2023-2024学年北京一零一中学高三上学期统考一数学试卷含详解

北京一零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合{}
11A x x =-≤≤，
{
}31
x B x =<，则A B ⋃=（
）
A.
[)1,0﹣
B.
()
,0∞- C.
[]1,1- D.
(]
,1-∞2.在复平面内，复数23i
i
+对应的点位于（）
A .
第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知等比数列{}n a 的首项和公比相等，那么数列{}n a 中与37a a 一定相等的项是（）
A.5
a B.7
a C.9
a D.10
a 4.下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（）
A.2()||f x x x =-
B.2
1()f x x =
C.||
()e x f x = D.()|ln |
f x x =5.函数2ln x
y x x
=+
的图象大致为
A. B. C. D.
6.平面向量a 与b 的夹角为60︒
，(2,0)a = ，||1b = ，则2a b + 等于（
）A.
B. C.4
D.12
7.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（）
A.22
a b > B.33
a b > C.22a b
> D.22
ac bc >8.△ABC 中，若sin cos A B <，则△ABC 形状必为A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案均有可能
9.如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点．则当012t ≤≤时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（
）
A.π0,2
⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
B.7π11π88,⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C.11π15π,88⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D.3π11π,44⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
10.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T
n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为
T .已知数列{}n a 满足()10a m m =>，11,1
1,01n n n n n
a a a a a +->⎧⎪
=⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误的是（
）
A.若34a =，则m 可以取3个不同的值；
B.若2m ={}n a 是周期为3的数列；
C.对于任意的*T
N ∈且T ≥2，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列
D.存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.计算：24
3lg6lg
(4)5
--=___________.12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，若()()12f a f a ->-，则实数a 的取值范围是___________.
13.若函数()πsin 0,2y x ωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则ω=___________，ϕ=
___________.14.若2
4AB AC AB ⋅== ，且1AP = ，则CP AB ⋅ 的最大值为___________.
15.已知函数()2
22f x x x t =-+，()e x
g x t =-.给出下列四个结论：
①当0=t 时，函数()()y f x g x =有最小值；
②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[
)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；
④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是___________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16.已知公差大于0的等差数列{}n a 满足2512a a +=，3435a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若m S ，2a ，(),*i a m i ∈N 成等比数列，求m ，i 的值.
17.已知ABC 的面积为
再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，
1cos 3
=-C ；条件②：A C =，7
cos 9
B =-.（1）b 和c 的值.（2）sin()A B -的值.
18.已知函数322()2f x x ax a x =-+，R a ∈.
（1）当2a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最大值和最小值；（2）求()f x 的单调区间．19.
已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
.（1）求()f x 的单调递减区间；
（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭.当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，求m 的最大值.20.
已知函数()()e sin 1R x
f x a x a =+-∈，
（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =时取得极小值，求a 的值；
（3）若存在实数m ，使对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围.
21.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；
（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；
（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.
北京一零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合{}
11A x x =-≤≤，
{
}31
x B x =<，则A B ⋃=（
）
A.
[)1,0﹣
B.
(),0∞- C.
[]1,1- D.
(]
,1-∞【答案】D
【分析】解指数不等式求出{}
0B x x =<，从而求出并集.【详解】因为0313x <=，解得0x <，故{}
0B x x =<，故{}{}{}
0111A B x x x x x x ⋃=<⋃-≤≤=≤.故选：D
2.在复平面内，复数23i
i
+对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D
【分析】先化简原式，然后根据实部虚部确定复数所在象限.【详解】
2332i
i i
+=-，∴在复平面内对应的点的坐标为()3,2-，位于第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查复数与复平面的关系，属于基础题.
3.已知等比数列{}n a 的首项和公比相等，那么数列{}n a 中与37a a 一定相等的项是（）
A.5a
B.7
a C.9
a D.10
a 【答案】D
【分析】设出公比，利用等比数列的性质进行求解.【详解】设公比为q ，则1a q =，
由等比数列的性质可知3719910a a a a a q a ===.
故选：D
4.下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（）
A.2()||f x x x =-
B.2
1()f x x =
C.||
()e x f x = D.()|ln |
f x x =【答案】B
【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.
【详解】对于A ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()2
2()()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 是偶函数且在
(0,)+∞上不是单调递减，不符合题意；故A 错误；
对于B ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()
2
2
1
1
()()f f x x x x -=
=-=
，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递减，符合题意；故B 正确；
对于C ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()e e ()x x
f x f x --===，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递增；
不符合题意；故C 错误；
对于D ，()|ln |f x x =的定义域为(0,)+∞，不是偶函数，不符合题意；故D 错误；故选：B.5.函数2ln x
y x x
=+
的图象大致为
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】当=1x -时，排除A ；当1
=x e 时，排除D,从而可得结果.【详解】当=1x -时，函数2ln 1x
y x x
=+
=，所以选项A B 不正确；
当1
=x e 时，函数2
2ln 10x y x e x e ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭
，
所以选项D 不正确，故选C.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6.平面向量a 与b 的夹角为60︒
，(2,0)a = ，||1b = ，则2a b + 等于（
）A.
B. C.4
D.12
【答案】B
【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.【详解】因为(2,0)a
=
，所以||2a =
，
2a b +
=
=
==故选：B
7.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（）
A.22a b >
B.33
a b > C.22a b
> D.22
ac bc >【答案】D
【分析】根据充分条件、必要条件的定义和不等式的性质判断即可.
【详解】因为由a b >推不出22a b >，由22a b >也推不出a b >，故A 不满足题意因为33a b a b >⇔>，22a b a b >⇔>，所以B 、C 不满足题意因为由22ac bc >可以推出a b >，由a b >推不出22ac bc >所以22ac bc >是a b >的充分不必要条件故选：D
8.△ABC 中，若sin cos A B <，则△ABC 形状必为A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案均有可能
【答案】C
【分析】由已知结合诱导公式及三角函数的单调性，可得A+B 的范围，进而可以得解.【详解】∵sin A ＜cos B ，∴sin A ＜sin 2B π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
∵0＜A ＜2π，2π-<2B π-<2π∴0＜A ＜2B
π-
∴0＜A+B ＜2π∴C ＞2
π
∴△ABC 为钝角三角形故选C ．
9.如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点．则当012t ≤≤时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（
）
A.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.7π11π88,⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C.11π15π,88⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D.3π11π,44⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【答案】B
【分析】根据题意求出y 关于t （单位：s ）的函数πsin 24y t ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，然后结合正弦函数的单调性求解函数在[0,12]上的增区间.
【详解】因为P 在单位圆上的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点，所以1A =，π2,4
ωϕ==-
，所以动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数πsin 24y t ⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭
，由πππ2π22π,Z 242k t k k -
+≤-≤+∈，得π3πππ,Z 88
k t k k -+≤≤+∈，因为012t ≤≤，所以3π08t ≤≤
，7π11π88t ≤≤，15π
19π88t ≤≤，23π27π88
t ≤≤.所以动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是3π0,
8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣
⎦，15π19π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦，23π27π88,⎡⎤
⎢⎣⎦.故选：B
10.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T
n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为
T .已知数列{}n a 满足()10a m m =>，11,11,01n n n n n
a a a a a +->⎧⎪
=⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误的是（
）
A.若34a =，则m 可以取3个不同的值；
B.
若m ={}n a 是周期为3的数列；C.对于任意的*T
N ∈且T ≥2，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列
D.存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列【答案】D
【分析】A.若34a =，根据11,11,01n n n n n
a a a a a +->⎧⎪
=⎨<<⎪⎩，分别对21,a a 讨论求解即可；B.
若m =11,11,01n n n n n a a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，分别求得234,,,...a a a 即可判断；C.利用数列周期的定义运算可得；D.用反证法判断.
【详解】A.若34a =，因为11,11,01n n n n n
a a a a a +->⎧⎪
=⎨<<⎪⎩，
当21a >时，2314a a -==，解得25a =，当11a >时，1215a a -==，解得16a =，当101a <<时，21
1
5a a ==，解得115
a =
，当201a <<时，
3214a a ==，解得214
a =，当11a >时，12114a a -==，解得154a =，当101a <<时，21114a a ==，解得14a =，不合题意，故m 可以取3个不同的值，故正确；B.
若m =
213432
1
11,1,1a a a a a a =-=-==+=-=，所以3n n a a +=，则数列{}n a 是周期为3的数列，故正确；
C.N T *∀∈且2T ≥，若存在1m >，数列{}n a 周期为T ，
不妨设1T m T -<<，则1a m =，21a m =-…()121,2T m T a -=-+∈，()10,1T m T a =-+∈，则1111
T T a m T a +=
=-+，又11T m a a +==，
所以
1
1
m m T =-+，即()2110m T m ---=，
因为0m >，故解得
m =
，
11
12
T T T -+->
=
-，
11
2
T T T -++<
=，
故N T *
∀∈且2T
≥，存在m =
，使得数列{}n
a 周期为T ，故正确；
D.假设存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列，当2m =时，2132
1
11,1...(2)n a a a a n a =-=====≥，此时，数列{}n a 不是周期数列，
当m>2时，当01m k <-≤时，11k a a k m k +=-=-，21111k k a a m k
++=
=>-，若2k i a a +=，11i k ≤≤+，则()1
1m i m k
=---，即2(1)10m m k i ki k -+-+--=，而()2(1)41k i ki k ∆=+----不为平方数，因此假设不正确，故数列{}n a 不是周期数列，故错误.故选：D
【点睛】本题主要考查数列的周期性，还考查了分类讨论的思想和逻辑推理的能力，属于难题.
二､填空题共5小题，每小题5分，共25
分.
11.计算：3lg6lg 5
-=___________.【答案】1
-【分析】根据对数运算法则以及指数幂的运算化简即可求得结果.
【详解】()
1
1
4
44
3lg6lg lg 6lg101612
121535--=⨯-=-=-=-⎛⎫⎪⎝⎭
=- .
故答案为：1
-12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，若()()12f a f a ->-，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
【分析】根据函数的奇偶性和单调性，即可列出不等关系求解.
【详解】由于()f x 在(],0-∞上是减函数，且()f x 为偶函数，所以()f x 在[)0,∞+上是增函数，若()()12f a f a ->-，则12a a ->-，平方可得222144a a a a -+>-+，解得32a >
，故答案为：3,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
13.若函数()πsin 0,2y x ωϕωϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则ω=___________，ϕ=___________.
【答案】①.4
②.π3
-
【分析】由三角函数图象性质可知5ππ1
1262T -=，可求得4ω=，再利用图象的对称性可计算出ϕ的取值.【详解】由图利用对称性可知，
5ππ112ππ12622T ωω
-==⨯=，解得4ω=；又0π,6y ⎛⎫ ⎪⎝⎭和0π,2y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭关于π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，所以πsin 03ωϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭
；
即
4ππ,Z 3k k ϕ+=∈，解得4π
π,Z 3
k k ϕ=-∈；又π2
ϕ<，所以1k =，π
3ϕ=-符合题意.
故答案为：4，π
3
-
14.若2
4AB AC AB ⋅== ，且1AP = ，则CP AB ⋅ 的最大值为___________.
【答案】2
-【分析】将CP
分解计算，利用向量数量积的运算即可得解.
【详解】()CP AB CA AP AB ⋅=+⋅ CA AB AP AB =⋅+⋅
4AP AB =-+⋅ cos 4
AP AB BAP =⋅⋅∠-
12cos 4BAP =⨯⨯∠-242≤-=-.
故答案为：2-.
15.已知函数()2
22f x x x t =-+，()e x
g x t =-.给出下列四个结论：
①当0=t 时，函数()()y f x g x =有最小值；
②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[
)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；
④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.
其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①②④
【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取
1t =-，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误.
【详解】对于①，当0=t 时，()()()
2
2e x
y f x g x x x ==-，则()
2
2e x
y x '=-，
由0'<y
可得x <<，由0y >'
可得x <
或x >，
此时，函数(
)
2
2e x
y x x =-
的增区间为(,-∞
、
)+∞
，减区间为(，
当0x <或2x >时，(
)
2
2e 0x
y x x =->，当02x <<时，(
)
2
2e 0x
y x x =-<，
故函数(
)
2
2e x
y x x =-
在x =处取得最小值，①对；
对于②，()()()()()
2
2
22e 22e 2e 2e 1x
x
x
x
y x t x x t x t x '=--+-+=-+-+，
令()e 1x
h x x =-+，其中1x ≥，则()e 10x
h x '=->，
所以，函数()h x 在[
)1,+∞上单调递增，所以，()()e 11e 0x h x x h =-+≥=>，
则e 1e 0x x -≤-<，
由()()2
2e 2e 10x
x
y x t x '=-+-+≥可得()22e
2e 1
x
x
x t x -≥
-+，
构造函数()
()22e e 1
x
x
x p x x -=
-+，其中1x ≥，
则()()()()
23
224e 42e 442e e e 1e 1x x x
x
x x x x x x x x p x x x ⎛⎫-+- ⎪-+-⎝⎭'==-+-+，
令()2
442e x q x x x =-+
-，其中1x ≥，则()()24
2e 0x q x x x
'=--<，所以，函数()q x 在[
)1,+∞上单调递减，
故当1x ≥时，()()112e 0q x q ≤=-<，则()0p x '
<，即()p x 在[
)1,+∞上单调递减，
()()max 11p x p ∴==，则21≥t ，解得1
2
t ≥
，②对；对于③，()()2
2e x
y f x g x x x t =+=-++，22e x y x '=-+，因为函数22e x y x '=-+在R 上单调递增，
10x y ==-'
< ，1
e 0x y ='
=>，所以，存在()00,1x ∈，使得0y '=，
当0x x <时，0'<y ，此时函数22e x y x x t =-++单调递减，当0x x >时，0y >' ，此时函数22e x y x x t =-++单调递增，所以，对任意的实数t ，函数22e x y x x t =-++有最小值，③错；
对于④，令()2
2e x
u x x x t =-++，不妨令()010u t =+=，即取1t =-，
由③可知，函数()2
2e 1x
u x x x =-+-在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，
因为()00,1x ∈，则()()000u x u <=，()2
2e 10u =->，
所以，存在()10,2x x ∈，使得()10u x =，此时函数()u x 的零点之和为1102x x +=<，④对.故答案为：①②④.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16.已知公差大于0的等差数列{}n a 满足2512a a +=，3435a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若m S ，2a ，(),*i a m i ∈N 成等比数列，求m ，i 的值.【答案】（1）21,(N )n a n n *
=-∈;
（2）15m i =⎧⎨=⎩或31m i =⎧⎨=⎩
.
【分析】（1）由等差数列的性质和通项公式即可求解；（2）由等比中项的性质即可求解.【小问1详解】
因为2512a a +=，所以3412a a +=，
而3435a a =，所以3457a a =⎧⎨=⎩或34
75a a =⎧⎨=⎩，
又因为公差大于0，所以345
7
a a =⎧⎨
=⎩，得2d =，
所以3(3)21n a a n d n =+-=-.即21,(N )
n a n n *
=-∈【小问2详解】
21((121)
22
)n n n a a n n S n ++-=
==，所以2
m S m =，23a =，
若m S ，2a ，i a 成等比数列，则有2
2m i S a a =⨯，
即2
9i m a ⨯=，又因为,*m i ∈N ，且*i a ∈N ，
所以219i m a ⎧=⎨=⎩或291i m a ⎧=⎨=⎩，
解得15m i =⎧⎨=⎩或31m i =⎧⎨=⎩
.
17.已知ABC
的面积为再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，
1cos 3
=-C ；条件②：A C =，7
cos 9
B =-.（1）b 和c 的值.（2）sin()A B -的值.
【答案】（1）若选①：2b =，c =8b =，c =；（2）若选①：
42
9
；若选②：2327-.
【分析】若选择条件①：
(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，利用三角形的面积公式可求a ，b 的值，进而根据余弦定理可求c 的值．
(2)由正弦定理可求sin A ，sin B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，cos B 的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．若选择条件②：
(1)由题意可得a c =，利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用三角形的面积公式可求a ，c 的值，根据余弦定理可求b 的值．
(2)由正弦定理可求sin A ，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，利用两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．
【小问1详解】若选择条件①：
在ABC 中，∵1cos 3
=-C ，
∴(,)2
C ππ∈，sin C =，
∵1
sin 2
S ab C =
=6a =，∴2b =，由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=，
∴c =；若选择条件②：
在ABC 中，∵A C =，∴a c =．
∵7cos 9B =-
，∴(,)2B ππ∈，42
sin 9
B ==，
∵21142
sin 229
S ac B c ==⨯=，
∴a c ==，
由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，∴8b =；【小问2详解】
若选择条件①：
由正弦定理sin sin sin a b c A B C
==，可得62sin sin A B =，
∴sin 3
A =
，6sin 9B =，
∵,(0,
2A B π∈，∴3
cos 3
A =，cos
B =，
∴sin()sin cos cos sin 39399
A B A B A B -=-=⨯⨯.若选择条件②：由正弦定理得
sin sin a b
A B
=，
∴1
sin sin 3
a A B
b ==，
∵(0,
2A π∈，∴cos 3
A ==，
∴1723
sin()sin cos cos sin ()3927
A B A B A B -=-=⨯---
．18.已知函数322()2f x x ax a x =-+，R a ∈.
（1）当2a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最大值和最小值；（2）求()f x 的单调区间．
【答案】（1）最大值为3，最小值为0（2）答案见解析.
【分析】(1)对函数求导，判断函数的单调性，根据单调性求函数的最值；(2)对函数求导，求出导函数的零点为12,3
a
x x a ==，对两根的大小进行分类讨论，根据导函数的值的符号，得到函数的单调区间.【小问1详解】
解：（1）当2a =时，32()44f x x x x =-+，2()384
f x x x '=-+()(32)(2)f x x x '=--，令()0f x '=得，2
3
x =
或2x =.当x 在区间[1,3]上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表
x
(1，2)2(2，3)()
f x '-
+
()
f x 单调递减0单调递增
因为(1)1,(3)3f f ==，所以()f x 在区间[1,3]上的最大值为3，最小值为0.【小问2详解】
（2）22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=得，3
a
x =
或x a =，当0a =时，2()30f x x '=≥，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间；当0a >时，
3
a
a <，随着x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表x
(,)
3
a -∞3
a (,)3
a a a (,)
a +∞()
f x '+
-
+
()
f x 单调递增
3427a 单调递减0单调递增
所以()f x 的单调递增区间为(,3
a -∞，(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(,)3
a a .当a<0时，
3
a
a >，随着x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表x
(,)
a -∞a (,)3
a a )
3
a (,)3
a
+∞()
f x '+
-
+
()
f x 单调递增0单调递减
3427
a 单调递增
所以()f x 的单调递增区间为(-∞，a )，(
3a ，+∞)；()f x 的单调递减区间为(a ，3a ).综上所述：当0a =时，所以()f x 的()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间.当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,)3
a -∞，(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(,)3
a a .当a<0时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(,)3a +∞；()f x 的单调递减区间为(,3
a a .
19.已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
.（1）求()f x 的单调递减区间；
（2）设π()()6g x f x f x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
.当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，求m 的最大值.【答案】（1）42,2()33k k k Z ππππ⎡
⎤+
+∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）56π.
【分析】（1）令322262
πππ
kπx kπ+
≤+≤+，()k Z ∈，解不等式即可求解；
（2）先求出并化简()2sin 23g x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
()g x 的值域可得出3sin 2,132π⎡⎤⎛
⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦x ，结合正弦函数的图象可知42233m πππ≤-≤，即可求出m 的最大值.
【详解】（1）令322262
πππ
kπx kπ+
≤+≤+，Z k ∈.所以42233
ππ
kπx kπ+≤≤+，()k Z ∈.
所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡
⎤+
+∈⎢⎥⎣
⎦
.（2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛
⎫⎛
⎫=-
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
1
4sin cos sin 22x x x
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
22cos sin x x x
=+
cos2)sin 2x x
=-+
2sin 2
3x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭因为0x m ≤≤，所以22333
x m πππ-
≤-≤-.
因为()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，
所以sin 23x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为3,12⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
所以
42233m πππ≤-≤.解得：55126
m ππ≤≤.所以m 的最大值为
56
π
.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要熟记正弦函数的图象，灵活运用三角恒等变换将()g x 化为一名一角，能结合正弦函数的图象得出
42233
m πππ≤-≤.20.已知函数()()e sin 1R x
f x a x a =+-∈，（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =时取得极小值，求a 的值；
（3）若存在实数m ，使对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）(1)y a x =+（2）1a =-（3）(,1)
-∞-【分析】（1）由导数的几何意义，即可求解；
（2）由(0)0f '=求得a 值，并验证此时0x =是极小值点；
（3）求出导函数()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，然后根据(0)f '的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出()f x '在(0,)m （存在正实数m ）上()f x '与(0)f '同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．【小问1详解】
()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，又(0)0f =，
∴切线方程为(1)y a x =+；【小问2详解】
由（1）()e cos x f x a x '=+，函数()f x 在0x =处取得极小值，则(0)0f '=，即10a +=，1a =-，
设()()e cos x g x f x x '==-，则()e sin x g x x '=+，(0)1g '=，由()g x '的图象的连续性知()g x '在0x =附近是正值，
因此()f x '在0x =附近是递增的，又(0)0f '=，
所以()f x '在0x =附近从左到右，由负变正，()f x 在0x =左侧递减，在0x =右侧递增，(0)f 是极小值，符合题意；所以1a =-．【小问3详解】
()e cos x f x a x '=+，(0)0f =，
当(0)10f a '=+>，即1a >-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '>，对应()f x 递增，因此()(0)0f x f >=，不合题意，
当(0)10f a '=+<，即1a <-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '<，对应()f x 递减，因此()(0)0f x f <=，满足题意，
1a =-时，()e cos x f x x '=-，0x >时，e 1x >，cos 1≤x ，()e cos 0x f x x '=->恒成立，
()e sin 1x f x x =--在(0,)+∞上递增，()(0)0f x f >=，不合题意，
综上，a 的取值范围是(,1)-∞-．
21.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；
（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；
（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.【答案】（1）{1,3,5}（2）证明见解析
（3）不存在，理由见解析
【分析】（1）根据定义知0n a ≥，讨论32a >、32a <及34,a a 大小求所有4a 可能值；
（2）由0n a ≥，假设存在*
0N n ∈使0n n a a ≤，进而有000012max{,}n n n n a a a a ++≤≤，可得0012min{,}0n n a a ++=，
即可证结论；
（3）由题设1n n a a +≠(2,3,)n =，令1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅求证n a M >即可判断存在性.
【小问1详解】
由{}{}1212max ,min ,0n n n n n a a a a a ++++=-≥，133max{2,}min{2,}1a a a =-=，若32a >，则321a -=，即33a =，此时244max{3,}min{3,}2a a a =-=，当43a >，则432a -=，即45a =；
当43a <，则432a -=，即41a =；
若32a <，则321a -=，即31a =，此时244max{1,}min{1,}2a a a =-=，当41a >，则412a -=，即43a =；
当41a <，则412a -=，即41a =-（舍）；
综上，4a 的所有可能值为{1,3,5}.
【小问2详解】
由（1）知：0n a ≥，则{}12min ,0n n a a ++≥，
数列{}n a 中的项存在最大值，故存在*0N n ∈使0n n a a ≤，(1,2,3,)n = ，
由00000000121212max{,}min{,}max{,}n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-≤≤，所以0012min{,}0n n a a ++=，故存在00{1,2}k n n ∈++使0k a =，所以0为数列{}n a 中的项；
【小问3详解】
不存在，理由如下：由0(1,2,3,)n a n >= ，则1n n a a +≠(2,3,)n =，设1{|,1}n n S n a a n +=>≥，
若S =∅，则12a a ≤，1i i a a +<(2,3,)i = ，
对任意0M >，取11
[]2M n a =+（[]x 表示不超过x 的最大整数），当1n n >时，112322()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23121...(1)n n a a a a n a M --=++++≥->；
若S ≠∅，则S 为有限集，
设1max{|,1}n n m n a a n +=>≥，1m i m i a a +++<(1,2,3,)i = ，对任意0M >，取21
[]1m M n m a +=++（[]x 表示不超过x 的最大整数），
当2n n >时，112211()()...()n n n n n m m m a a a a a a a a ---+++=-+-++-+2311...()n n m m m a a a a n m a M --++=++++≥->；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤.
【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定1n n a a +≠(2,3,)n =，并构造集合1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.。