人教A版数学必修一2.2.1对数与对数运算第2课时对数的运算.pptx

(1) loga c logc a (2) log2 3 log3 4 log4 5 log5 2
(3)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)
解:
(1) loga c logc a
lg c lg a 1; lg a lg c
(2) log2 3 log3 4 log4 5 log5 2
2 3
lg 2 lg 32 )
( lg 3 lg 3 )(lg 2 lg 2 ) 2lg 2 3lg 2 lg 3 2lg 3
5lg 3 3lg 2 5 . 6lg 2 2lg 3 4
思考 aloga N ?
令b loga N，则ab N.
则aloga N ab N.
aloga N N
解：(1) log2 3 log3 4 log4 5 log5 6 log6 7 log7 8
lg 3 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7 lg8 lg 2 lg 3 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7
lg8 lg 23 3lg 2 3
lg 2 lg 2 lg 2
(2)
从而得出 loga (M N ) loga M loga N (a 0,且a 1, M 0, N 0)
思考2：结合前面的推导，由指数式
M N
ap aq
a pq
又能得到什么样的结论？
试一试:由
M N
ap aq
a pq
得
loga
M N
p q loga M
loga
N
(a 0,且a 1, M 0, N 0)
M lg A lg A0
其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震” 的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际 震中的距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中,一个距离震中100千 米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准 地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确 到0.1）；
思考1：
将指数式 M a p , N aq 化为对数式，
结合指数的运算性质能否将 M N a p aq a pq
化为对数式？
它们之间 有何关系？
试一试:由 M a p , N aq
得 p loga M ,q loga N
由 M N a p aq a pq
得 p q loga (M N )
logb
a
loga
b
lg lg
a b
lg b lg a
1
1.对数的运算法则； 2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则； 3.对数运算法则的应用； 4.换底公式的证明及应用.
积、商、幂的对数运算法则：
如果a>0，且a1，M>0，N>0,那么：
loga (MN ) loga M loga N
loga
解：设生物死亡时，每克组织中的碳14的含量为1， 1年后的残留量为x，所以生物体的死亡年数t与其 体内每克组织的碳14含量P有如下关系：
死亡年数t 1 2 3 … t … 碳14含量P x x2 x3 … xt …
因此，生物死亡t年后体内碳14的含量 P xt
又由题意有 1 x5 730 2
于是x 5
398倍。
可以看到，虽然7.6 级地震和5级地震仅相差2.6级，但
7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所
以,7.6 级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.
例5.生物机体内碳14的“半衰期”为5 730年. 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量 约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的 年代.
logc N logc a
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; N>0)
证明：设 loga N p
由对数的定义可得：N a p ,
logc N logc a p logc N p logc a,
p logc N logc a
即证得
loga
N
logc N logc a
这个公式叫做换底公式
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多 少倍（精确到1）.
解:(1) M lg 20 lg 0.001 lg 20 lg 20 000
0.001 lg 2 lg104 4.3
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.
（2）由 M lg A lg A0 可得
am an
amn(m,n R)
(am )n amn(m, n R)
(ab)n an bn (n R)
loga M + loga N = ?
1.理解对数的运算性质；（重点） 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数.（难点） 3.了解对数在简化运算中的作用.
探究：对数的运算性质
【变式练习】
用 lg x,lg y,lg z 表示下列各式:
(1) lg(xyz); xy3
(3) lg ; z
xy 2 (2) lg ;
z x (4) lg y2 z .
解：(1) lg(xyz) lg x lg( yz) lg x lg y lg z
(2) lg xy2 lg(xy2 ) lg z lg x 2lg y lg z
lg
10
1
lg10 2
1 lg10 2
1 2
(2) log3
45
log3
5
log3
45 5
log3 9 log3 32
2log3 3 2
4.利用换底公式，计算下列各式的值； （1）log2 3 log3 4 log4 5 log5 6 log6 7 log7 8, （2）logb a loga b;
（1）lg(xy2 z3 )=
（2）lg
x yz2
=
lg x 2lg y 3lg z .
1 lg x lg y 2lg z 2
.
2.log2 32
log2
3 4
log2 6=
8
.
3.不用计算器，求下列各式的值； （1）lg 2 lg 5;(2) log3 45 log3 5
解：(1)lg 2 lg 5 lg( 2 5)
解：(1) log2 (47 25 ) log2 47 log2 25
7 log2 4 5log2 2 7 2 51 19
2
（2） lg 5 100 lg105
2
5
【提升总结】 对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是: (1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商) 的对数. (2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).
lg 3 lg 4 lg 5 lg 2 1; lg 2 lg 3 lg 4 lg 5
(3)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)
( lg 3 lg 4
lg 3)(lg 2 lg8 lg 3
lg 2) lg 9
(
lg 3 lg 22
lg 3 lg 23
)(
lg lg
结论：对数的运算性质
loga (M N ) loga M loga N
loga
M N
loga M
loga
N
loga M n n loga M
loga
N
logc N logc a
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1;
M 0, N 0, n R)
例1.用loga x, loga y, loga z表示下列各式
【变式练习】
1.求下列各式的值：
（1）log2
6 log2 3
log2
6 3
log2
2
1
（2）lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
（3）log5
3
log5
1 3
log5
(3
1) 3
log5
1
0
（4）log3
5
log3 15
log3
5 15
log3
31
1
2.利用对数的换底公式化简下列各式
思考3：结合前面的推导，由指数式 M n (a p )n anp
又能得到什么样的结论？
试一试:由 M n (a p )n anp
得 loga M n np n loga M
(a 0,且a 1, M 0, n R)
思考4：结合对数的定义，你能推导出对数的 换底公式吗?
loga
N
730
1
（
1
）5
1 730
22
这样生物死亡t年后体内碳14的含量P
（ 1 ）5
t 730
2
即对数形式为t log P 而P 0.767 5 730 1 2
t log 0.767 1 5 730 2
由计算器可得t≈2 193.
所以，马王堆古墓是近2 200年前的遗址.
1.用lg x,lg y,lg z表示下列各式；
1 loga
xy z
;
x2 y (2) loga 3 z
解 : 1loga
xy z
loga
xy
loga
z
loga
x
loga
y
loga
z
2loga
x2
3
y z
loga
x2
y loga 3 z
loga x2 loga y loga 3 z
2 log a
x
1 2
loga
y
1 3
log
a
z
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第2课时 对数的运算
上一节中我们学习了： 1.指数和对数的关系
幂 指数
真数 对数
ab N loga N b
底
底
2.对数的性质：
（1）a loga N N
（2）负数和零没有对数 （3）loga 1 0
（4）loga a 1
已知指数运算法则 ：
am an amn(m,n R)
M N
loga M
loga N
loga M n n loga M（n R)
loga
N
logc N logc a
(c>0,且c≠希望每天能够 前进一步。
z
(3) lg xy3 lg(xy3) lg z lg x 3lg y 1 lg z
z
2
x (4) lg y2 z lg
x lg( y2z) 1 lg x 2lg y lg z 2
点评：牢记对数的运算法则，直接利用公式.
例2 求下列各式的值：
（1）log2 (47 25 ) （2）lg 5 100
例3 2log2 5的值为（ B ）.
A .- 5 B .5
C .1
D .2
5
例4.20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了 一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震 曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M.其 计算公式为
M
lg
A A0
A A0
10M
A
A0 10M.
当M=7.6 时，地震的最大振幅为A1 A0 107.6； 当M=5时，地震的最大振幅 A2 A0 105 为 所以，两次地震的最大振幅之比是
A1 A2
A0 107.6 A0 105
107.65
102.6
398
答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的