(全优试卷)湖北省荆州中学高三上学期第一次双周考数学(理)试题Word版含答案

荆州中学2018届高三数学双周练试卷(理科)
2017.9.14
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合()22
{,|1}416
x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集．．的个数是 A ． 4 B ．3 C ． 2 D ．1 2．设1
1z i i
=
++，则z =（ ）
A.
12 B. 2 C. 2
D. 2 3．下列选项中，说法正确的是 A.若0a b >>，则112
2
log log a b >
B. 向量(1,),(,21)a m b m m ==- ()m R ∈共线的充要条件是0m =
C. 命题“*
1
,3(2)2n
n n N n -∀∈>+⋅”的否定是“*1
,3(2)2
n n n N n -∀∈≥+⋅”
D.
已知函数()f x 在区间[,]a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(,)a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题 4. 已知实数,x y 满足()01x
y
a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）
A.
22
1111
x y >++ B. ()()22ln 1ln 1x y +>+ C. sin sin x y > D. 33
x y > 5．底面边长为1，侧棱长为3
6
2的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ) A.
32π3
B. 4π
C. 2π
D. 4π
3
6.函数3
()f x =
）
A ．
B ． C. D ．
7. 在ABC △中，4
π
=
B ，B
C 边上的高为1
3
BC ，则c o s =A （ ）
A.
10103 B. 1010 C. 1010- D.10
10
3-
8. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入
6102,2016a b ==时，输出的a =（ ）
A ．54
B ．9
C ．12
D ．18 9. 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的最小正周期是π，若其图象向右平移
6
π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 B ．关于直线12x π=对称
C ．关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．关于直线6x π=对称
10．定义在R 上的奇函数()f x 满足①)()(x f x f -=-，②)()2(x f x f =+，③]1,0[∈x 时
)1(log )(24
3+-=x x x f ，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）
A ． 2
B ． 4
C ．6
D ． 8
11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ,E 两点.已知
||AB =DE =C 的焦点到准线的距离为（ ）.
A. 2
B.4
C.6
D.8 12.
已知1
()sin cos (,)4
f x x x x R ωωω=->
∈，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是（ ） A. 3111119[,][,]812812
B. 1553(,][,]41284
C. 37711[,][,]812812
D. 13917
(,][,]44812
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．如图，一矩形靶OABC 由抛物线22y x x =-+分成Ⅰ区、 Ⅱ区、Ⅲ区三个区域，现随机向该靶射击一次（假定每次射击不会脱靶），则击中Ⅲ区的概率为
14．设平面点集}0)1
)((|),{(≥--=x
y x y y x A ，
}4|),{(22≤+=y x y x B ，则B A ⋂所表示的平面图形的面积
为 .
15. 已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为(,0)F c ，圆222:()M x a y c -+=，
双
曲线以椭圆C 的焦点为顶点，顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M 相切，则椭圆
C 的离心率为 .
16.已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧≤+>-=0,12
30,1)(x x x e x f x ，若n m <，且)()(n f m f =，则m n -的取值范围
是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）
设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()a b c a b c ac ++-+=
． （Ⅰ）求B ；
第13题图
（Ⅱ）若1
sin sin 4
A C =，求C ．
18.（本题满分12分）
如图，三棱柱111-ABC A B C 中，
1160CA CB AB AA BAA ==∠=，，. （Ⅰ）证明：1
AB AC ⊥； （Ⅱ）平面ABC ⊥平面11AAB B ，AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值.
19.（本题满分12分）
在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，15x <≤）：当13x <≤时满足关系式2
(3)1
b
y a x x =-+
-， （,a b 为常数）；当35x <≤时满足关系式70490y x =-+．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价
格为3元/千克时，每日可售出该特产150千克 （Ⅰ）求,a b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；
（Ⅱ）若该特产的成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润()f x 最大．（x 精确到0.01元/千克）
20. (本题满分12分)
点),(y x M 与定点)0,1(F 的距离和它到直线4:=x l 的距离的比是常数2
1
（Ⅰ）记点M 的轨迹为曲线C ，求C 的方程（写出详细的过程．．．．．．．
）； C 1
C
B
B 1
A 1
A
（Ⅱ）过点()0,1P 的动直线与C 交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得7OA OB PA PB λ⋅+⋅=-？请说明理由．
21．(本题满分12分)
已知函数()2
e 1x
f x ax bx =---，其中,a b ∈R ，e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数.
（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，讨论)(x g 在]1,0[上的单调性； （Ⅱ）设12ln 23)(+--=e x x x x h ，证明：当
2
21e
x <<时，0)(<x h ； （Ⅲ）若()10f =，函数()f x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围.
22.（本题满分10分）
已知函数)(11)1(log )(2
42R x x
mx
x x f ∈++-+=是偶函数 （Ⅰ）求常数m 的值，并写出函数)(x f 的单调区间（不要求证明．．．．．
）； （Ⅱ）若实数a 满足)2()2
(3log ->f f a
，求a 的取值范围.
高三双周练（1）数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） ABDDD ACDBC BC
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．
6
1
14．π3 15． 22 16． ]3123ln ,32(+
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（1）因为()()a b c a c c ac ++-+=，所以222
a c
b a
c +-=-.由余弦定理得
2221
cos 22
a c
b B a
c +-==-，因此120B =︒. ………………………6分
（2）由（1）知60A C +=︒，所以()cos cos cos A C A C -=+sin sin A C =
c o s c o s s i n s i n
2s i n A C A C A C
-+()1
1
c o s 2s i n s i n 22
4
2
A C A
C =++=
+
⨯=， 故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此15C =︒或45C =︒.………………………12分
18．（1）证明：如图（1）所示，取AB 的中点O ，连接OC ，1OA ，1A B .因为=CA CB ，
所以OC AB ⊥.由于1AB AA =，160BAA ∠=︒， 故1AA B △为等边三角形，所以1OA AB ⊥. 因为1OC
OA O =，所以1AB OAC ⊥平面.
又11AC OAC ⊥平面，故1AB AC ⊥.…………………5分
（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥，又
11ABC AA B B ⊥平面平面，交线为AB ， 所以11OC AA B B ⊥平面，故1,,OA OA OC 两两相互垂直
.
图 （2）
1
以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA 为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系Oxyz .由题设知(
)(
)(()11,0,0,,,1,0,0A A C B -，
则(=1,0BC
，(
)11BB AA ==-
，(1
0A C =-，
.
设(),,n x y z =是平面11BB C C 的法向量， 则
10,0,
BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
即
0,
0.
x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可
取
)
,
1,1,
=
-n 故11
1
10cos ,5
AC AC AC ⋅==-
n n n .
所以1A C 与平面11BB C C .…………………12分
19..（Ⅰ）解：（I ）因为x =2时，y =700；x =3时，y =150，所以
150
2
700
b
a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得400,300a b == 每日的销售量2
300400(3)(13)1
70490(35)
x x y x x x ⎧-+<≤⎪
=-⎨⎪-+<≤⎩ ； …………………4分
（II ）由（I ）知， 当13x <≤时：
每日销售利润2300
()[400(3)](1)1
f x x x x =-+
--2400(3)(1)300x x =--+
32400(7159)300x x x =-+-+（13x <≤）
'()f x =2400(31415)x x -+
当5
,3x =
或3x =时'()0f x = 当5(1,)3x ∈时'()0f x >，()f x 单增；当5
(,3)3
x ∈时'()0f x <，()f x 单减．
∴53x =
是函数()f x 在(1,3]上的唯一极大值点，532()400300327
f =⨯+700>；
…………………9分
当35x <≤时：
每日销售利润()(70490)(1)f x x x =-+-=2
70(87)x x --+
()f x 在4x =有最大值，且(4)630f =5
()3
f <．
综上，销售价格5
1.673
x =≈元/千克时，每日利润最大． …………………12分
20.（1）推导过程略
点M 的轨迹方程为22
143
x y +=．
· ………………5分
（2）当过点P 的直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，设A B 、两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，
联立得22
143
1x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，化简()2234880k x kx ++-=， 所以()12
2122843
8430k x x k x x k ⎧
+=-⎪+⎪
⎪
=-⎨+⎪
⎪∆⎪⎩
恒成立≥，
…………………6分
所以12121212[(1)(1)]OA OB PA PB x x y y x x y y λλ⋅+⋅=＋＋＋－－
()()()21212111k x x k x x λ=+++++
22228(1)(1)814343
k k k k λ=--+++＋＋
()()
22224443243143
k k k λλ-+-+-+=
++
2
24
2343
k λλ-+=
--+， 所以当2λ=时，7OA OB PA PB λ⋅+⋅=-； …………………10分 当过点P 的直线AB 的斜率不存在时，直线即与y
轴重合，此时(
(0,A B ，，
所以31)(1)]32OA OB PA PB λλλ⋅+⋅=-=--＋， 所以当2λ=时，7OA OB PA PB λ⋅+⋅=-；
综上所述，当2λ=时，7OA OB PA PB λ⋅+⋅=-． …………………12分
21.（Ⅰ）由()2e 1x f x ax bx =---，有()()e 2x g x f x ax b '==--. 所以()e 2x g x a '=-.
当21
≤
a 时，0)('>x g ，所以()g x 在[]0,1上单调递增. 当2e
a ≥时，0)('≤x g ，所以()g x 在[]0,1上单调递减.
当1e
22
a <<时，令()0g x '==，得()()ln 20,1x a =∈.所以函数()g x 在区间()0,ln 2a ⎡⎤⎣⎦上单调递减，在区间()(
ln 2,1a ⎤⎦上单调递增. …………………4分 （Ⅱ）12ln 23)(+--=e x x x x h ，)2ln(21)('x x h -= 令0)2ln(21)('=-=x x h 得
2
e
x =
)(x h 在)2,21(e 上递增，)2,2(e e 上递减 所以01)(max <+-=e e x h 所以当
1e
22
a <<时，0)(<x h …………………7分 （Ⅲ）设0x 为()f x 在区间()0,1内的一个零点，则由()()000f f x ==可知，()f x 在区间()00,x 上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负.故()g x 在区间()00,x 内存在零点1x .同理()g x 在
()0,1x 区间内存在零点2x .所以()g x 在区间()0,1内至少有两个零点.
由（I ）知，当2
1
≤
a 时，()g x 在[]0,1上单调递增，故()g x 在()0,1内至多有一个零点. 当2e a ≥时，()g x 在[]0,1上单调递减，故()g x 在()0,1内至多有一个零点.所以1e 22
a <<.
此时()g x 在区间()0,ln 2a ⎡⎤⎣⎦上单调递减，在区间()(
ln 2,1a ⎤
⎦上单调递增. 因此()(10,ln 2x a ∈⎤⎦，()()
2ln 2,1x a ∈，必有()010g b =->，()1e 20g a b =-->. 由()10f =，有e 12a b +=-<，有()01e 20g b a =-=-+>，
()1e 210g a b a =--=->.解得e 21a -<<.
又由第（2）问当
1e
22a <<，
012ln 23))2(ln(<+--=e a a a a g 由此可知()f x 在[]10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在[]2,1x 上单调递增. 所以()()100f x f >=，()()210f x f <=，故()f x 在()12,x x 内有零点. 综上可知，a 的取值范围是()e 2,1-
. (12)
分
22.（Ⅰ） )(x f 是偶函数，)()(x f x f -=-∴
2
4
2
24211)1(log 11)1(log x mx x x mx x ++-+=+--
+∴ 0,0=∴=∴m mx …………3分 2
4211
)1(log )(x
x x f +-+=∴ )(x f 单调递增区间为),0[+∞，递减区间为]0,(-∞ …………………5分
（Ⅱ） 由 题意223log >a
，即2
1
log 3>
a ，解得 3>a ………………10分。