2020版高考数学一轮(新课改省份专用)复习(讲义)第七章立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质

第四节 直线、平面垂直的判定与性质
突破点一 直线与平面垂直的判定与性质
[基本知识]
1．直线和平面垂直的定义
直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
(2)线面角θ的范围：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直．( ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题
1．过一点有________条直线与已知平面垂直． 答案：一
2．在三棱锥P ­ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O ， ①若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心．
②若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的________心． 答案：外 垂
3．如图，已知∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ， △PAC 的边所在的直线中，
与PC 垂直的直线有________________；与AP 垂直的直线有________．
解析：因为PC ⊥平面ABC ， 所以PC 垂直于直线AB ，BC ，AC . 因为AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ， 所以AB ⊥平面PAC ， 又因为AP ⊂平面PAC ，
所以AB ⊥AP ，与AP 垂直的直线是AB . 答案：AB ，BC ，AC AB
[典例] (2019·郑州一测)如图，在三棱锥P ­ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D 为线段AB 上的点，且AD ＝2DB ，PD ⊥AC .
(1)求证：PD ⊥平面ABC ；
(2)若∠PAB ＝π
4
，求点B 到平面PAC 的距离．
[解] (1)证明：连接CD ，据题知AD ＝4，BD ＝2，AC 2
＋BC 2
＝AB 2
， ∴∠ACB ＝90°，∴cos ∠ABC ＝236＝3
3，
∴CD 2
＝22
＋(23)2
－2×2×23cos ∠ABC ＝8， ∴CD ＝22，∴CD 2
＋AD 2
＝AC 2
，则CD ⊥AB . ∵平面PAB ⊥平面ABC ， ∴CD ⊥平面PAB ，∴CD ⊥PD ， ∵PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ， ∴PD ⊥平面ABC .
(2)由(1)得PD ⊥AB ，∵∠PAB ＝π
4，
∴PD ＝AD ＝4，PA ＝42，
在Rt △PCD 中，PC ＝PD 2
＋CD 2
＝26， ∴△PAC 是等腰三角形，∴可求得S △PAC ＝8 2. 设点B 到平面PAC 的距离为d ，
由V B ­PAC ＝V P ­ABC ，得13S △PAC ×d ＝1
3S △ABC ×PD ，
∴d ＝
S △ABC ×PD
S △PAC
＝3. 故点B 到平面PAC 的距离为3. [方法技巧]
证明直线与平面垂直的方法
(1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)；
(2)判定定理(常用方法)；
(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)；
(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；
(5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法); (6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．
[针对训练]
(2019·贵州模拟)如图，在直棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，且AB ＝
AD ＝1，AA 1＝
6
2
，∠ABC ＝60°. (1)求证：AC ⊥BD 1； (2)求四面体D 1AB 1C 的体积．
解：(1)证明：连接BD ，与AC 交于点O ，因为四边形ABCD 为平行四边形，且AB ＝AD ，所以四边形ABCD 为菱形，
所以AC ⊥BD .在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，可知BB 1⊥AC ，则AC ⊥平面
BB 1D 1D ，又BD 1⊂平面BB 1D 1D ，则AC ⊥BD 1.
(2)V D 1AB 1C ＝V ABCD ­A 1B 1C 1D 1－V B 1­ABC －V D 1­ACD －V A ­A 1B 1D 1－V C ­C 1B 1D 1＝V ABCD ­A 1B 1C 1D 1－4V B 1­ABC ＝32×6
2
－4×13×34×62＝24
.
突破点二 平面与平面垂直的判定与性质
[基本知识]
1．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
2．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角α的范围：[0，π].
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若α⊥β，a ⊥β⇒a ∥α.( )
(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( ) (3)如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题
1．m ，n 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ∥
n ，n ∥β，则α与β的位置关系为________．
答案：垂直
2．设α，β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的____________条件．
答案：充分不必要
3．已知PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，PA ，AC ，
BD ，则一定互相垂直的平面有________对．
解析：由于PD ⊥平面ABCD ，故平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面PAC ⊥平面
PDB ，平面PAB ⊥平面PAD, 平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．
答案：7
[典例] (2019·开封定位考试)如图，在三棱锥D ­ABC 中，AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，
AD ＝6，CD ＝3，平面ADC ⊥平面ABC .
(1)证明：平面BDC ⊥平面ADC ； (2)求三棱锥D ­ABC 的体积．
[解] (1)证明：在△ABC 中，由余弦定理可得，
BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC
＝
4＋1－2×2×1×1
2
＝3，
∴BC 2
＋AC 2
＝AB 2
，∴BC ⊥AC ，
∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ADC ，
又BC ⊂平面BDC ，∴平面BDC ⊥平面ADC . (2)由余弦定理可得cos ∠ACD ＝2
3，
∴sin ∠ACD ＝
53
， ∴S △ACD ＝12·AC ·CD ·sin∠ACD ＝5
2，
则V D ­ABC ＝V B ­ADC ＝13·BC ·S △ACD ＝15
6
.
[方法技巧] 面面垂直判定的两种方法与一个转化
[针对训练]
(2019·洛阳一模)如图，在四棱锥E ­ABCD 中，△EAD 为等边三角形，底面ABCD 为等腰梯形，满足AB ∥CD ，AD ＝DC ＝1
2
AB ，且AE ⊥BD .
(1)证明：平面EBD ⊥平面EAD ；
(2)若△EAD 的面积为3，求点C 到平面EBD 的距离． 解：(1)证明：如图，取AB 的中点M ，连接DM ， 则由题意可知四边形BCDM 为平行四边形，
∴DM ＝CB ＝AD ＝1
2AB ，即点D 在以线段AB 为直径的圆上，
∴BD ⊥AD ，又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ， ∴BD ⊥平面EAD .
∵BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面EAD . (2)∵BD ⊥平面EAD ，且BD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面EAD . ∵等边△EAD 的面积为3， ∴AD ＝AE ＝ED ＝2，
取AD 的中点O ，连接EO ，则EO ⊥AD ，EO ＝3， ∵平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴EO ⊥平面ABCD .
由(1)知△ABD ，△EBD 都是直角三角形， ∴BD ＝AB 2
－AD 2
＝23，
S △EBD ＝12
ED ·BD ＝23，
设点C 到平面EBD 的距离为h ，
由V C ­EBD ＝V E ­BCD ，得13S △EBD ·h ＝1
3S △BCD ·EO ，
又S △BCD ＝1
2BC ·CD sin 120°＝3，
∴h ＝
32.∴点C 到平面EBD 的距离为32
. 突破点三 平行与垂直的综合问题
1．平行关系之间的转化
在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．
2．垂直关系之间的转化
在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：
在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．
[典例] (2018·北京高考)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面
ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别
为AD ，PB 的中点．
(1)求证：PE ⊥BC ；
(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .
[证明] (1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .
因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .
(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，
因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB .
因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .
(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG .
因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝1
2BC .
因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝1
2BC .
所以DE ∥FG ，DE ＝FG .
所以四边形DEFG 为平行四边形．所以EF ∥DG . 又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD . [方法技巧]
平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系．
[针对训练]
(2019·北京西城区期末)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G ，H 分别是CE ，CF 的中点．
(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；
(2)求证：平面BDGH∥平面AEF.
证明：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF.
(2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF.
又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，如图．
在△ACF中，因为O，H分别为CA，CF的中点，
所以OH∥AF.
因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.。