最新高考数学艺术生百日冲刺专题立体几何初步测试题

专题9立体几何初步测试题
命题报告：
1. 高频考点：三视图的认识，几何体的表面积和体积的求解。

2. 考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，每年必考，重点考查三视图和表面积、体积的综合，与球有关的外接和内切问题。

3.重点推荐：基础卷16题，涉及数学文化题的应用，是近几年热点问题；
一．选择题
1. 所有棱长都为1的正四棱锥的体积是（ ）
A 、23
B C D 【答案】：C
【解析】正四棱锥的侧棱、高、底面对角线的一半构成直角三角形，所以高为
，正四棱锥的底面积为1，所以体积为，故选C.
2. 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )
【答案】 B
【解析】 先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.
3. （2018•黄山一模）将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，
则该几何体的侧视图为（）
A． B．C． D．
【答案】：B
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A.90π
B.63π
C.42π
D.36π
答案 B
解析法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.
将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的
体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12
＝63π. 法二 (估值法)由题意知，12
V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又V 圆柱＝π×32×10＝90π， ∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合.
5. 在棱长为a 的正方体
中，P 、Q 是体对角线1A C 上的动点， 且2
a PQ ，则三棱锥P-BDQ 的体积为（ ）
A 3
B 3
C 3
D 3
【答案】：A
【解析】 特殊化处理，让点Q 与C 重合，则三棱锥P-BDC 的体积为所求，
因为，由三角形的相似比可得P 到底面BCD
，
所以
3，故选A. 6. （2018•烟台一模）已知三棱锥P ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为
的正三角
形，PA ，PB ，PC 两两垂直，则球O 的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．3π
D ．4 【答案】：A
7. 长方体的体积为V ，P 是1DD 的中点，Q 是AB 上的动点，则四面体P-CDQ 的体积是（ ）
A 、14V
B 、16V
C 、18V
D 、1
12V
【答案】：D
【解析】设长方体的长、宽、高分别为AB=a ，BC=b ，1AA c ，则有V=abc ，
由题意知，所以
1
12V
8. （2018•三明二模）如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则以下四个命题中错误的是（
）
A ．直线A 1C 1与AD 1为异面直线
B ．A 1
C 1∥平面AC
D 1
C．BD1⊥AC D．三棱锥D1﹣ADC的体积为
【答案】：D
【解析】由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，知：在A中，直线A1C1⊂平面A1B1C1D1，BD1⊂平面A1B1C1D1，D1∉直线A1C1，由异面直线判定定理得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；在B中，∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1，故B正确；在C中，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1，∴AC⊥面BDD1，∴BD1⊥AC，故C正确；在D中，三棱锥D1﹣ADC的体积：
==，故D错误．故选：D．
9.如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O是该正八面体的内切球，则球O 的表面积为（）
A． B． C．D．
【答案】A；
【解析】：由题意，该八面体的棱长为2，设球O的半径为r，
=，解得r=,所以球O的表面积为：4=．故选：A．
10. （2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）三模）
棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）
A．5 B．2C．2D．6
【答案】.C
11.如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱D．四边形EFGH可能为梯形
【答案】D；
【解析】：若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必然在B1C1上，与EH∥B1C1矛盾，所以FG∥EH，故A正确；
由EH⊥平面A1ABB1，得到EH⊥EF，可以得到四边形EFGH为矩形，故B正确；
将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，故C正确；
因为EFGH截去几何体EFGHB 1C1后，EH B1C1CF，所以四边形EFGH不可能为梯形，故D错误．故选：
D ．
12. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）
A ．10000立方尺
B ．11000立方尺
C ．12000立方尺
D ．13000立方尺
【答案】：A
【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，
则三棱柱的体积V 1=×3×2×2=6，四棱锥的体积V 2=×1×3×2=2，
由三视图可知两个四棱锥大小相等，
∴V=V 1+2V 2=10立方丈=10000立方尺．故选：A ．
二．填空题
13. 正△AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是________.
答案 616a
2
解析 画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图).D ′为O ′A ′的中点.易知D ′B ′＝1
2DB (D 为OA 的中点)，
∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616
a 2. 14. 如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为 ．
【答案】.13
【解析】由题意可知四棱锥A 1-BB 1D 1D 的底面是矩形，边长为1和2，四棱锥的高为12A 1C 1=22
，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为13×1×2×22=13．故答案为13
．
15. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________.
答案 2＋22
解析 如图1，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .
在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝
22
. 又四边形AECD 为矩形，AD ＝EC ＝1.
∴BC ＝BE ＋EC ＝22
＋1. 由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A ′B ′C ′D ′.
在梯形A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′＝1，B ′C ′＝22
＋1，A ′B ′＝2. ∴这块菜地的面积S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 16. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=AC=5，AB=3，BC=4，则阳马C 1﹣ABB 1A 1的外接球的表面积是_______。

【答案】50π
【解析】：由题意知，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，
AA 1=AC=5，AB=3，BC=4，
四棱锥C 1﹣ABB 1A 1的外接球即为直三棱柱的外接球，
以AB 、BC 、BB 1为共顶点，画出长方体，如图所示，
则长方体的外接球即为三棱柱的外接球；
∴所求的外接球的直径为体对角线2R=AC 1==，
∴外接球的表面积是S=4πR 2=π•（2R ）2=50π．
三．解答题
17. 已知某线段的正视图、俯视图、侧视图对应线段长度分别为2，4，4，试求此线段的长度。

【解析】：如图想象出线段1BD 所在的空间几何体是长方体
，可得其正
视图、俯视图、侧视图分别为
，…………3分 设长方体三条棱长分别为a ，b ，c ，则有 422=+b a ，，，从而得1BD ＝
…………10分
18.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
【解析】由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.因为A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥
＝1
3
·A1B21·PO1＝
1
3
×62×2＝24(m3)；…………4分
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3).
故仓库的容积是312 m3.…………12分
19. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F ＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.
…………5分
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6.
11
故S 四边形A 1EHA ＝12
×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝12
×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确.…………12分
20. 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点.
(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；
(2)求三棱锥C 1－ABC 的体积.
(1)证明 因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点，
所以A 1O ⊥AC ，…………3分
又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，
且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABC .…………6分
(2)解 ∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离.
由(1)知A 1O ⊥平面ABC 且A 1O ＝AA 21－AO 2＝3，
∴V C 1－ABC ＝V A 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1.…………12分 21. 如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.
已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：
12
(1)三棱锥P －ABC 的体积；
(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值.
【解析】 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA＝13×23×2＝43
3.…………5分 (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补
角).
在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，
cos ∠ADE ＝22＋22
－22×2×2＝34
. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34
.…………12分 22．（2018•海淀区二模）如图，已知菱形AECD 的对角线AC ，DE 交于点F ，点E 为的AB 中点．将三角形ADE 沿线段DE 折起到PDE 的位置，如图2所示．
（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；
（Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面PCF ；
（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM ∥平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【思路分析】（Ⅰ）折叠前，AC ⊥DE ；，从而折叠后，DE ⊥PF ，DE ⊥CF ，由此能证明
DE ⊥平面
PCF ．
（Ⅱ）推导出DC∥AE，DC=AE．从而DC∥EB，DC=EB．进而四边形DEBC为平行四边形．从而CB∥DE．由此能证明平面PBC⊥平面PCF．
（Ⅲ）分别取PD和BC的中点M，N．连接EN，PN，MF，CM．推导出四边形ENCF为平行四边形．从而FC∥EN．由此推导出平面CFM∥平面PEN．
【解析】证明：（Ⅰ）折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以AC⊥DE；
所以折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，
又PF∩CF=F，PF，CF⊂平面PCF，
所以DE⊥平面PCF…………………（4分）
解：（Ⅲ）存在满足条件的点M，N，且M，N分别是PD和BC的中点．
如图，分别取PD和BC的中点M，N．
连接EN，PN，MF，CM．
因为四边形DEBC为平行四边形，
所以．
所以四边形ENCF为平行四边形．所以FC∥EN．
在△PDE中，M，F分别为PD，DE中点，
所以MF∥PE．
又EN，PE⊂平面PEN，PE∩EN=E，MF，CF⊂平面CFM，
所以平面CFM∥平面PEN．…………………（12分）
13。