普陀区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1)

普陀区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′=2，则这个平面图形的面积是（ ）
A ．
B ．1
C ．
D ．
2． 观察下列各式：a+b=1，a 2+b 2=3，a 3+b 3=4，a 4+b 4=7，a 5+b 5=11，…，则a 10+b 10=（ ） A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
3． 下列命题正确的是（ ）
A ．很小的实数可以构成集合.
B ．集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合.
C ．自然数集 N 中最小的数是.
D ．空集是任何集合的子集.
4． 函数f （x ）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，+∞）
C ．（﹣9，+∞）
D ．（﹣∞，﹣9）
5． 已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）
A ．{2,1,1}--
B ．{1,1,2}-
C ．{1,1}-
D ．{2,1}--
【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
6． 若函数y=x 2+（2a ﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[﹣，+∞）
B ．（﹣∞，﹣]
C ．[，+∞）
D ．（﹣∞，]
7． 若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0 D ．0＜a ＜1且b ＜0
8． 设函数f （x ）=
则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）
A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）
B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）
D ．（﹣∞，
﹣3）∪（1，3）
9
． 已知向量=（﹣1，3），=（x ，2），且，则x=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知集合{
}
2|10A x x =-=，则下列式子表示正确的有（ ） ①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 11．函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2.3） D ．（3，4） 12．在三角形中，若，则
的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线为l ，焦点为F ，过F 斜率为的直线与抛物线C
相交于A ，B 两点，直线AO 与l 相交于D ，若|AF|＞|BF|，则= ．
14．已知平面向量a ，b 的夹角为3π
，6=-b a
，向量c a -，c b -的夹角为23
π，23c a -=，则a 与
c
的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）＝lnx －m
x
（m ∈R ）在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________．
16．设a 抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为 ．
17．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B 为 .
18．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
三、解答题
19．如图，四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，AC=AB ，CB=CD ，∠DCB=120°，点E 在BD 上，且CE=DE ．
（Ⅰ）求证：AB ⊥CE ；
（Ⅱ）若AC=CE ，求二面角A ﹣CD ﹣B 的余弦值．
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60o
ABC ∠=，侧面PDC 为等边三角形，
且与底面ABCD 垂直，M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：PA ⊥DM ；
（Ⅱ）求直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值．
21．求同时满足下列两个条件的所有复数z ：
①z+是实数，且1＜z+≤6；
②z的实部和虚部都是整数．
22．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，，，...，，集合
..。

，，，，...，.
（1）当，时，用列举法表示集合；
（2）设、，..。

，..。

，其中、，，，...，.证明：若，则.
23．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若c2
=b2+a2，求B．
24．（1）化简：
（2）已知tanα=3，计算的值．
普陀区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵Rt △O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，
∴直角三角形的直角边长是，
∴直角三角形的面积是，
∴原平面图形的面积是1×2
=2
故选D ．
2． 【答案】C
【解析】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a 10+b 10
=123，．
故选C ．
3． 【答案】D 【解析】
试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D 是正确，故选D.
考点：集合的概念；子集的概念. 4． 【答案】B
【解析】解：原函数是由t=x 2
与y=（
）t
﹣9复合而成，
∵t=x 2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=（
）t
﹣9其定义域上为减函数，
∴f （x ）=（）x2
﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数， ∴函数ff （x ）=（）x2
﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．
故选：B ．
【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．
5． 【答案】C
【解析】当{2,1,1,2,4}x ∈--时，2log ||1{1,1,0}y x =-∈-，所以A
B ={1,1}-，故选
C ．
6． 【答案】B
【解析】解：∵函数y=x 2
+（2a ﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=
为对称轴的抛物线
又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，
故2≤
解得a ≤﹣ 故选B ．
7． 【答案】B
【解析】解：∵函数y=a x
﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，
∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0
﹣b ﹣1＜0，
即a ＞1，b ＞0， 故选：B
8． 【答案】A
【解析】解：f （1）=3，当不等式f （x ）＞f （1）即：f （x ）＞3 如果x ＜0 则 x+6＞3可得 x ＞﹣3，可得﹣3＜x ＜0．
如果 x ≥0 有x 2
﹣4x+6＞3可得x ＞3或 0≤x ＜1
综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞） 故选A ．
9． 【答案】C
【解析】解：∵，
∴3x+2=0，
解得x=﹣． 故选：C ．
【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．【答案】C 【解析】
试题分析：{}1,1A =-，所以①③④正确.故选C. 考点：元素与集合关系，集合与集合关系． 11．【答案】A
【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，
∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．
故选A
【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．
12．【答案】A
【解析】
由正弦定理知，不妨设，，，
则有，所以，故选A
答案：A
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，
过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，
直线AO与l相交于D，
∴直线AB的方程为y=（x﹣），l的方程为x=﹣，
联立，解得A（﹣，P），B（，﹣）
∴直线OA的方程为：y=，
联立，解得D（﹣，﹣）
∴|BD|==，
∵|OF|=，∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．
14．【答案】6
π
，18+ 【解析】
15．【答案】－3e
【解析】f ′（x ）＝1x ＋2m x ＝2
x m x +，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减，
当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；
若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）
min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3（－e ，－
1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－m e ，令1－m
e
＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m ＝－3e.
16．【答案】
．
【解析】解：∵a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数， ∴试验发生包含的事件数6，
∵方程x 2
+ax+a=0 有两个不等实根， ∴a 2
﹣4a ＞0，
解得a ＞4， ∵a 是正整数， ∴a=5，6，
即满足条件的事件有2种结果，
∴所求的概率是=，
故答案为：
【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．
17．【答案】4
π 【
解
析
】
考点：正弦定理．
【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用180，消去多余的变量，从而解出B角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三三角形的三角和是︒
角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（）中以选择题的压轴题出现.
18．【答案】12π
【解析】
考点：球的体积与表面积．
【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CDB=30°，
∵EC=DE，∴∠DCE=30°，∠BCE=90°，
∴EC⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC与平面BCD的交线为BC，
∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．
（Ⅱ）解：取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，
∵AC=AB，∴AO⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中点，F是BE中点，∴OF⊥BC，
以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
设DE=2，则A（0，0，1），B（0，，0），
C（0，﹣，0），D（3，﹣2，0），
∴=（0，﹣，﹣1），=（3，﹣，0），
设平面ACD的法向量为=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，，﹣3），
又平面BCD的法向量=（0，0，1），
∴cos＜＞==﹣，
∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．
【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．
20．【答案】
【解析】由底面ABCD为菱形且60o
ABC
∠=，∴ABC
∆，ADC
∆是等边三角形，
取DC中点O，有,
OA DC OP DC
⊥⊥，
∴POA
∠为二面角P CD A
--的平面角，∴90o
POA
∠=．
分别以,,
OA OC OP所在直线为,,
x y z轴，建立空间直角坐标系如图，
则(0,1,0),2,0),(0,1,0)
A P D
B C
-．……3分
（Ⅰ）由M为PB中点，
22
M∴
3
(
2
DM=
(3,0,3),
PA=-0),0,
DC PA DM PA DC
=∴==
∴PA⊥DM……6分
（Ⅱ）由(0,2,0)
DC=，0
PA DC
⋅=，∴PA⊥DC，
∴ 平面DCM 的法向量可取(3,0,PA = …… 9分
(0,1,PC =， 设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，
则sin |cos ,||
|||||6PC PA PC PA PC PA θ⋅=<>===
即直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为4
．…… 12分 21．【答案】
【解析】解：设z+=t ，则 z 2﹣tz+10=0．∵1＜t ≤6，∴△=t 2﹣40＜0，
解方程得 z=
±
i ．
又∵z 的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6， 故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或 z=3±i ．
22．【答案】
【解析】
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin 2
AsinB+sinBcos 2
A=sinA ，
即sinB （sin 2
A+cos 2
A ）=
sinA
∴sinB=sinA ， =
（Ⅱ）由余弦定理和C 2
=b 2
+a 2，得cosB=
由（Ⅰ）知b 2
=2a 2，故c 2
=（2+
）a 2，
可得cos 2
B=，又cosB ＞0，故cosB=
所以B=45°
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．
24．【答案】
【解析】解：（1）
=
=cosαtanα=sinα．
（2）已知tanα=3，∴===．
【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．。