江西省赣州市2016-2017学年高二下学期期末考试数学文试题 含答案 精品

赣州市2016～2017学年度第二学期期末考试
高二数学(文科)试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}4,3,2,1,0,1M =----，{}
2=30N x R x x ?<，则M
N =( )
A ．{}3,2,1,0---
B ．{}2,1,0--
C ．{}3,2,1,---
D ．{}2,1,-- 2.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( ) A ．()1
2
f x x = B ．()3
f x x = C ．()3x
f x = D ．()1
2x
f x 骣琪=琪
桫
3.若,,a b c R Î，a b >，则下列不等式恒成立的是( ) A ．
11a b < B ．22a b > C ．a c b c > D ．2211
a b c c >++ 4.曲线C 的极坐标方程为6sin r q =化为直角坐标方程后为( )
A ．()2
239x y +-= B ．()2
239x y ++= C.()2
239x y ++= D ．()2
239x y -+=
5.设2log a =0.013b =，c =( ) A ．c a b << B ．a b c << C.a c b << D ．b a c <<
6.定义集合运算：(){}
,,A B
z z xy x y x A y
B ?=+挝，设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集
合A B Å的所有元素之和为( )
A ．0
B ．6 C.12 D ．18
7.已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()()()21lg 1g x f x x =--的定义域是( ) A ．[]0,1 B ．[)0,1 C.()0,1 D ．(]0,1 8.若函数()1f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．2 C.2或4- D ．4或2-
9.在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线
:20l y kx ++=与曲线:2cos C r q =相交，则k 的取值范围是( )
A ．k R Î
B ．34k ?
C.3
4
k <- D ．k R Î且0k ¹ 10.设函数()12
log f x x x a =+-，则“()1,5a Δ是“函数()f x 在()2,8上存在零点”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要
11.已知函数()()sin ,0,2f x x x p =?，点(),P x y 是函数()f x 图象上的任意一点，其中()0,0O ，()2,0A p ，记OAP △的面积为()g x ，则()'g x 的图象可能是( )
A ．
B ． C.
D ．
12.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ³时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x Î时，()1x f x e =-，则()()20162017f f +-=( )(其中
e 为自然对数的底)
A ．1e -
B ．1e - C.1e -- D ．1e +
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数()()()12
2,0log ,0x x f x x x ì£ï
=í>ïî，则()()
4f f = ．
14.在极坐标系中，O 是极点，设点1,6A p 骣琪琪桫，2,2
B p
骣琪琪
桫，则OAB △的面积是 ． 15.直线()0x a a =>分别与直线33y x =+，曲线2ln y x x =+交于,A B 两点，则AB 的最小值为 ．
16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相
互统一的和谐美，定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，下列有关说法中：
①圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数()sin 1f x x =+是圆()2
2:11O x y +-=的一个太极函数；
③存在圆O ，使得()1
1
x x e f x e +=-是圆O 的太极函数；
④直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()2
2
2210x y R R -+-=>的太极函数.
所有正确说法的序号是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数()x f x e ax b =-+.
(1)若()f x 在2x =有极小值21e -，求实数,a b 的值； (2)若()f x 在定义域R 内单调递增，求实数a 的取值范围.
18.已知函数()2,f x m x m R =--?，且()20f x +?的解集为[]1,1-. (1)求m 的值； (2)若,,a b c R Î，且
2
22149
m a b c
++=，求证：22236a b c ++?. 19.设命题p ：实数x 满足1x a ->(其中0a >)；命题q ：实数x 满足2
6
31x x --<.
(1)若命题p 中1a =，且p q Ù为真，求实数x 的取值范围； (2)若p Ø是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
20.在平面直角坐标系xOy
中，已知直线1:12
x l y t ì
ï=ïíï=ïî(t 为参数)与圆23cos :3sin x C y q q ì=+ïí
=ïî
(q
为参数)相交于,A B 两点. (1)求直线l 及圆C 的普通方程； (2)已知()1,0F ，求FA FB +的值.
21.已知函数()f x 为二次函数，满足()02f =，且()()12f x f x x +-=. (1)求函数()f x 的解析式； (2)若方程()
22x x f a =+在(],2x ?
?上有两个不同的解，求实数a 的取值范围.
22.已知函数()ln f x x =，()()23g x f x ax x =+-，函数()g x 的图象在点()()
1,1g 处的切线平行于x 轴. (1)求a 的值；
(2)求函数()g x 的极小值；
(3)设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，()12x x <，证明：21
11k x x <<.
赣州市2016～2017学年度第二学期期末考试
高二数学(文科)参考答案
一、选择题
1-5:DCDAA 6-10:DBDCC 11、12：AA
二、填空题
13.
1
4
4 16.②④
三、解答题
17.解：(1)()'x f x e a =-；
依题意得()()2'20
21f f e ì=ïíï=-î即222
021e a e a b e ì-=ïíï-+=-î， 解得21
a e
b ì=ïí=ïî，故所求的实数2a e =，1b =.
(2)由(1)得()'x f x e a =-，
因为()f x 在定义域R 内单调递增，所以()'0x f x e a =-?在R 上恒成立， 即2a e £，x R Î恒成立，因为x R Î，()0,x e ??，
所以0a £，所以实数a 的取值范围为(],0-?. 18.解：(1)因为()2f x m x +=-， 所以()20f x +?等价于x m £， 由x m £有0m >且其解集为[],m m -， 因为()20f x +?的解集为[]1,1-，所以1m =. (2)由(1)得
()222
149
1,,a b c R a b c ++=?， 由柯西不等式得：()
222222222149
a b c a b c a b c 骣琪++=++++琪桫
()
2
2
123
12336a b c a
b c 骣琪匙+??++=琪
桫.
(另解：()
222222222149
a b c a b c a b c 骣琪++=++++琪桫
()222222
222222499414914461236a b a c b c b a c a c
b 骣骣骣琪琪琪=+++++++?++=琪琪琪桫桫桫.
19.解：(1)当1a =时，{}
:20p x x x ><或.
{}:23q x x -<<.
又p q Ù为真，所以,p q 都为真， 由20
23
x x x ì><ïí-<<ïî或，得20x -<<或23x <<. (2):1p x a ->，所以1x a <-或()10x a a >+>， ():110p a a a ??>，
所以满足条件p Ø的解集(){}
110A x a x a a =-＃+>，{}:23q B x x =-<<. 因为p Ø是q 的必要不充分条件， 所以B A Ì，所以0
1312
a a a ì>ïï
+?íï-?ïî，得3a ³.
20.解：(1)直线l
的普通方程为10x --=， 圆C 的普通方程为()2
229x y -+=. (2)
将1:12
x l y t ì
ï=ïíï=ïî代入()229x y -+=，
得280t --=，
设方程(*)的两根设为12,t t
，则12t t +128t t =-， 所以
1212FA FB t t t t +=+=-21.解：(1)因为函数()f x 为二次函数，且()02f =，故设()22f x ax bx =++， 又()()12f x f x x +-=，
所以()()()()2
21112222f x f x a x b x ax bx ax a b x +-=++++---=++=，
所以22a =，0a b +=， 所以1a =，1b =-，
所以函数()f x 的解析式为()()22f x x x x R =-+?. (2)由(1)知：方程()22x x f a =+可化为()()2
2222
x x
x
a -+=+，
即()
()
2
2222x
x
a -?=，
令2x t =，因为(],2x ?
?，则(]0,4t Î.
因为方程()
22x x f a =+在(],2x ?
?上有两个不同的解，
所以方程222t t a -?=在区间(]0,4上有两个不同的正根. 即函数222y t t =-+和直线y a =在(]0,4t Î上有两个不同的交点， 所以12a <<.
22.解：(1)依题意得()2ln 3g x x ax x =+-，则()1
'23g x ax x
=
+-. 由函数()g x 的图象在点()()
1,1g 处的切线平行于x 轴得： ()'11230g a =+-=，所以1a =.
(2)由(1)得()()()2211231'x x x x g x x x
---+==，
因为函数()g x 的定义域为()0,+?
，令()'0g x =得1
2x =或1x =.
函数()g x 在10,2骣琪琪桫上单调递增，在1
,12骣琪琪桫
上单调递减，在()1,+?上单调递增，
故函数()g x 的极小值为()12g =-. (3)证法一：依题意得2121
2121
ln ln y y x x k x x x x --==--， 要证
2111k x x <<，即证212211
ln ln 11
x x x x x x -<<-， 因210x x ->，即证21221211
ln x x x x x
x x x --<<， 令
()211x t t x =>，即证()1
1ln 11t t t t
-<<->， 令()()ln 11k t t t t =-+>，则()1
'10k t t =-<，所以()k t 在()1,+?
上单调递减，
所以()()10k t k <=，即ln 10t t -+<，所以ln 1t t <-①
令()()1ln 11h t t t t =+->，则()22111
'0t h t t t t -=-=>.
所以()h t 在()1,+?
上单调递增，
所以()()10h t h >=，即()1
ln 11t t t
>->② 综①②得()1
1ln 11t t t t -<<->，即2111k x x <<.
证法二：依题意得2121
2
2112121
ln ln ln ln y y x x k x kx x kx x x x x --=
=?=---，
令()ln h x x kx =-，则()1
'h x k x
=-， 由()'0h x =得1x k =
，当1x k >时，()'0h x <，当1
0x k <<时，()'0h x >， 所以()h x 在10,k 骣琪琪桫单调递增，在1
,k 骣琪+?琪桫
单调递减，又()()12h x h x =， 所以121
x x k <<，即2111k x x <<.。