新课标人教版实验高一数学必修1A教案(全知识点+典型例题讲解)

高中数学必修1A
（人教实验版）
目录
§1集合 (3)
§2函数及其表示 (10)
§3函数的基本性质 (16)
§4指数与指数函数 (22)
§5对数与对数函数 (28)
§6函数的应用 (34)
§1集合
一、一周知识概述
本周主要学习了集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有列举法和描述法两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。

二、重难点知识归纳
(一)元素与集合的含义
元素: 研究的对象
集合: 一些元素组成的总体(简称集)
属于: 如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作。

(二)列举法与描述法
列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
描述法: 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。

一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用描述法表示。

(三)子集、真子集、空集
子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集(subset)，记作(或),读做“A包含于B”(或“B包含A”).
真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集(proper subset)，记作(或).
空集: 不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作，并规定：空集是任何集合的子集
Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.
学习这几个概念时，应注意以下几点：
①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的子集，反之则不一定。

②若集合A与集合B中的元素是一样的，则集合A与集合B相等。

③元素与集合之间是属于或不属于关系，而集合与集合之间则是包含与不包含关系，如设A={a},B={a,b}，则有，（错误写法：）
④集合中元素的特征:确定性；互异性；无序性
(四)并集、交集、补集
三、典型例题讲解
例1、具有下列性质的对象能否构成集合，若能构成集合，用适当的方法表示出来。

（1）10以内的质数；
（2）x轴附近的点；
（3）不等式3x＋2<4x－1的解；
（4）比3大1的负数；
（5）方程2x＋y=8与方程x－y=1的公共解。

分析: 首先分析集合中元素的特征: 确定性，互异性，无序性. 则只有（2）不能构成集合，其次要了解列举法与描述法的区别，有限集用列举法，无限集用描述法.
解：（1）能。

用列举法表示为：{2，3，5，7}
（2）不能。

无法确定哪些点是x轴附近的点。

（3）能。

用描述法表示为：{x|3x＋2<4x－1}.
（4）能。

这个集合中没有元素，为空集，用φ表示。

（5）能。

可表示为：
例2、写出{a，b，c，d}的所有子集，并指出哪些是真子集。

分析: 本题着重考察了子集与真子集的区别，对于非空集合而言，子集比真子集要多一个，而那一个恰好就是集合本身.
解：子集为：、{a}、{b}、{c}、{d}、{a,b}、{a,c}、{a,d}、{b,c}、{b,d}、{c,d}、{a,b,c}、{a,b,d}、{a,c,d}、{b,c,d}、{a,b,c,d}，共16个，其中前15个是{a,b,c,d}的真子集。

一般地集合{a1，a2，a3，…a n}共有2n个子集。

例3、设集合A={1,4,x},B={1,}，且={1,4,x}，则满足条件的实数的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析:此题主要考察集合的互异性以及集合之间的关系，由题意可得，所以当时，解得x=,经检验得两值都符合题
意；，可得x=0、1，而由集合中元素的互异性可知x=1不合题意，舍去，所以满足条件的实数为,0共3个.
答案：Ｃ
例4、设，，已知，则实数_________。

分析: 由题意可得9既是A中元素又是B中元素，则可以由此求出a的值，再可以根据集合性质检验a是否符合题意。

解: 由得，或，解得.
当时，，，与矛盾.
当时，，，中元素重复，舍去.
当时，，，满足题设.
答案：
例5、设A=，B=
（1）若A B=B，求的值；（2）若A B=B，求的值．
分析:明确A B=B和A B=B的含义，根据问题的需要，将A B=B和A B=B转化为等价的关系式：和，
是解决本题的关键．
解：首先化简集合A，得A={-4，0}
（1）由于A B=B，则有可知集合B或为空集，或只含有根0或-4．
①若B=，由得
②若，代入得：，
当时，B=，合题意．
当时，B=，也符合题意．
③若，代入得：，
当时，②中已讨论，合题意
当时，B=不合题意．
由①、②、③得，．
（2）因为A B=B，所以，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．
由（1）知，.
例6、设，若，求实数的取值范围。

分析: 本题等价于二次方程无正实根，再分成有根和无根讨论
解：由，得，或，且
①当时，，解得
②当时，方程有两个根非正根
则，解得
综合①②得.
例7、已知全集U={1，2，3，4，5}，A={x∈U|x2－5qx＋4=0}；
（1）若，求实数q的取值范围；
（2）若中有四个元素，求及实数q的值；
（3）若A中有且仅有两个元素，求及实数q的值.
分析：问题的实质是对方程x2－5qx＋4=0的解的情况进行研究，但必须注意全集的条件和补集的概念，即在所涉及到的研究中，我们只考虑以1，2，3，4，5为元素的集合，对q则没有这一限制；在（1）问中，若由△<0去推出q的取值范围，则是一种错误的解法.
解答：（1）由于全集是U，
∴由=U，知A=，即方程x2－5qx＋4=0的解不在U中，
由12－5q·1＋4≠0，得q≠1；
由22－5q·2＋4≠0得q≠；
同理由3、4、5不是方程的根，依次可得；
综上可得所求范围是.
（2）由中有四个元素，
∴A中的方程有一个解在U中，利用（1）中结论可得：
若q=1，则A={1，4}，矛盾，∴q≠1；
若q=，则A={2}，此时={1，3，4，5}；
若q=，则A={3}，此时={1，2，4，5}；
若q=，则A={5}，此时={1，2，3，4}；
（3）设这两个元素是x1、x2，由x1·x2=4，及x1、x2∈U知，
当且仅当q=1时，={2，3，5}.
§2函数及其表示
一、一周知识概述
1. 映射
设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射（mapping），记作f:A→B.
给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．
2. 函数
一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ,对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数(function),通常记为y=f(x),x∈A .A称为函数的定义域(domain),y的集合称为函数的值域(range).
即函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射.
注意：定义域、对应法则是函数的两大要素,值域是由定义域和对应法则所确定的第三要素.对应法则是函数的核心。

3. 函数的表示法：
（1）下面三种表示方法都有各自的优点，要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

解析法：简明、全面地概括了变量间的关系；还可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.
列表法：直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.
图象法：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
（2）利用信息技术，创设丰富的数形结合环境，这样可以更深刻地理解函数概念及其表示方法.
4. 分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

二、重难点知识归纳
1. 对于函数的概念，必须明白以下两点：
①定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体。

②函数记号y=f(x)的内涵。

同时也应用具体的函数说明符号“y=f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，并不表示“y等于f与x的乘积”；符号f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数。

在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。

2. 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3. 学习映射时需注意：
映射只要求“对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应”，即对于Ａ中的每一个原象在Ｂ中都有象，至于Ｂ中的元素在Ａ中是否有原象，以及有原象时原象是否惟一等问题是不需要考虑的。

三、典型例题解析
例１、下面四组函数f(x)与g(x)中，表示同一函数的是（）
A．
B．
C．
D．
分析：当两函数的对应法则与定义域都相同时，两函数表示同一函数，而与表示变量的字母无关.
A不是，f(x)的定义域为R，g(t)的定义域为[0，＋∞）；
B不是，f(x)的定义域为[1，＋∞），g(t)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞）.
C不是，定义域、值域虽都相同，但对应法则不同.
故选Ｄ.
例２、给出下列四个对应，其中构成映射的是（）
A．只有①，②B．只有①，④C．只有①，②，④D．只有④
分析：根据映射的定义，对于集合Ａ到集合Ｂ的映射，集合Ａ中的每一个原象在Ｂ中都有象，至于Ｂ中的元素在Ａ中是否有原象，以及有原象时原象是否惟一等问题是不需要考虑的。

简单来说，可以一对一，多对一，但是不能一对多。

故只有①和④满足映射的定义，故选Ｂ.
例3、设M={0|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到集合N的函数关系的有（）
ABCD
解析：函数必须是一对一对应，并且定义域、值域必须在给定的集合内取值。

按照函数定义分析可得：
A中使M中的元素x(1≤x≤2)无象；
C中使M中的元素2的象不在N中；
而D中使M中的元素x(1≤x≤2)的象不唯一.
故选B.
例4、（1）求函数的定义域.
（2）求函数的值域.
分析：对于函数⑴，当g(x)≠0时，分式有意义；当h(x)≥0时，二次根式有意义；当p(x)≠0时，(p(x))0有意义.因此，求函数定义域问题可转化为求不等式组的解集问题来处理.对于函数⑵，二次分式函数的值域一般采用判别式法来求，但要注意与端点的值对应的x可能不在函数定义域内，一般要验证端点的值.
解：（1）要使函数f(x)有意义，有
∴原函数的定义域为（－3，0）.
（2）的定义域为
（－∞，－3）∪（－3，1）∪（1，＋∞）．
将已知函数变形成关于x的二次方程
(1－y)x2－(2＋2y)x＋3(1＋y)=0.
当y=1时，．
当y≠1时，∵x为实数，
∴△=[－2(1＋y)]2－12(1－y)(1＋y)≥0，
∴2y2＋y－1≥0，∴y≤－1或y≥（y≠1）．
当y=－1时，x=0∈（－3，1）；
当y=时，x=3∈（1，＋∞）．
综上，函数的值域为（－∞，－1]∪[，＋∞）.
例5、汽车从A城行驶到B城，开始3小时的速度为40公里/小时，因故停了30分钟，剩下的路程以50公里/小时的速度2小时走完，在B城停留150分钟后，用45公里/小时的速度返回A城，写出汽车与A城间的距离d（公里）关于时间t的函数关系式.
分析：
因为汽车在中间停了两次，所以此函数为一分段函数，要注意的是在汽车停车的两次当中，距离并没有改变。

解：解答：当0≤t≤3时，d=40t；
当3<t≤3时，d=120；
当3<t≤5时，d=50(t－)＋120；
当5<t≤8时，d=220；
当8<t≤12时，d=220－45(t－8).
∴
§3函数的基本性质
一、一周知识概述
函数的单调性、奇偶性是函数的两个基本性质，也是本周学习的重点内容，通过学习，同学们要掌握这些概念的形成过程，同时还要学会判断一些函数的单调性、奇偶性，用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。

另外，同学们还要学会对函数图象的分析，通过观察，可以解决有关函数的单调性，奇偶性和最值等问题。

信息技术的使用也是一个重点，那样可以使数与形的结合表现得更加自然。

二、重难点知识归纳
1、函数的单调性
（1）定义: 设函数y=f(x)的定义域为A ：区间，
如果对于区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说f(x)在区间I上是增函数（increasing function）. 区间I称为y=f(x)的单调增区间;
如果对于区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function). 区间I称为y=f(x)的单调减区间.
函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，因此函数的单调性是函数的局部性质.
（2）图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
（3）判定方法
①定义法：
1)取值：对任意，且；
2)作差：；
3)变形:把差化为乘积或平方和的形式
4)判定差的正负；
5)根据判定的结果作出相应的结论.
②图象法
2、函数的最值
（1）定义：一般地，设,如果存在实数M满足：
①对于任意的，都有
②存在，使得
那么，我们称M是函数的最大值(maximum value).
同理，设,若存在实数M满足:
①对于任意的，都有
②存在，使得
我们称M是函数的最小值(minimum value).
（2）注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．
（3）求函数最值的常用方法有：
①配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．
②换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．
③数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值
3、函数奇偶性
（1）定义:
如果对于函数f(x)定义域内任意一个，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function).
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function).
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
奇偶性是函数的整体性质,函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数.
（2）图象特点：
偶函数关于y轴对称
奇函数关于原点对称
（3）判定方法
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件
首先看函数的定义域是否关于原点对称，
若不对称则函数是非奇非偶函数。

若对称，
①再根据定义判定;
②有时判定比较困难，可考虑根据是否有或来判定;
③利用定理或借助函数图象判定.
4、实习作业
这次实习作业的内容主要是体现数学文化方面的内容，了解函数概念的发展历史及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物.同学们须根据主题和任务，分工协作，明确各自的任务，收集和整理资料，并与同学进行讨论、交流，得出新的结论.
三、典型例题解析
例1、若函数f(x)=ax2＋2(a－1)x＋b在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a的取值范围是（）
A．[0，＋∞）B．{}
C．（0，]D．[0，]
解析：分和两种情况，再根据二次函数的特点进行分析.
f(x)的对称轴（a≠0）满足≥4，且a>0.
∴0<a≤，又a=0时，f(x)=－2x＋b在R上减.
∴0≤a≤.故选D.
例2、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）
A．(a，-f(a))B．(-a，-f(a))
C．(-a，-f(-a))D．(a，f(-a ))
解析:若点P（x0，y0）在图象上，则可记为P[x0，f(x0)]，又因是奇函数，故关于原点的对称点P′[-x0，-f(x0)] 也在图象上，故选B.例3、某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t（单位：天）的函数关系是f(t)=t＋10（0<t≤30，t∈N），销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)=－t＋35（0<t≤30，t∈N），则这种商品的日销售金额的最大值是______________.
提示：销售额p=(t＋10)(－t＋35)=－(t－35)(t＋10)，
其图象的对称轴，又t∈N.
∴t=12或t=13时，P取到最大值506元.
例4、已知函数.
（1）用定义证明该函数在上是减函数；
（2）判断该函数的奇偶性.
分析：本题主要考察函数的性质的定义，必须要根据定义灵活运用.
解：（1）设且.
=.
.
.
所以，即.
所以该函数在上是减函数.
（2）又.
所以该函数是奇函数.
例5、已知函数是奇函数，且.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）判断函数f(x)在（0，1]上的单调性，并加以证明.
解：（1）∵f(x)是奇函数，∴对定义域内的任意的x，都有，即，整理得：. ∴q=0.
又∵，∴，解得p=2.
∴所求解析式为.
（2）由（1）可得=，
设，
则由于
=
因此，当时，，
从而得到即，.
∴是f(x)的递增区间。

§4指数与指数函数
一、一周知识概述
本周学习了指数与指数函数，讲到了根式的概念，n次方根的基本性质.然后又学习了指数幂，规定了分数指数幂的意义以及基本运算性质，并且要简单了解无理指数幂. 在指数函数性质的学习中，要区分当底数在（0，1）和两种不同的情况时其函数值的变化，还利用了信息技术作出函数图象，并利用图象归纳函数基本性质.
二、重难点知识归纳
1．幂的概念的推广，对于指数式来说，当指数x取各种不同的有理数时，式子的定义如下（m，n∈N，n>1）；
（1）正整数指数幂
（2）零指数幂：（a≠0）；
（3）负整数指数幂：
（4）分数指数幂：
（5）无理指数幂：
2．实数的指数幂的运算性质（其中a>0，b>0，m、n为实数）；
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3．根式
(1)定义若（，n>1），则称x为a的n次方根(n throot)．
当n=2，n=3时，上述定义就是我们在初中学过的平方根、立方根．
若n为奇数，用符号表示a的n次方根，这时．
若n为偶数，则要求a≥0，用符号表示a的n次方根．
(2)性质
①
②
③（n为大于1的奇数）
④（n是不等于零的偶数）
4.指数函数定义
一般地，函数叫做指数函数(exponential function)，其中x是自变量．函数的定义域是R，指数函数的值域是．
5．指数函数的图象和性质
一般地，指数函数在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a>10<a<1
图象
性质（1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时,y=1
（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数
6.利用函数单调性比较两实数大小，首先要通过观察分析，构造出适当的函数来，对于幂形数，若同指数不同底数，则考虑幂函数，若同底数不同指数，则考虑指数函数；其次比较大小时不仅要注意函数的单调性，还要注意幂形数比大小的两数是否都在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．
7．信息技术的使用
为了能够主动研究指数函数的图象和性质，可以充分利用信息技术提供的互动环境，先随意地取a的值，并在同一个平面直角坐标系内画出它们的图象，然后再通过底数a的连续动态变化展示函数图象的分布情况，这样可以更容易的概括出函数性质.
三、典型例题剖析
例1. (1)化简.
(2)计算.
分析：要掌握分数指数幂的基本运算性质，并且要明白运用的前提条件.
解：(1)原式
(2)原式.
例2．若的值．
分析：先由已知求得x再代入所求式子，可以求出值，但较为麻烦，能否不求x，利用整体代换呢？观察所求式子的特点，可由已知两边平方，三次方求出所求式子分母、分子的值．
解：由两边平方得，再平方得，
由
两边立方得，
∴，∴
评述：带条件的求值问题或证明问题，常有两种解决方法：①把要求的式子化成用已知表示，再代入；②由已知式子求出要求的式子需要的值．整体思想是解决这类问题的常用技巧．
例3．如图是指数函数（1）（2），（3）（4）的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（）
A．B．
C．D．
分析：可先分两类：（3）、（4）的底数一定大于1，（1）、（2）的底数小于1，然后再由（3）（4）中比较c,d的大小，由（1）（2）中比较a,b的大小．
解法1：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴．
解法2：令x=1，由图知：
∴b<a<1<d<c．故选B.
例4．已知，求函数的最大值和最小值.
分析：此函数为一个指数函数和一个二次函数的复合函数，处理这类问题的基本方法是用换元法转化为区间上二次函数的最值问题．
解：设
∵
∴且，
∴当t=3,即x=1时，f(x)取最大值12，
当t=9,即x=2时，f(x)取最小值－24.
例5．已知f(x)＝（a>0且）．
（1）求f(x)的定义域、值域．（2）讨论f(x)的奇偶性．（3）讨论f(x)的单调性．
解：（1）定义域R
∴值域为（－1，1）
（2）
∴f(x)为奇函数．
（3）设，则，
当a>1时，由，得，
∴当a>1时f(x)在R上为增函数．当0<a<1时f(x)在R上为减函数．
§5对数与对数函数、幂函数
一、一周知识概述
本周主要学习了对数与对数函数的定义及其简单性质，在学习指数函数的基础上学习对数函数，是因为这两个基本初等函数之间有着密切相关的联系，对数的定义是根据指数推导出来的，也就说明同底的对数和指数可以进行互化. 通过信息技术画图也可以发现，
底数相同的对数函数与指数函数图象是关于y=x直线对称. 而且这两个函数的定义域、值域、单调性都是有规律的. 对于幂函数，也可以通过信息技术画出五个函数图象，并归纳其基本性质.
二、重难点知识归纳
1．对数
（1）对数的定义：
如果，那么数x叫做以a为底Ｎ的对数(logarithm)，记作．其中a叫做对数的底数，N 叫做真数．
（2）指数式与对数式的关系：
（a＞0，a≠1，N＞0）.
两个式子表示的a、x、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
（3）对数运算性质：
如果a>0，且a1，b>0，且b≠1，M>0，N>0，那么：
①
②
③
④对数换底公式：
⑤
⑥
⑦
⑧
2．对数函数
（1）定义：一般地，我们把函数叫做对数函数(logarithmic function)，其中x是自变量，函数的定义域是.
（2）对数函数与指数函数的区别
名称指数函数对数函数
一般形式
定义域值域
函数值变化情况
当a>1时
当0<a<1时，
当a>1时
当0<a<1时，
单调性
当a>1时，是增函数
当0<a<1时，是减函数当a>1时，是增函数当0<a<1时，是减函数
图象的图象与的图象关于直线y=x对称
3．幂函数
一般地，函数叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，是常数.
对于幂函数，只需研究y=x，,,,五个函数即可.
定义域R R R
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
在第1象限单调增减性在第1象限单调
递增
在第1象限单调
递增
在第1象限单调
递增
在第1象限单调
递增
在第1象限单调
递减
三、典型例题剖析
例1．对于a>0，a≠1，下列说法中，正确的是（）
①若M＝N，则；
②若，则M＝N；
③若，则M＝N；
④若M＝N，．
A．①③B．②④
C．②D．①②③④
解析：在①中，当M＝N≤0时，与均无意义，因此不成立．
在②中，当时，必有M>0，N>0，且M＝N．因此M＝N成立．
在③中，当时，有M≠0，N≠0，且，即|M|=|N|，
但未必有M＝N．例如，M＝2，N＝－2时，也有，但M≠N．
在④中，若M＝N＝0，则与均无意义．因此=不成立．所以，只有②成立．例2．已知函数f（x）＝则f（2＋）的值为（）
A．B．
C．D．
解析：∵3<2＋<4，3＋>4，
故选D.
例3．计算：（1）若，,求lg5.
（2）.
解析：（1）∵
∴
又∵∴
∴∴
（2）原式
例4．已知x满足不等式,求函数f(x)=的最大值和最小值.
解析：，则可解得
又f(x)=
∴当时，f(x)取得最小值；当=3时，f(x)取得最大值2.
例5．若f（x）＝－x＋b，且f（）＝b，＝2（a≠1）．
（1）求f（）的最小值及对应的x值；
（2）x取何值时，f（）>f（1）且<f（1）．
解析：（1）∵f（x）＝－x＋b，
∴f（）＝－＋b．
由已知，－＋b＝b，
∴，
∵a≠1，∴＝1，
∴a＝2．又＝2．
∴f（a）＝4，∴－a＋b＝4，b＝4－＋a＝2．
故f（x）＝－x＋2，
从而f（）＝－＋2＝（－）2＋．
∴当＝即x＝时，f（log2x）有最小值．
（2）由题意.
§6函数的应用
一、一周知识概述
本周主要学习了基本函数的应用，主要分为四个方面，第一方面，通过结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．第二方面，根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，这种方法是求方程近似解的常用方法，必须了解其基本步骤．第三方面，利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．第四方面，通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例，了解函数模型的广泛应用．
二、重难点知识归纳
1、函数的零点
①函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点(zero point)．
②函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
③函数零点的求法：
求函数的零点：
(1)（代数法）求方程的实数根；
(2)（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
2、二分法求方程近似解
①二分法的概念：
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．
②二分法求近似解的注意事项：
(1)确定区间时，必须区间两端点函数值小于零;
(2)要明确精确度的范围，根据|a－b|<，即可确定近似解为a(或b);
(3)要很好的利用计算器或计算机来确定区间的范围．
3、函数的模型及其应用
（1）利用信息技术从图、表两方面对具体函数的增长差异进行比较，则可发现，函数增长速度最快，而增长速度最慢，即总会存在一个，当时，就有．
（2）函数模型的应用实例主要包含三个方面：
①利用给定的函数模型解决实际问题；
②建立确定性函数模型解决问题；
③建立拟合函数模型解决实际问题．
三、典型例题剖析
例1．设是方程的解，则在下列哪个区间内（）
A．（3，4）B．（2，3）
C．（1，2）D．（0，1）
解析：令f(x)=lnx＋x－4，通过利用计算器或计算机可算得
f(2)－＜０，f(3) ＞０．。