC=∠B．
所以∠APC+∠CPB=∠B+∠CPB．
所以∠APB=∠ACP=120∘．
（2）因为△ACP∽△PDB，所以AC:PD=PC:BD．
所以PD⋅PC=AC⋅BD．
因为△PCD是等边三角形，
所以PC=PD=CD．
所以CD2=AC⋅BD．
19. 设OP＝x(x>0)．
（1）如图 1 所示，
若点P在AB的左边，有两种可能：
①若△ABP∽△PDC，则PB:CD≡AB:PD，
∴(x―2):3=4:(x+2)，解得x=4．
∴点P的坐标为(―4,0)．
②若△ABP∽△CDP，则AB:CD＝PB:PD，
∴4:3＝(x―2):(x+2)，解得x=―14．不存在．（2）如图 2 所示，
若点P在AB与CD之间，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB:CD＝BP:PD，
∴4:3=(x+2):(2―x)，解得x=2
．
7
∴点P的坐标为,0．
②若△ABP∽△PDC，则AB:PD＝BP:CD，
∴4:(2―x)=(x+2):3，方程无解．
（3）如图 3 所示，
若点P在CD的右边，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB:CD＝BP:PD，
∴4:3=(2+x):(x―2)．
∴x=14．
∴点P的坐标为(14,0)．
②若△ABP∽△PDC，则AB:PD＝BP:CD，
∴4:(x―2)=(x+2):3，
∴x=4或x=―4（舍去）．
∴点P的坐标为(4,0)．
综止所述，点P的坐标为,0，(14,0)，(4,0)，(―4,0)．
20. （1）∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k(k>1)，
∴a
a1
=k，
∴a=ka1．
又∵c=a1，
∴a=kc．
（2）取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2．
此时a
a1
=b
b1
=c
c1
=2，
∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1．
（3）不存在这样的△ABC和△A1B1C1．
理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1，又∵b=a1，c=b1，
∴a=2a1=2b=4b1=4c．
∴b=2c．
∴b+c=2c+c<4c=a，而b+c>a，
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．。