专题10 线性规划与基本不等式基础篇-2018年高考数学备

专
题十线性规划与基本不等式
【背一背基础知识】
1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域
2. 二元一次不等式表示的平面区域的确定：
对于二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般来说有两种方法：（1）.是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．（2）.将“x”前系数变为正数，观察“y”前面的符号如果“y”前面的符号为正且不等号方向为“>”(或者 )则区域在直线上方，反之在直线下方.
3. 线性规划中的基本概念
成的不等式
4.求目标函数的最值步骤：（1）作图—画出约束条件表示的平面区域；（2）平移—利用线性平移的方法找点使目标函数取得最值；（3）求值—求出目标函数的最值.
【讲一讲基本技能】
1. 必备技能：①.平面区域的确定.②.求目标函数最值对目标函数的处理：可按照如下的步骤进行，如果目标函
数为z x y =+第一把目标函数整理成斜截式即y x z =-+这时候看z 前面的符号本例中z 前的符号为正那就是目标函数平移进可行域时截距最大的时候z 有最大值，截距最小时z 有最小值.第二令z=0画出目标函数.第三将目标函数平移进可行域找寻符合截距最大最小的最优解. 2. 典型例题
例1【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250
302x y x y -+≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
,则z =x +2y 的最大值是
A.-3
B.-1
C.1
D.3 【答案】D 【解析】
例2【2017课标3，文5】设x ，y 满足约束条件32600
0x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则z x y =-的取值范围是（ ） A ．[–3,0]
B ．[–3,2]
C ．[0,2]
D ．[0,3]
【答案】
B
【练一练趁热打铁】
1.若变量x y ，满足约束条件1
11x y y x x +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最小值为( )
A 、1-
B 、0
C 、1
D 、2 【答案】A 【解析】
由约束条1
11
x y y x x +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立()100,111x y x A y x y +=⎧∴∴⎨-⎧=⎩⎨⎩＝＝ ,
∴2z x y =-在点A 处取得最小值为1-．故选：A ．
2.【2016高考山东】若变量x ，y 满足2,239,0,
x y x y x ì+?ïïï
ï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ）
（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12
【答案】
C
基本不等式
【背一背基础知识】
1. 基本不等式ab ≤a ＋b
2
①．基本不等式成立的条件：a >0，b >0.
②．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2. 几个重要的不等式
①.a 2＋b 2≥2ab(a ，b ∈R)；b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)．
②.ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2
＋b
2
2(a ，b ∈R) 3. 算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数． 4. 利用基本不等式求最值问题
已知x >0，y >0，则：
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2
4
.(简记：和定积最大)
【讲一讲基本技能】
必备技能：
1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22
，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b
的转化关系．
3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2
＋b 2
≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b
2
≥ab
(a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22
(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
典型例题
例1.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 【答案】30
【解析】总费用600900464()4240x x x x +
⨯=+≥⨯，当且仅当900
x x
=
，即30x =时等号成立. 例2【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441
a b ab
++的最小值为 .
【答案】4 【解析】
【练一练趁热打铁】
1.【2017山东，文】若直线1(00)x y
a b a b
+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】8 【解析】
2.若直线220ax by -+=（0a >，0b >）经过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则11
a b
+的最小值为___________． 【答案】4
【解析】圆心坐标为 ()1,2-
2224b a
a b
=+
+≥+=．
一、选择题（12*5=60分）1．若0b a <<，则下列不等式不正确的是（ ）
A. 22a b <
B. 2
ab b < C.
11
a b
> D. a b < 【答案】C 【解析】A 项中，
0b a <<， ()()220a b a b a b ∴-=-+<，故正确
B 项中， 0b a <<， ()20ab b b a b ∴-=-<，故正确
C 项中， 0b a <<， 11
a b
∴
<，故错误 D 项中， 0b a <<，则a b <，故正确
故选C .
2．若,a b 是实数，则"2"a >是2
"4"a >的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】224a a >∴>，；取3a =- 24a >，满足，但推不出2a >，故反之推不到，所以"2"a >是2"4"a >的充分不必要条件，选A. 3．当时，不等式恒成立，则的取值范围是( ) A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】根据题意构造函数：，由于当
时，不等式
恒成
立，即
，解得
，即
，故选A.
4．【2018届海南省高三二模】已知实数x ， y 满足1{210 3
x x y x y ≥-+≤+≤，则3z x y =+的最大值是（ ）
A. 4
B. 7
C. 8
D. 173
【答案】B
【解析】作出可行域，如图所示：
当直线经过点B ()12，时， 3z x y =+最大，即167z =+=， 故选：B.
5．设变量x ，y 满足约束条件20
{70 1
x y x y x -+≤+-≤≥，则y
x
的最大值为（）
A. 6
B. 3
C.
8
5
D. 1
【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．
y
x
表示可行域内的点(),M x y 与原点连线的斜率．结合图形可得，可行域内的点A 与原点连线的斜率最大． 由70{
1x y x +-==，解得1
{ 6
x y ==，故得()1,6A ．
所以max
6OA y k x ⎛⎫
==
⎪⎝⎭．选A ． 6．已知实数,x y 满足20
{0 0
x y x y +-≤≥≥，则2z x y =+的最大值为（ ）
A. 4
B. 3
C. 0
D. 2 【答案】A
【解析】
由已知不等式组，画出可行域如图所示，阴影部分AOB ∆，其中()()2,0,0,2A B ，令0z =有20x y +=表示经过原点的直线，由2z x y =+有11
22
y x z =-
+，当直线的纵截距有最大值时， z 就有最大值，所以直线经过点B 时，纵截距有最大值， z 的最大值为0224z =+⨯=，选A.
7．【2018届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1
千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时， B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时， B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A. 320千元 B. 360千元 C. 400千元 D. 440千元 【答案】
B
绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：
目标函数在点()150,60B 处取得最大值： max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项
.
8．已知实数,x y 满足31
{4 1
y x x y y ≤-+≤≥，则目标函数z x y =-的最大值为（ ）
A. 3-
B. 3
C. 2
D. 2-
【答案】C
【解析】
如图所示，当31x y ==，时， 目标函数z x y =-的最大值为312-= 故选C .
9．【2018届河南省三门峡市高三上学期期末】若实数x ， y 满足20,
{
, ,
x y y x y x b -≥≥≥-+且2z x y =+的最小值为4，则
实数b 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 5
2
D. 3 【答案】D
【解析】作出不等式组对于的平面区域如图：
∵z=2x+y 的最小值为4，即2x+y=4，
且y=﹣2x+z ，则直线y=﹣2x+z 的截距最小时，z 也取得最小值， 则不等式组对应的平面区域在直线y=﹣2x+z 的上方，
由24{ 20x y x y +=-=；，解得1{ 2
x y ==， 即A （1，2），
此时A 也在直线y=﹣x+b 上，
即2=﹣1+b ，
解得b=3，
故选：D.
10．已知0,0,1x y xy >>=，则21x y
+的最小值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 3
D. 【答案】D
【解析】21x y +≥= 00x y >>，，
当且仅当21x y
=时成立， 故选D .
11．【2018届浙江省台州市高三上学期期末】已知实数,x y 满足不等式组0,
{20, 30,
x x y x y ≥-≤+-≤则()()2212x y -++的
取值范围是
A. []1,5
B. ⎤⎦
C. []5,25
D. []
5,26 【答案】D
【解析】
画出0
{20 30
x x y x y ≥-≤+-≤表示的可行域，如图， ()()2212x y -++表示可行域内的动点(),x y 到()1,2-距离的平方，
由图可知在()0,0处()()2212x y -++取最小值()()22
01025-++=，在()0,3处取最大值()()22
010226-++=，取值范围是[]5,26，故选D. 12．已知函数()321132f x ax bx x =+-（0a >， 0b >）在1x =处取得极小值，则14a b
+的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 9 D. 10
【答案】
C
二、填空题（4*5=20分）
13. 若0x >，则
28x x +的最小值为__________． 【答案】8 【解析】28x x +
8≥= ,当且仅当12x =时取等号，即最小值为8. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会
出现错误.
14．已知0,0a b >>，并且
111,,2a b 成等差数列，则9a b +的最小值为_________. 【答案】16
【解析】由题可得： 111a b +=，故()119991916a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥ ⎪⎝⎭
15．若(
)4log 4log a b +=a b +的最小值是__________．
【答案】9
【解析】因为(
)44log 4log log a b ab +=，所以4a b ab +=，化简得141b a
+=，所以()1445549a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，当且仅当6,3a b ==时等号成立，故填9. 16．若,x y 满足约束条件10,
{20, 220,
x y x y x y -+≤-≤+-≤则2x y +的取值范围为__________．
【答案】(]
0,2 【解析】画出如图可行域：
设z=x+y,则y=-x+z 表示斜率为-1的一组平行线，显然如图当目标函数过A 时取得最大值1，无最小值，所以2x y +的取值范围为(]0,2。