2019届高三数学(理)二轮专题复习文档：考前冲刺四 溯源回扣四 数列与不等式

溯源回扣四 数列与不等式
1.已知数列的前n 项和S n 求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示.事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.
[回扣问题1] 在数列{a n }中，a 1＋a 22＋a 33＋…＋a n
n ＝2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析
依题意得，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 的前
n 项和为2n －1，
当n ≥2时，a n
n ＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1， 又a 11＝21－1＝1＝21－1，因此a n
n ＝2n －1(n ∈N *)， 故a n ＝n ·2n －1. 答案 n ·2n －1
2.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n 时，
无法正确赋值求解.
[回扣问题2] 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 8
b
8＝________.
解析 a 8b 8＝2a 82b 8＝a 1＋a 15b 1＋b 15＝S 15T 15＝3×15－12×15＋3＝4
3.
答案 4
3
3.运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论.
[回扣问题3] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则公比q ＝________.
解析 (1)当q ＝1时，显然S 3＋S 6＝S 9成立. (2)当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9，
得a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝a 1（1－q 9）1－q .
由于1－q 3≠0，得q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1
4.利用等差数列定义求解问题时，易忽视a n －a n －1＝d (常数)中，n ≥2，n ∈N *的限制，类似地，在等比数列中，b n
b n －1＝q (常数且q ≠0)，忽视n ≥2，n ∈N *的条件
限制.
[回扣问题4] (2015·安徽卷改编)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋1＝a n ＋1
2(n ≥2)，
则数列{a n }的前9项和等于________.
解析 由a 2＝1，a n ＋1＝a n ＋12(n ≥2)，∴数列{a n }从第2项起是公差为1
2的等差数列，∴S 9＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9 ＝1＋8a 2＋8（8－1）2×1
2＝23.
答案 23
5.对于通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q (n ≥2)，求{a n }的通项公式时，要注意分n 的奇
偶性讨论.
[回扣问题5] 若a n ＝2n －1，b n ＝(－1)n －1a n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.
解析 b n ＝(－1)n －1a n ＝(－1)n －1(2n －1).
当n 为偶数时，T n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(－2)×n
2＝－n . 当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝－(n －1)＋a n ＝n . 故T n ＝⎩⎨⎧－n ，n 为偶数，
n ，n 为奇数.
答案 T n ＝⎩⎨⎧－n ，n 为偶数，
n ，n 为奇数
6.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.
[回扣问题6] 若不等式x 2＋x －1<m 2x 2－mx 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________.
解析 原不等式化为(m 2－1)x 2－(m ＋1)x ＋1>0对x ∈R 恒成立. (1)当m 2－1＝0且m ＋1＝0，不等式恒成立，∴m ＝－1.
(2)当m 2
－1≠0时，则⎩⎨⎧m 2
－1>0，Δ＝（m ＋1）2－4（m 2
－1）<0.
即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m >53
或m <－1.所以m >53或m <－1. 综合(1)(2)知，m 的取值范围为(－∞，－1]∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，＋∞.
答案 (－∞，－1]∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53，＋∞
7.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋
1
x 2＋2
的最值，就不能利用基本不等式求解最值. [回扣问题7] (2017·山东卷)若直线x a ＋y
b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.
解析 依题意1a ＋2
b ＝1(a >0，b >0)，
∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＋2b ＝4＋b a ＋4a b ≥8，
当且仅当b a ＝4a
b ，即a ＝2，b ＝4时，取等号. 故2a ＋b 的最小值为8. 答案 8
8.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如
y －2
x ＋2
是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.
[回扣问题8]
若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，
则z ＝y －2
x ＋3
的最小值为(
)
A .－2
B .－23
C .－125
D.
2－47
解析 作出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，
z ＝y －2x ＋3的几何意义为可行域内的动点与定点P (－3，2)连线的斜率，设过P 的圆的切线的斜率为k ，则切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0， 由
|3k ＋2|k 2＋1
＝2，解得k ＝0或k ＝－12
5. ∴z ＝
y －2x ＋3
的最小值为－125. 答案 C
9.求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响.
[回扣问题9] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪x <－2，或x >－12，
则ax 2－bx ＋c >0的解集为________. 解析 ∵ax 2
＋bx ＋c <0
的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12， ∴a <0，且c a ＝1，－b a ＝－5
2，
∴b ＝52a ，c ＝a ，故ax 2－bx ＋c >0化为ax 2－5
2
ax ＋a >0，
由于a <0，得x 2－52x ＋1<0，解之得1
2<x <2.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2。