流体力学课后习题详解(第三、四章)

第三章 流体运动学
3-1解：质点的运动速度
10
3
1014,1024,1011034=-=-==-=
w v u 质点的轨迹方程
10
31,52,103000t
wt z z t vt y y t ut x x +=+=+=+=+
=+=
3-2 解：
2
/12/12/3222/12/12/3220375.0232501.02501.00375.0232501.02501.00
t t t dt d dt y d a t t t dt d dt x d a a y x z =⨯⨯=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯===⨯⨯=⎪⎭⎫
⎝⎛⨯===
由
5
01.01t x +=和10=A
x ,得
19.1501.011001.015
25
2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=A x t
故
206
.00146.0146.00,146.0,014619.150375.02
2
222
2/1=++=++=====⨯=z
y
x
z x y x a a a a a a a a
3-3解：当t=1s 时，点A （1,2）处的流速
()(
)
s
m s m yt xt v s m s m y xt u /1/1211/5/221122
2
-=⨯-⨯=-==⨯+⨯=+=
流速偏导数
112221121,1,/12,1,/1-----=-=∂∂==∂∂==∂∂=∂∂==∂∂==∂∂s t y
v
s t x v s m t t v s y
u s t x u s m x t u
点A(1,2)处的加速度分量
()[]()()[]2
22/11151/3/21151s m y v v x v u t v Dt Dv a s m s m y
u
v x u u t u Dt Du a y x -⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂===⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂==
3-4解：(1)迹线微分方程为
dt u
dy dt u dx ==, 将u,t 代入，得
()tdt
dy dt y dx =-=1
利用初始条件y(t=0)=0,积分该式，得
22
1t y =
将该式代入到式（a ）,得dx=(1-t 2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得
36
1t t x -=
联立（c ）和（d ）两式消去t,得过（0,0）点的迹线方程
023
49222
3=-+-x y y y (2)流线微分方程为
=
.将u,v 代入，得
()tdx dy y t
dy
y dx =-=-11或
将t 视为参数，积分得
C xt y y +=-
2
21 据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为
xt y y =-
2
2
1 3-5 答：
()()，满足满足
002,0001=+-=∂∂+∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂k k z
w y v x u z
w y v x u
()()()
()，满足
，满足
0000402232
22
2
22
=++=∂∂+∂∂+∂∂=+-+
+=
∂∂+∂∂+∂∂z
w y
v x
u y
x
xy
y
x
xy
z
w y
v x
u
()()()()()()处满足，其他处不满足
仅在，不满足，满足，满足
满足
，满足
0,41049000018001760000522==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=++=∂∂++∂∂=++-=∂∂++
∂∂=++=∂∂+∂∂+∂∂y y y
v x u y
v x u u r r u r u r
k r k u r r u r u z
w y
v x
u r r r r
θ
θθθ
3-6 解：
max 02042020max 20320max 20200max 202
02
1422211
10
00
u r r r r u dr r r r r u rdrd
r r u r udA r V r r
A
r =⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππ
3-7 证：设微元体abcd 中心的速度为u r ,u θ。

单位时间内通过微元体各界面的流体体积分别为
()dr d u u cd dr d u u ab d dr r dr r u u bc rd dr r u u ad r r r
r ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛
∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂-2,22,2θθθθθθθθθ
θ面面面面
根据质量守恒定律，有
()02222=⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-++⎪
⎭⎫ ⎝⎛
∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-dr d u u dr d u u d dr r dr r u u rd dr r u u r r r r θθθθθθθθθθ略去高阶无穷小项（dr ）2和drd
,且化简，得
01=∂∂++∂∂θ
θu r r u r u r r 3-8 解：送风口流量
s m s m Q /2.0/52.02.033=⨯⨯=
断面1-1处的流量和断面平均流速
s
m A Q V s m s m Q Q /5
.05.06.0/6.0/2.03311331⨯===⨯==
断面2-2处的流量和断面平均流速
s m s m A Q V s m s m Q Q /6.1/5
.05.04
.0,/4.0/2.02222332=⨯==
=⨯== 断面3-3处的流量和断面平均流速
s m s m A Q V s m Q Q /8.0/5
.05.02.0,/5.0333=⨯==
== 3-9解：分叉前干管的质量流量为Q m0=V
0。

设分叉后叉管的质量流量分别为Q m1和Q m2,则有
21210,m m m m m Q Q Q Q Q =+=
故
ρπρπρπ2221121002
002
14
482V d V d V d Q Q Q m m m =====
解得
s m s m d v d V /05.18/24.245262.225502121002
01=⨯⨯⨯⨯==ρρ
s m s m d v d V /25.22/3.240262.2255022
2
2002
02=⨯⨯⨯⨯==ρρ
3-10 解：
()()02
1210
,01=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂==∂∂=k k y v x u y
v x
u xy
yy xx εεε角变形速率线变形速率
()()
()()(
)
()
2222
222222222222
2
22
2
2
21212,22y x x y y x x y y x x y y u x v y x xy
y v y x
xy
x
u yy
yy xx +-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+-++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=+-=∂∂=
+=
∂∂=εεε角变形速率线变形速率
()()2222
1
210
,03xy =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=
=∂∂==∂∂=y u x v y
v x
u yy xx εεε角变形速率线变形速率
3-11解：线变形速率
4212,42122-=⨯⨯-=∂∂==⨯⨯==∂∂=
y
v
xy x u yy xx εε
角变形速率
()()2
3
221212212221212
222=⨯++-⨯=++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y x y x y u x v xy ε
涡量
()()
7221212222222-=⨯---⨯=+--=∂∂-∂∂=
Ωy x y x y
u x v z 3-12 解：
()无旋流,00000001⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=-=∂∂-∂∂=Ω=-=∂∂-∂∂=Ω=-=∂∂-∂∂=Ωk k y u x v x w
z u z v y w z y
x ()无旋流,0
0002⎩⎨⎧=-=Ω=Ω=Ωz y x
()()()
无旋流,0032
222222222⎪⎩
⎪⎨
⎧=+--+-=Ω=Ω=Ωy x x y y x x y z y x ()有旋流,00
4⎩⎨⎧-=-=Ω=Ω=Ωα
αz y x
()无旋流,05=Ω=Ω=Ωz y x ()无旋流,06=Ω=Ω=Ωz
y x
()()()
无旋流得,022072
222222222⎪⎩⎪
⎨⎧=+--+-=∂∂-∂∂=Ω=Ω=Ω⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+-=y x xyk y x xyk y u x v y x ky v y x kx u z y x
()(
)(
)(
)
(
)
⎪⎩⎪
⎨
⎧=+--+-=∂∂-∂∂=Ω=Ω=Ω⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+-=无旋流得,0082
2222222222222y x x y k y x x y k y u x v y x kx v y x ky u z y x （9）和（10）不满足连续方程，不代表流场
3-13 解：任意半径r 的圆周是一条封闭流线，该流线上
线速度u θ=
0r,速度环量
2022r ru πωπθ==Γ
(2)半径r+dr 的圆周封闭流线的速度环量为
()
2
02dr r d +=Γ+Γπω
得
()()200202
02422dr rdr r dr r d d πωπωπωπω+=-+=Γ-Γ+Γ=Γ
忽略高阶项2
0dr
2
，得 d
rdr d 04πω≈Γ
（3）设涡量为，它在半径r 和r+dr 两条圆周封闭流线之间的圆环域上的积分为d 。

因为在圆环域上可看作均匀分
布，得
Γ=Ωd dA z
将圆环域的面积dA=2rdr 代入该式，得
rdr d rdr z 042πωπ=Γ=Ω
可解出=2+dr/r 。

忽略无穷小量dr/r ，最后的涡量
02ω=Ωz
3-14 解：由u r 和u θ=Cr,得
0,,,0,
,=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=-=y
v C x v C y u x u Cx v Cy u 依据式（3-5a ）和（3-5b ）,有
()y
C Cx C Cy y v v x v u a x C C Cx y y
u v x u u
a y x 220..0.-=+-=∂∂+∂∂=-=-+-=∂∂+∂∂=
可见，a r =-C 2(x 2+y 2)1/2=- u 2θ/r,a θ=0。

显然，a r 代表向心加速度。

（2）由u r =0和u θ=C/r,得
()
()
(
)()
4
24
242224
2
4
2
22424
4
2242
2422222,,2,,r
y C r Cxy r Cx r y x C r Cy y v v x v u a r x
C
r x
y C r Cx r Cxy r Cx y u v x u u
a r Cxy
y v r y x C x v r x y C y u r Cxy x u r Cx v r Cy u y x =+--=∂∂+∂∂=-=-+-=∂∂+∂∂==∂∂-=∂∂-=
∂∂=∂∂=-=
可见，a r =-C 2(x 2+y 2)1/2=- u 2
θ/r,a θ=0。

显然，a r 代表向心加速度。

3-15 解：当矩形abcd 绕过O 点的z 向轴逆时针旋转时，在亥姆霍兹分解式（3-36）中，只有转动，没有平移，也没有
变形。

故有
dx v v dy u u z d z d ωω+=-=,
其中，称是z 向角速率。

据题意，=/4rad/s.
（2）因为矩形abdc 的各边边长都保持不变，故没有线变性；ab 边和ac 边绕过O 点的Z 轴转动，表明没有平移运动；对角线倾角不变，表明没有旋转运动。

根据亥姆霍兹分解式（3-36），有
dx v v dy u u yx d xy d εε+=+=,
其中，角变形速率
s rad dt d d yx xy /8
21π
βαεε=+=
=
3-16 解：（1）由已知流速u=
y 和v=0，得
=0,
=。

依据式(3-33),角变形速率
()202121π
πεε=+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==y u x v yx xy 依据式（3-32），得角速率
()202
121ππω-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x v z
（2）t=0时刻的矩形，在时段dt 内对角线顺时针转动的角度为
dt dt z 2
1π
ωθ=
-=
在t=0.125和t=0.25时刻，转角为=和=因为==0，故没有线变形。

矩形各边相对于对角线
所转动的角度为
dt dt xy 2
2π
εθ=
=
在t=0.125和t=0.25时刻，=dt=和=。

因为对角线顺时针转动了，，故矩形沿
y 向的两条边得顺时针角为，，而与x 轴平行的两条边转角为0.
依据u=y 知，当时流速u 之差值为，在dt=0.125和dt=0.25时段，位移差值为，.这验证了
与y 轴平行的两条边的顺时针转角。

第四章
4-1 社固定平行平板间液体的断面流速分布为
0,227
1max ≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=y B y B u u 总流的动能修正系数为何
值？
解 将下面两式
u u max
2B 2B max A dy B udA A V B y B
87
1127
1
===⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎰⎰--
3
max 3max
3
7
3
222
2
Bu dy U
dA
u B B
B
B
y A =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
---⎰⎰
代入到动能修正系数的算式
dA
u Av
⎰∆
=
3
3
1
α
得
()()[]
04513
8
710
7.u B Bu A max 3
max ==
4-2 如图示一股流自狭长的缝中水平射出，其厚度
m 03.00=δ，平均流速s m V 80= ，假设此射流受中
立作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。

试求（1）在倾斜角 045=θ 处的平均流速V ；（2）该处的水股厚度δ 。

解
⑴
在
θ
＝
45
°
处
，
水
平
分
速
为
V 0
，
故
射
流
平
均
流
速
为
m/s 11.31m/s cos458
cos45=︒
=︒=o
v v
⑵由连续性条件，在
°θ45=处的单宽流量与喷口处相等，
即
δv v δo
=
故
m m δv v δo o 0.0210.3331
.118
=⨯==
4-3 如图所示管路，出口接一管嘴，水流射入大气的速度
s m V 202=，管径d 01=0.05m 2=d ,压力表断面至出口断面高差H=5m,两断面间的水头损失为( 2g 0.521V 。

试求此时压力表
的读数。

解 由总流连续性条件
222222214
4
V d V d π
π
=
，得
5m/s 20m/s 0.10.052
=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2
2
1
2
1V d
d V 根据总流伯诺里方程
w 2
222221111h g V αz g ρp g V αz g ρp +++=++22
取1==21αα，已知H z z 21==g
h w 25
.02
1υ=，
02=p ，得
O mH 8.9055.08.9220520.52222⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯-⨯+=-+=g V g V H g ρp 21221 2.48at
O mH 77.242==
即压力表读数为2048个大气压。

4-4 水轮机的圆锥形尾水管如图示。

一直A-A 断面的直径
m d A 6.0= ，流速s m V A 6=，B-B 断面的直接
m d B 9.0= ，由A 到B 水头损失()g V h A
w 215.02
=。

求（1）当z=5m 时A-A 断面处的真空度（2）当A-A 断面处的允许真空度为5m 水柱高度时，A-A 断面的最高位置max z
解：⑴ 由水流连续性知
V o
2.66m/s 6m/s 9.06.02
=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=A
2
B A B
V d d V
取水面为基准面,0=+
ρ
g p Z B
B ，且取0.1≈B α，得断面B-B 的总能头 363.08.92667.2022=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯+=++=M g V αg ρp Z H 2B B B B 0B
断面A-A 与B-B 之间能量方程可写成
w B 2
A A A h H g
V αg ρp Z +==++02
其中，由A 到B 水头损失
0.267m/s 9.8
26
0.152
=⨯⨯==2g V 0.15
h 2a
w 当z=5m 时（取
0.1≈A α）
，有
9.82650.2760.3632g 2⎭
⎝⎛⨯--+=--+=2A A w 0B A V αz h H g ρp
故A-A 断面的真空度为m g p h A
vA
20.6=-
=ρ
⑵将
5m -=g ρ
p A
和z=z max 代入式（a ）
，得A-A 断面的最高位置
3.80
m 8.926276.0363.0220max =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⨯-+=--+=g ρp g V αh H z A 2A A w B
4-5 水箱中的水从一扩散短管流到大气中，如图示。

若直径
mm d 1001= 该处绝对压强at p abs 5.01=,而直径
mm d 1502=求作用水头H (水头损失可以忽略不计)
解： 基准面0-0，断面1-1、2-2、3-3如图示。

在1-1与2-2断面之间用伯诺里方程（取
）
g
V g p g V g p z abs abs 222
222111+
=+=ρρ
已知m g p m g p z z abs abs 10,5,2
121===ρ
ρ 由水流连续性，得
222
2212125.2＝100150V V V d d V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
代入到伯诺里方程，
()
g
V g V 210225.252222
+=+
或52g V 4.0632
2=
解出流速水头
m 23.12g
V 2
2=
列出断面3-3、2-2之间的伯诺里方程
2g
V 22
222++=+ρg p z H g p abs a
将
0z 和p 22==a abs p 代入得出作用水头
m 23.12g
V 2
2==H
4-6一大水箱中的水通过一铅垂管与收缩管嘴流入大气中，如图。

直管直径A d =100mm ，管嘴出口直径B d =500mm ，若不计
水头损失，求直管中A 点的相对压强
A p 。

解： 断面1-1位于水面上，断面A 和断面B 分别通过A 、B 点。

列出断面1-1与B
之间的伯诺里方程
g
V αg ρp z g V αg ρp z 2
B B B B 2111122+
++=++
利用已知条件
,0,09)324(111====++=-V p p m m Z Z B B
且取
0.11≈≈B αα，得断面B 的流速水头
m z z g
V B 2
B 921=-=
由连续性，算出断面A 的流速和水头
m g V V g g V V V V d
d V B B A B B B
2A B
A 169
21614212,4100502
2
2
2
==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=写断面1-1与A 之间的伯诺里方程
g
V z g p g V g p z A A A A 222
21111αραρ+
+=++
将下列数据代入该式
0,0,53211===+=-a A v p m z z
且取
0.11≈≈A αα，得
O 1.11H p ,m 44.4m 16952g 2A 1=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=--=2A A A V z z g ρp
4-7离心式通风机用集流器C 从大气中吸入空气，如图示。

在直径d=200mm 的圆截面管道部分接一根玻璃管，管的下端插入水槽中。

若玻璃管中的的水面升高H=150mm ，求每秒钟所吸取的空气量Q 。

空气的密度
a ρ=1.29kg/3m 。

解： 设圆截面管道的断面平均流速 为V ，压强为p.由于距离集流器C 较远处大气流速 为
零以，若不计损失，假定集流器中空气密度与外部大气的密度相同，管道断面与远处大气之间的不可压气体的能量方程可写成
g
V g p g p 22αρρααα
+=
玻璃管液面压强为p ，若ρ为水的密度，有静压强关系
gH
p p ρα=-
故从能量方程中可解得
47.470m/s m/s 1015029
.11000
8.922)(2
3=⨯⨯⨯
⨯==
-=
H g
p p V α
αα
ρρ
ρ由此得
/s 1.50m /s m 4
2.0740.474
332
2
=⨯⨯
==
ππV d Q
4-8水平管路的过水流量Q=2.5L/s ，如图示。

管路收缩段由直径1d =50mm 收缩成2d =25mm 。

相对压强 1p =0.1at ，两段面间
水头损失可忽略不计。

问收缩断面上的水管能将容器内的水吸出多大的高度h ？ 解：在1与2两断面之间应用伯诺里方程
g
V g p z g V g p z 222
222221111αραρ+
++=++
取
0.11≈≈B αα，已0.1at
=，p ＝z z 121知可解出
1.273m/s m/s 4
/)1050(105.24/2
33
211=⨯⨯⨯==--ππd Q
V
2.093m/s 1.273m/s 4255012
1
212=⨯=⨯⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=V V d d V 2
故
0.241m m 9.82093.59.82273.1101.02221
2-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⨯=++=2
22
211
g V g V g ρ
p
g ρp 依据吸水管的静压强关
g ρh =p -p 2α系，得出高度
）.24(m 0)241.0(02=--=-
=
g ρ
p g ρ
p h α
4-9图示矩形断面渠道，宽度B=2.7m 。

河床某处有一高度0.3m 的铅直升坎，升坎上、下游段均为平底。

若升坎前的水深为1.8m ，过升坎后水面降低0.12m ，水头损失w h 为尾渠（即图中出口段）流速水头的一半，试求渠道所通过的流量Q 。

解： 取断面1-1和2-2如图。

依据连续性方程
2211A V A V =，得
21)12.03.08.1(0.1BV BV --=
或
2138.18.1V V =
写出两断面之间的能量方程
g
V g V g p z g V g p z 25
.0222
222222111++++=++ρρ
若基准面o-o 取在图示升坎前来流的水面上，有
m g p z g p z 12.0,02
211-=+=+ρ
ρ
代入到能量方程，得
g
V g V 25.112.022
221+-=
联立求解（a ）、（b ）两方程，得
1.606m/s
=V , m/s ＝1.231 V 21
0.12
故渠道能过的流量
/s m 1.231＝5.98×2.7×＝1.8V Q＝A 31 1
4-10 图示抽水机功率为
KW P 7.14=，效率为%75=η，将密度30900m kg =ρ的油
从油库送入密闭油箱。

已知管道直径
mm d 150= ，油的流量s m Q 314.0= ，抽水机进口B
处真空表指示为-3m 水柱高，假定自抽水机至油箱的水头损失为m h 3.2=油柱高，问此时油箱内A 点的压强为
多少？
解： 选取面A 位于油液面上，断面B 位于抽水机进口。

写出两面之间有能量输入的能量方程
A w
B A A A m B B B h g
V g p z H g V g p z -++++=+++222
020ρρ
其中，
为单位重量油体通过抽水机后增加的能理。

由水泵轴功率计算公式
η
ρm
QH g P =
得
油柱8.929m 14
.09008.9107.1475.03=⨯⨯⨯⨯==Q g P H m
ρη
由连续性，得
7.922m/s m/s 4
/15.014
.04
/2
2=⨯=
=
ππd Q V B
油柱3.202m 油柱m 8
.92922.7222
=⨯=g V B
由能量方程可解出
油柱 m 1.498油柱＝ m )3.205(929.802.30.93
-0 )2(2(2
200⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++-+++=-A wB A A m B B B A h g
V z H g V g p z g p ρρ
油箱A 压强
Pa 10×13.21=900Pa ×9.8×1.498=p 3A
4-11 如图所示虹吸管由河道A 向渠道B 引水，已知管径
mm d 100=，虹吸管断面中心点2高出河道水位
m z 2=
，点1至点2的水头损失为
()
g
V h w 210221=-，点2至点3水头损失
()
g
V h w 22232=- ，V 表示管道的断面平均流速，若点2的真空度限制在
m h v 7=以内，试问（1）虹
吸管的最大流量有无限制？如有，应为多大？（2）出水口到河道水面高差h 有无限制？如有，应为多大？ 解：⑴ 取面1位于河道A 的自同面上，断面2过点2.写出两断面间能量方程
g
V g V g p z z 210
22
20221+++=ρ
将
2m =z =z -z 2 1代入，得
g
V g ρ
p 211
22
2
--=
当m 7时，
722-≥≤-
g ρ
p m g ρ
p h υ。

因此有
7(m)11
22
-≥--ρ
g p
求解后，得
2.985m/s 8.92115
=⨯⨯≤
V
/s 0.0234m /s m 0.14
π
2.9854
3322=⨯⨯
≤=d V
Q π
即应当将最大流量限制在23.4 L/s 以内
⑵ 断面3位于虹吸管的出口。

写出面1与3之间的能量方程
h z z g
V g V z z =-+++=312
231,2)210(2
解得
5.98m
9.8
22.98132132
=⨯⨯≤=g v h
故应限制h 不应大于5.89m
4-12 图示分流叉管，断面1-1处得过流断面积
2
323-1213323222111212-2)2(;3-32-21.533-32-21-119660,08.03-372,05.02-2;98,375,1.0p V V m h m h kPa p m z m A m z m A kPa p s m V m z m A w w 处的压强断面和处的流速和）断面试求（和的水头损失分别为和至，；断面压强处；断面处断面压强流速高程===========-解： 取1-1和2-2断面，有
212
222211122-+++=++h g
V g p z g V g p z ρρ
代入各项数据，得
32728.92398001098752
2223+++=⨯+⨯+g
V g p ρ
由此解出
10.459m m 3729.823980010987522
3222=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⨯+⨯+=+g V g p ρ(1)取1-1和3-3断面，有
3133322-+++=++w 2
2111h g
V g ρp z g V g ρp z
代入各项数据，得
52980010196608.92398001098752
3323++⨯+=⨯+⨯+
g
V 解之得
33221 1 A +V A =V A 由V ＝3m/s。

V 3，有
3×0.08+0.1＝0.05×32V
解得 m/s 1.2=V 2
⑴
将其代入到式（a ），得
10.39m m 22.1459.10222=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=g g p
故
Pa 10×1.018=10.39Pa ×＝9800P 52
4-13定性绘制图示管道的总水头线和测管水头线。

答 总水头线
0H 和测管水头线p H 如图示。

4-14 试证明均匀流的任意流束在两断面之间的水头损失等于两断面的测管水头差。

证 在均匀流中断央1-1和2-2之间取任意流束，用z ’、p ’、V ’ 表示流束断面的高程、压强和流速，h ’w 表示两断面之间流束的
能量损失。

写出该流束的能量方程
w 22222211h g
V αg ρp z g V αg ρp z 1'+''+'+'=''+'+'221
设z 、p 表示总流断面的高程、压强。

依据均匀流任一断面上测管水头等值，有
g ρ
p z g ρp z g ρp z g ρp z 221112
21 ,+
='+'+='+'
依据均匀流的任意两面都满足
g
V αg V α222
21122''=''
得
w
h g ρ
p z g ρp z 11'++=+22
或
212122-∆=-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='p p p 11H H H g ρp z g ρp z w h
4-15当海拔高程z 的变幅较大时，大气可近似成理想气体，状态方程为
()RT z p a a ρ=，其中R 为气体常数。

试推
求
()()z p z a a 和ρ 随z 变化的函数关系。

解：设p ao 、T 0分别表示z=0处的大气压强和温度，
分别表示高程z 处的大气压强和温度。

将状态方程该写成
(z)/RT(z)
(z)=p ραα，利用温度随z 变化的线性关系
-βz T(z)=T 0，得
z)(z)/RT(T (z)=p ρβαα-0
大气的压强足静压强分布规律，可依据式（2-11）写出
(z)dz
(z)=-gp dp αα
将式（a ）代入，得
-βz)dz (z)/RT(T (z)=-gp dp 0αα
或改写成
dz z T R g
p dp )
(0βαα--=
利用边界条件α0α
(z=0)=p p 积分上式，得
)T βz ln(1-βR g =p p ln 0
α0α
故(z)p α
随z 变化的函数关系为
g/βR
0ααT βz 1p (z)p ⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=0
将该式代入式（a ），令0α0αα0
/RT (0)=ρ=ρρ表示z=0处大气密度，得函数(z)ρα，即
g/βR
g/βR
0ααT z T βz 1z T R p (z)⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=00001)(βρβρα
4-16 锅炉排烟风道如图所示。

已知烟气密度为
3/8.0m kg s =ρ，空气密度为
32.1m kg a =ρ，烟囱高m H 30=，烟囱出口烟气的流速为m 10（1）若自锅炉至烟囱
出口的压强损失为Pa p w 200=，求风机的全压。

（2）若不安装风机，而是完全依靠烟囱的抽吸作用排烟，压强损
失应减小到多大？
解 （1）烟气密度与空气密度的差别较大，应考虑大气对烟气的浮力作用。

取锅炉进风口断面1-1，烟囱出口断面2-2.依据式（4-42），取
0.121≈≈αα，有
()H
g p V p p V p a s w s
q s ρρρρ-+++=++2222
112121其中，风机全压
q
p 是输入的能量。

断面1-1和2-2的相对压强均为当地大气压强，即
021==p p 。

忽略断
面1-1的动压
2/21V s ρ ，可解出风机全压
()()Pa Pa H g p V p s a w s
q 4.122302.18.08.9200108.02121
222=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-⨯++⨯⨯=--+=
ρρρ
（2）当不安装风机时
=q P ，有
()()()Pa
Pa V H g p H g p V s
s a w s a w s
6.77108.021308.02.18.921
由此得21
022
222=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⨯-⨯-⨯=--=--+=
ρρρρρρ这表明，压
强损失应减小到77.6Pa 以下
4-17 管道泄水针阀全开，位置如图所示。

已知管道直径
mm d 3501=，出口直径mm d 1502=，流速
s m V 302=，测得针阀拉杆受力F=490N ，若不计能量损失，试求连接管道出口段的螺栓所受到的水平作用力。

解 管道流量
s m s m V d Q 3322
2
2530.03015.04
4
=⨯=
=
π
π
管道内断面平均流速为
s m s m V d
d V 510.5303501502
2
2
12
1=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛= 根据能量方程
g
V g V g p 222
2211=+ρ ，得
()()
Pa Pa V V p 5222
1221
1035.451.53010002
121⨯=-⨯⨯=-=ρ设螺栓作用力为R 。

出口段水体的动量方程为
()
()()N
⨯-=N ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⨯⨯⨯--⨯⨯=+--=-=+-325211
1212211
1038.2849035.041035.451.53053.010004
4
ππ
ρρπ
F
d p V V Q R V V Q R F d p R 为负表示作用力向左，即拉力。

4-18嵌入支座内的一段输水管，其直径由
m d m d 1变化到,5.121==，如图示。

当支座前的压强
at p 41=（相对压强），流量为s m Q 3
8.1=时，试确定渐变段支座所受的轴向力R （不计水头损失）。

解 取图示1-1和2-2断面，由能量方程
g
V g p g V g p 222
22211+=+ρρ
其中，流速
()(
)Pa
Pa
V V p p s
m s m d
Q
V s m s m d
Q
V 52
24
2221122
22
22
2
1
110899.3292.2019.121000108.942解得
292.21
8
.144,019.15
.18
.144⨯=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-⨯+⨯⨯=-+==⨯⨯=
=
=⨯⨯=
=
ρππππ设
1R 为管道渐变段对水流的作用力，方向向右为正，则断面1-1和2-2之间的水体动量方程为
()
()()
()()
N ⨯-=⨯++-=-⨯+⨯⨯
⨯+⨯⨯⨯⨯-=-++-=-=+-55
252412222
211
1121222
211
10852.3100127.0062.3927.6019.1292.2100014
10899.35.14
108.944
4
解得
4
4
π
π
ρπ
π
ρπ
π
V V Q d p d p R V V Q R d p d p
01<R 表示方向向左，即支座作用水流的力方向向左。

()N ⨯=-=511085.3R R 0>R 表示支座所受轴向力的方向向右。

4-19斜冲击射流的水平面俯视图如图所示，水自喷嘴射向一与其交角成
060的光滑平板上（不计摩擦阻力）。

若喷嘴出口直径
25mm =d ，喷射流量L Q 4.33=，试求射流沿平板向两侧的分流流量21和Q Q 以及射流
对平板的作用力F 。

假定水头损失可忽略不计，喷嘴轴线沿水平方向。

解喷嘴出口断面0-0的平均流速
s m m d
Q
V 042.68025
.04
104.3342
32
=⨯⨯⨯=
=
-ππ
由能量方程和水头损失不计的条件知，单面1-1和2-2-处的流速
s m V V V 042.6821===
由连续性有
21Q Q Q +=
为了方便求解，建立图示坐标系，x 轴沿平板法向，y 轴沿平板切向。

控制体取为喷嘴出口0-0断面、断面1-1和2-2之间的水体。

因不计摩擦力，平板作用力的y 向分量为零，故依据方程（4-48b ）可写出总流的y 向动量方程
()[]060cos 0
2211=
--QV V Q V Q ρρ
其中，流出动量
()2211V Q V Q ρρ-中因为 2V 沿y 反向，前面加负号。

联解（a ）和（b ）两式，得
s
L Q Q Q s
L Q Q Q V V V V Q /35.805.254.33/05.254.3343432160cos 60cos 12021201=-=-==⨯==+=++=在
x 向上，控制体的流入动量为060sin QV ρ，流出动量为零。

设平板对射流的作用力为'F ，假定作用力矢量当沿x
正向时取正。

依据方程（4-48a ），写出总流的x 向动量方程
N
=N ⨯⨯⨯⨯=-==-1.1968-60sin 042.681033.4-100060sin ''60sin 003-0
0QV F F QV ρρ由此得
负值表示该作用力沿x 轴反向。

射流对平板的作用力
N =-=1.1968'F F
它的作用方向沿x 正向。

4-20 一平板垂直于自由水射流的轴线放置（如图示），截去射流流量的一部分 1Q
，并引起剩余部分
2Q 偏转一角度θ。

已
知射流流量s L Q /36=，射流流速s m V /30=，且s L Q /121=，试求射流对平板的作用力R 以及
射流偏转角
θ（不计摩擦力和重力）
解 建立图示坐标系。

控制体取为断面0-0、断面1-1 和2-2 之间的水体。

作用力矢量当沿坐标轴正向时取正值。

依
据方程（4-48），写出总流的x 向、y 向动量方程为
()()0
sin cos 112222=-=-V Q V Q R QV V Q θρθρ
其中，R 表示平板对射流的作用力。

因为忽略摩擦，故平板对射流作用力的y 向分量为零。

由水流连续性，有
()s L s L Q Q Q /24/122612=-=-=
由能量方程有
s
m V V V /3021=== 由式（b ）中可解出射流偏转角
121122111302412sin sin sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=---Q Q V Q V Q ρρθ 由式（a ），得
()
(
)
N
-=N ⨯-⨯⨯⨯=-=5.45630036.030cos 30024.01000cos 022QV
V Q R θρ
负号表明，平板对射流的作用力方向向左（沿x 反向）。

射流对平板的作用力为-R ，其大小为456.5N ，方向向右（沿x 正向）。

4-21 水流通过图示圆截面收缩弯管。

若已知弯管直径
mm
d A 250=，
mm
d B 200=，流量
s m Q /12.03=。

断面A-A 的相对压强at P A
8.1=，管道中心线均在同一水平面上。

求固定此弯管所
需的力
y
X F F 与（可不计水头损失）。

解 先计算断面A 、B 的面积和流速：
s m s m A Q V s m s m A Q V m m d A m m d A B B a A
B B A A /822.3/0314
.012
.0/444.2/0491
.012.00314.02.044
0491.025.04
4
2
2222222===
====⨯=
==⨯==π
π
π
π
由能量方程g
V g p g V g p B B A A 222
2+
=+ρρ ， 得
()
()
Pa Pa V V p p B A A B 52
222
10721.1822.3444.221000980008.12⨯=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-⨯+⨯=-+
=ρ
作用力矢量当沿坐标轴 正向时取正值。

依据方程（4-48），写出总流的x 向动量方程
()
0060cos 60cos B B A A x A B A p A p F V V Q -+=-ρ
因为断面B 的压力沿x 轴反向，故前面加负号。

解该式，得
(){(
)}()N
-=N -+-=N
-⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯-=-=+-=23.602396.6397.270124.8661444
.260cos 822.312.0100060cos 0314.010721.10491.0980008.160cos 60cos 0
500A
B B B A A x V V Q A p A p F ρ
负号表示管壁对水流的作用力实际方向沿x 反向。

故，固定弯管所需要的力大小为6023.23N ，方向向左。

类似地，总流的y 向动量方程可写成
()0060sin 060sin B B y B A p F V Q +=--ρ
其中，因为断面B 的压力沿y 反向，故前面取负号。

解得
()
()N
-=N --=N ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-=--=14.507795.477919.39760sin 0314.010721.160sin 822.312.0100060sin 60sin 0500
0B B B y A p QV F ρ
0<y F 表示该分量的实际方向沿y 反向。

故，固定弯管的力大小为4382.2N ，方向向下。

4-22 试求出题4-5图中所示短管出流的容器支座受到的水平作用力。

解 习题4-5中已解出：s m V m g
V /91.4，23.1222
2==
选取短管出口断面上游的所有水体为控制体，取x 轴方向沿着短管出流方向，设容器壁对水体的作用力为F ，当沿坐标轴正向时取正值。

依据动量方程（4-48a ）,有
()F V V Q =-1122ββρ
其中 直径
s
m V V s
m V d Q mm d /91.4,0/0868.04
流量,15021322
22====
=π
N
=N ⨯⨯====2.426)91.40868.01000(得
,0.1,/100023QV F m kg ρβρ
F>0.表明容器壁对水体的作用力沿x 正向。

容器支座受到的水平推力大小为426.2N,方向向左（这就是射流的后座力）。

4-23 浅水中有一艘喷水船以水泵作为动力装置向右方航行，如图示。

若水泵的流量
s L Q /80=，船前吸水的相对速度
s m w /5.01=，船尾出水的相对速度s m w /122=。

试求喷水船的推进力R 。

解 选取控制体位于喷水船水管进口与出口之间，x 方向向右，沿坐标轴正向的作用力分量取正值。

依据动量方程（4-48a ），
写出
x 向动量方程
[]R w w Q -=---)
()(12ρ
其中，-R
是船体对水体的作用力，而喷水传推进力
R
沿着
x
正向。

解出
()
N
w w Q R 920)5.012(10
8010003
12=-⨯⨯⨯=-=-ρ
4-24 图示一水平放置的具有对称臂的洒水器，臂悬半径R=0.25m ，喷嘴直径d=10mm,喷嘴倾角α=45 若总流量Q=0.56L/s 求（1） 不计摩擦时的最大旋转角速度ω；（2）ω=5rad/s 时为克服摩擦应施加多大的扭矩M 以及所作功率P 。

解 （1）喷嘴的喷射流速
s m s m d Q
d Q
v /565.3/012
.01056.022)
4/(23
2
2
=⨯⨯⨯==
=
-πππ
选取随旋臂一起转动的坐标系如图示，控制体为断面1-2之间的右侧弯头段。

总流的y 向动量方程为
()R V Q
F ωαρ
-=sin 2
其中，F 为弯头对水流的作用力，左侧弯头的作用力为-F 。

当
F=0
时，有
s r a d s r a d R V /08.10/25
.045sin 565.2sin 0
===αω
（2）两个弯头的作用力形成力偶，其扭矩
()R F M 2=。

当ω
一定,扭矩
()()[]
W
W P m R
Q V Q FR M 56.35712.0功率
25.0545sin 565.31056.01000sin 203=⨯=M =∙N ⨯-⨯⨯⨯=-==-ωωαρ4-25图示一水射流垂直冲击平板ab ，在点c 处形成滞点。

已知射流流量s L Q /5=，，喷口直径mm d 10=。

若不计
黏性影响，喷口断面流速均匀，试求滞点c 处的压强。

解 喷口断面平均流速s m s m d Q V /662.63/01
.010544/2
3
21=⨯⨯⨯==-ππ 取1点位于喷口中心，喷口断面流速分布均匀，1点流速11
V U = 。

1、c 两点在同一直线上，写出该流线的伯努力方程。

水柱高为处的压强滞点带入上式，得
将.78.206c 78.2068.92662.632,0,,
0222
21111122
111m p m m g U g p V U U z z p g U z g p g U z g p c c c c c c c =⨯======++=++ρρρ
4-26 已知圆柱绕流的流速分量为θθθsin 1,cos 12222⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∞∞r a U u r a U u r ，其中a 为
圆柱的半径，极坐标()θ,r 的原点位于圆柱中心上。

（1）求流函数ψ，并画出流谱 ；（2）若无穷远出来流的压强为
∞
p ，
求
a r =处即圆柱表面上的压强分布。

解（1）依据流函数定义式（4-68），有
r r d u rd u d θθψ==
利用给定的
θ
u 表达式，得
θθψ
sin 122⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=-=∂∂∞r a U u r
积分该式,有
()()()()θθθθθθψψ
C r a r U C d r a U C d r r r
r +⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+∂∂=
∞∞⎰⎰22
22sin sin 1,
其中，
()θC 是依赖θ
的常数。

因为圆柱表面
a r =是流线，该流线上=ψ常数，该常数可以任取。

现取
()0，利用上式可确定0上===θψC a r ,故流函数为
θψsin 122⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∞r a r U
流谱如图所示。

（2）曲线
的流线。

0是一条bscde =ψ在不计重力的条件下，该流线上成立伯努利方程
g
U g p g U g p 222
2
+=+∞∞ρρ 在
圆
柱
表
面
上
a
r =，
带
入
给
定
的
流
速
表
达
式
，
得
θθθθsin 2,sin 2,0∞∞====U u U U u u r
将U 代入式（a ），得圆柱表面的压强
()
θρρρ22
22sin 4122-+=-+=∞∞∞∞g
U g p g U U g p g p
4-27已知
两平行板间的流速场
()[]
q。

h y m h sm C v y h C u ）单宽流量2；（）流函数1求（0时2/当取.2.0,）（250其中，,0,2/122
ψψ=-====-=-解 （1）由流函数的定义式（4-58），有
()代入上式，得
将。

选取该流线上。

下壁面是一条流线，知，积分常数不依赖其中，依据得
积分。

由此得02/00320
,2,1
32
2
2=-===∂∂+-⎪⎭
⎫
⎝⎛=∂∂=∂∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂∂∂-=∂∂=
h y x x
C y C y h C y y h C y x
v y u x
ψψψ
ψψψψ
ψψ6
1
3250252.0250121250312.02504
112
1
3141故流函数为
,12可解出2322033323
323
113
2
+
-=⨯⨯+⨯-⨯⨯=+-=
=
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=y y y y ch cy y ch ch C C h c h h C ψ(2)单宽流量
sm
m sm m h y q 3
33
333.06122.0325022.0252=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ψ4-28 设有一上端开口、盛有液体的治理圆筒如图所示，绕其中心铅直轴作等速运动，角速度为
ω。

圆筒内的液体也随作
等速运动，液体质点间无相对运动，速度分布为
0,,==-=w x v y u ωω。

试用欧拉方
程求解动压力
p
的分布规律及自由液面的形状。

解 作用在液体上的单位质量力
g Z Y X -===,0,
流体质点的加速度为
()x
v t
y t y z u w y u v x u u t u a x 2000ωωωω-=-=∂∂-=+++∂-∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=
()y
u t
x t x z y x u t a y 2000ωωωωνωνννν-==∂∂=+++∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=
0=z
a
根据欧拉运动方程，有
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧=∂∂-=∂∂-
=∂∂-z y x a z p Z a y p Y a x p
X ρρρ111即⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧=∂∂---=∂∂--=∂∂-0110102
2
z
p
g y y p x x p
ρωρωρ或⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=∂∂=∂∂=∂∂ρρωρωg z p y y
p x x p 2
2
故
压
强
全导数
C
gz y x p dz
g ydy xdx dz z p
dy y p dx x p dp +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=++=∂∂+∂∂+∂∂=22积分得222222ωωρρρωρω
设自由面上()()()()02
1方程
代入上式，得到自由面0将2因此，压强分布为或0，故
0。

由于该处处0.0,02
20220
=-+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-==+-====z z g r p gz gz r p z
g C C gz p z z y x ωωρρρ
4-29 图示一平面孔口流动（即狭长缝隙流动），因孔口尺寸较小，孔口附近的流场可以用平面点汇表示，点汇位于孔口中心。

已知孔口的作用水头H=5m ，单宽出流流量
sm L q 20=，求图中a 点的流速大小、方向和压强。

解 小孔口流动相当于强度2q 的平面点汇流动。

根据平面点汇流动的流速公式，有
m s m r q u m r a u r
q
u a ra
a r 0028.05
21020222该处的流速的大小为,521点，在0,223
22=⨯⨯⨯===
+=
==
-πππθ
流速方向沿着a 点与孔口中心连线的方向。

在过a 点连线上，自由面与a 点之间的伯努利方程为
2
2z g
u g p z ra a =++ρ其中
z 表示自由面高程，
p
表示a 点的压强。

将
1
0+=-H z z a 代入上式
，得
m m g g u H g p ra 620018.015212
2
≈⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=-+=ρ
故a 点压强为6m 水柱高。

4-30完全自水流井汲水时产生的渗流场可以用平面点汇流动求解。

图示自流井位于铅直不透水墙附近，渗流场为图示两个点汇
的叠加，两者以不透水墙为对称面。

求汲水流量 s m Q 31=时，流动的势函数 ϕ ，以及沿壁面上的流速
分布。

解 该渗流场相当于（-2，0）点上强度Q 的点汇和 （+2，0）点上强度Q 的点汇的叠加。

对于x=a 处的点汇诱导的流场，有
流函数
πθψ211
Q -= ；势函数11
ln 2r Q
πϕ-= 对于在x=-a 处的点汇诱导的流场，有
流函数
π
θψ22
2
Q -=
；势函数
2
2
ln 2r Q π
ϕ-=
根据势流叠加原理，两个点汇叠加诱导的流场中任一点P （x ，y ）处的流函数、势函数分别为
[][]()()()()()
22
2222222111
21
1213
2121212121422时，有=1、a =当Q 20,u 0壁面上，有=根据对称性，在x tan tan 2壁面上流函数值为
tan ,tan 0壁面上，有
=。

在x ln 21 时，有 s 1m
Q 当 ln 2ln ln 22y y
y y y a Qy
y a y y a y Q
x a x y a x y Q a
x y a
x y r r r r Q
r r Q Q
+-=+-=+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-++-=
∂∂-==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++--
=+=-=-==-=+-=+=+-=+=----ππνππ
ψνπ
ψθθπ
ϕπ
πϕϕϕθθπψψψ4-31 图示一盛水圆桶底中心有一小孔口，孔口出流时桶内水体的运动可以由兰金涡近似，其流速分布如图所示：中心部分
()0
r r ≤为有旋流动()r
r u ω=，外部
()
r
r > 为有势流动
()r
r u r u /0
=，其中
()
r r u u == 。

设孔口尺寸很小,
0r 也很小，圆桶壁面上的流速
()0
≈==R r u u R
，流动是恒定的。

（1）求速度环量
Γ 的径向分布；（2）求水面的形状
解（1）速度环量 θπ
rd u ⋅=Γ⎰20。

对中心部分 ()
r
r ≤ 的流速分布式
()r
r u ω=
积分，得
2220
2r d r πωθωπ==Γ⎰
对外部
()0r r
≥的流速分布式()r r u r u /00
=积分，得
00
20
2u r rd u r
r
πθπ==Γ⎰
（2）在外部
()
0r r
≥ ，依据无旋流动的伯诺里方程，对任意点均有
常数212
==++C g
u g p z ρ
自由面上
0=p ，代入上式，得自由面方程 12
2C g
u z =+
利用桶壁条件()H C H z R r u u R ==≈==1得常数,和0 故自由面
方程可写成
,212
00r r H r u r g
z ≥=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+
(a)
在中心部分
()0
r r ≤的有旋流动是一个柱状强迫涡， 其
流速分布
()r
r u ω=与习题 4-28直立圆桶绕中心铅直轴等速运动的流速分布为速度分布为
x
y u ωνω=-=和 完全相同。

由习题4-28知，自由面方程可写成
()()002,021
r r z z g r g
<=-+ω (b)
为了确定r=0处自由面高程
00将,r r z = 代入（a ）、（b ）两式，消去z ，得H
z =0。

故式（b ）可改成
()()002,021
r r z z g r g
<=-+ω
式（a ）和（c ）就是要求解的自由水面方程。

4-32 偶极子是等强度源和汇的组合，如图a 所示：点源位于
()0,2δ-=+x 点源强度为Q>0;点汇位于
()0,2δ+=-x ，强度为-Q<0。

点源与电汇叠加后,当偶极子强度Q M δ= 为有限值、而取
0→δ时，就得到式（4-75）中偶极子的势函数和流函数。

试利用偶极子与均匀平行流叠加的方法（图b ），导出圆柱
绕流的流速分布（可参见习题4-26）。

解 先推到偶极子的势函数。

根据叠加原理，图（a ）位于+=x x 的点源和位于-=x x 的点汇诱导的流速势
可写成
2
1
2121ln 2ln 2ln 2r r Q
r Q r Q πππϕϕϕ=-=
+=
其中，从点源
()
0,2δ-和点汇
()
0,2δ+ 到P （x ，y ）的失径分别为
()()2
2
22
2
12/,2/y x
r y
x
r +-=
++=
δδ
故
，
流
速
势
可
写
成
()()()()2
22
2
2
2
2
22/2/ln 42/2/ln
2y
x y x Q y x
y
x Q
+-++=+-++=δδπδδπ
ϕ
()[
]()[]
22220
22
2
2
2124，得偶极子的流速势
0。

取极限令2ln 2ln 4lim y x Mx
y x x M Q M y x y x Q M +=
+==→=+--++=→ππϕϕδδδ
δδπδδ
再推导均匀平行流场与偶极子叠加，均匀平行流场的速度势为x U ∞=0ϕ，依据叠加原理，它与偶极子叠加后诱导
的
流
速
势
可
写
成
()()x y x U M U x U y x Mx
y x M ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=++=+=∞∞∞1221,2
2220
ππϕϕϕ仿照式（4-77），令
2
2
2U
M a
π=
,代入上式，得圆柱绕流的流速势
()θϕcos 1,222∞∞⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=U r r a x U r a y x
依据式（4-66）得圆柱绕流的的各速度分量
()θθϕθϕθsin 11,cos 122
22-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂=∞r r a r r u U r a r u r
证毕。

4-33 在圆柱绕流流场上再叠加上一个位于原点的顺时针点涡，得到有环量的圆柱绕流，如图示。

（1）当
∞
=ΓaU π4时，圆柱表面上的两个滞留点重合。

求过滞留点的两条流线方程；（2）采用圆柱表面压强积分的方法，试推导出升力公式；（3）
∞>ΓaU π4，试确定滞留点位置。

解 由式（4-79）写出有环量的圆柱绕流的流函数
lnr 2sin )(),(2π
I r a r U y x -+-=∞θψ （a ）
依据式（4-66），得各速度分量
r 2sin )1(cos )1(12222
πI r
a U u r
a U r u r -
+-=∂∂-=-=∂∂=∞∞θθψθ
θψθ
（1）
求当I=4πa ∞U 时过滞留点的流线方程。

将
）
代入式（、c r 0u a ==θ得滞留点满足的方程∞
∞-==-
-aU 4sin 0a 2sin 2π或πI
I U θθ
一起。

，即两个滞留点重合到π
，π时，有π当ππ和π面上的两个滞留点值有两个，它们是下表满足该式的2
2aU 4I aU 4I
sin aU 4I sin 21
211-→-→→+-=-=∞∞
-∞-θθθθθ
线。

），故上式代表两条流π（因为）（π
）（方程常数”的性质，得流线），（）和同一流线上“利用流函数表达式（）（），（），得
代入式（π和值，将两条流线的为了得出通过滞留点的θθθψψφ+-=+-=+-=+-==-=∞∞∞∞sin sin alna
1U 2lnr 2I
-sin r a r U y x a alna
1U 2y x a aU 4I 1sin 2（2）推到升力公式。

在圆柱面上，有r=a 。

代入带式（b ）（c ）得
g
u g p g U g p I
U u u r 22a
2sin 2,02
2θ
θρρθ+
=+-
-==∞∞根据伯诺里方程π
圆柱面上的压强为
2
2
a
2I sin U 22/U 2/1p p π（+
-+=∞∞∞θρρ。