2023-2024学年河北省沧州市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)

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2023-2024学年河北省沧州市高一上册期末数学试题
一、单选题
1.已知集合{}{}1,2,3,5,2,3,5,6,7A B ==,则A B ⋂的子集的个数为()
A .5
B .6
C .7
D .8
【正确答案】D
【分析】先求A B ⋂中元素的个数,再求A B ⋂的子集的个数.
【详解】因为集合{}{}1,2,3,5,2,3,5,6,7A B ==,所以{}2,3,5A B = ,所以A B ⋂的子集的个数为328=个.
故选:D.
2.下列函数是幂函数的是()
A .22y x =
B .2
1y x =
C .1y x -=-
D .2x
y =【正确答案】B
【分析】根据幂函数的概念,即可得出答案.
【详解】B 项可化为2y x -=,根据幂函数的概念,可知函数2y x -=是幂函数,即函数2
1
y x =是幂函数.ACD 均不是幂函数.故选:B.
3.“lg lg a b <”是“33a b <”的()
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据充分条件以及必要条件的定义,分别判断充分性以及必要性即可得出答案.【详解】由lg lg a b <,根据函数lg y x =在()0,∞+上单调递增,可得0a b <<,由3y x =在R 上单调递增,则有33a b <,所以充分性成立;当33a b <时,由3y x =在R 上单调递增,可得a b <,在0a b <<的情况下,lg lg a b <不成立,所以必要性不成立.
所以,“lg lg a b <”是“33a b <”的充分不必要条件.故选:A.
4.已知函数()21,0πtan ,0
3x x f x x x ⎧-<⎪
=⎨⎛⎫
-≥ ⎪⎪⎝
⎭⎩.设()0f a =,则()f a =()
A .1
-B .0
C .1
2
D .2
【正确答案】D
【分析】根据分段函数的解析式,结合已知求出a =.【详解】由已知可得,(
)π0tan 3f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
a =
又(312f =-=,所以()2f a =.故选:D.
5.若1t >,则关于x 的不等式()10t x x t ⎛
⎫--> ⎪⎝
⎭的解集是()
A .1|x x t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
B .1|x x t ⎧<⎨⎩
或}x t >C .{|x x t <或1x t ⎫>⎬⎭D .1|x t x t ⎧
⎫<<⎨⎬
⎩⎭【正确答案】A
【分析】首先根据不等式的性质可得1t t <,进而将不等式转化为()10x t x t ⎛
⎫--< ⎪⎝
⎭,求解即可得出结
果.
【详解】因为()()111t t t t t
+--=,1t >,所以10t t ->,所以1t t >.
原不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝
⎭可化为所以()10x t x t ⎛
⎫--< ⎪⎝⎭,解得1x t t <<.
所以,不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝
⎭的解集为1|x x t t ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭.
故选:A.6
.已知sin α
,cos α=tan 2
α等于(

A
.2B
.2C
2
D
.2)
±-【正确答案】C
【分析】应用半角正切公式即可求值,注意法二:2
α
正切值的符号.
【详解】方法一:∵sin α=
cos α=
∴sin tan
22
1cos α
α
α
=
=-+.
方法二:∵sin 0α=
>
,cos 0α=>,∴α的终边落在第一象限,
2
α
的终边落在第一或第三象限,即tan
02
α
>,
∴tan 2.2α=-故选:C
7.函数sin cos y x x x =-的部分图象是(

A
.B

C .
D

【正确答案】C
【分析】首先判断函数的奇偶性,即可排除AD ,又3333sin cos 102222y f ππππ⎛⎫==-=-< ⎪
⎝⎭
,即可排除B.
【详解】因为()sin cos y f x x x x ==-,定义域为R ,关于原点对称,
又()()()()()sin cos sin cos f x x x x f x x x x f x =-+-=-+-==-,
故函数()sin cos y f x x x x ==-为奇函数,图象关于原点对称,故排除AD ;又3333sin
cos 102222y f ππππ⎛⎫
==-=-< ⎪⎝⎭
,故排除B.故选:C.
8.定义:对于()f x 定义域内的任意一个自变量的值1x ,都存在唯一一个2x 1=成
立,则称函数()f x 为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是()
A .()ln f x x =
B .()e
x
f x =C .()sin e
x
f x =D .()cos f x x
=【正确答案】B
【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.【详解】对于A ,()ln f x x =,
121ln ln 1x x ==⇒=,
当11x =时,则不存在2x 满足情况,故A 不是正积函数;
对于B ,()e x
f x =,
12121e e 10x x x x ==⇒=⇒+=,
则任意一个自变量的值1x ,都存在唯一一个2x 满足120x x +=,故B 是正积函数;
对于C ,()sin e x
f x =,
1212sin sin sin sin 1e e 1e 1x x x x +==⇒=⇒=,
得12sin sin 0x x +=,
当10x =时,则2sin 0x =,2πx k =,k ∈Z ,则2x 不唯一,故C 不是正积函数;对于D ,()cos f x x =,
121cos cos 1x x ==⇒=,
当[)1cos 0,1x ∈时,则不存在2x 满足情况,故D 不是正积函数.故选:B.二、多选题
9.若“,0x M x ∃∈<”为真命题,“,3x M x ∃∈≥”为假命题,则集合M 可以是()
A .(,1)
-∞B .[]
1,3-
C .[)0,2
D .()
3,3-【正确答案】AD
【分析】由已知条件,写出命题,3x M x ∃∈≥的否定,即为真命题,四个选项逐一判断即可.【详解】由题意,0x M x ∃∈<为真命题,,3x M x ∀∈<为真命题,则应满足选项为集合{}3x x <的子集,且满足,0x M x ∃∈<,AD 选项均满足,B 选项当3x =时不符合,3x M x ∀∈<,故错误,C 选项不存在,0x M x ∈<,故错误.故选:AD
10.设0a b <<,且2a b +=,则()
A .12b <<
B .21a b -<
C .1ab <
D .
123a b
+≥【正确答案】ABC
【分析】结合选项及条件逐个判定,把2a b =-代入0a b <<可得A 正确,利用指数函数单调性可得B 正确,利用基本不等式可得C 正确,利用1的代换及基本不等式可得D 不正确.【详解】对于A ,0a b <<,且2,02a b b b +=∴<-<,解得12b <<,故A 正确;对于B ,a b < ,即0a b -<,0221a b -∴<=,故B 正确;
对于C ,0a b <<,且2
()2,14
a b a b ab ++=∴≤=,当且仅当1a b ==时,等号成立,1ab ∴<,故
C 正确;
对于D ,0a b <<,2a b +=,

()(1211212113332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝,
当且仅当2b a
a b
=,即2,4a b ==-时等号成立,
又((131330,33,222
+-=<∴+<
故D 错误.故选.ABC
11.已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<为偶函数,则()
A .()f x 的图象关于直线πx =对称
B .()f x 的最小正周期是π
C .()f x 的图象关于点()2π,0-对称
D .()f x 在区间()2,3上是增函数【正确答案】ABD
【分析】先利用偶函数求出ϕ,再利用周期公式求解周期,利用图象的性质求解对称性和单调性.【详解】因为()f x 为偶函数,所以π
π,2
k k ϕ=+∈Z ,又0πϕ<<,所以π2ϕ=
,即()πsin 2cos22f x x x ⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭.
对于A ,由2π,x k k =∈Z ,得π
,2
k x k =∈Z .当2k =时,πx =,故()f x 的图象关于直线πx =对称,A 正确;
对于B,()f x 的最小正周期是2π
π,2
T =
=B 正确;对于C,()()cos2,f x x f x =图象的对称中心为()ππ,0,42k k ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭Z C 错误;
对于D ,令2π+π22π+2π,k x k k ≤≤∈Z ,则ππ+π+π,2k x k k ≤≤∈Z ,即π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区
间;由于()()π2,3,π,2f x ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭
在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增,D 正确.
故选:ABD.
12.设函数()f x 的定义域为R ,()1f x -为奇函数,()1f x +为偶函数,当()1,1x ∈-时,()2
1f x x =-+,
则下列结论正确的是()
A .7324
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭B .()7f x +为奇函数
C .()f x 在()6,8上为减函数
D .方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解
【正确答案】BD
【分析】由已知可推出()()22f x f x +=--,令3
2x =
,可得7122f f ⎛⎫
⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,求出函数值,即可判断A 项;由题意可推出()f x 周期为8,结合()1f x -为奇函数,可判断B 项;根据()f x 的对称性,结合已知可推出()f x 在()2,0-上单调递增,进而根据周期性即可判断C 项;根据()f x 的性质画出图象以及lg y x =-的图象,由lg121-<-结合图象即可判断D 项.
【详解】因为()1f x -为奇函数,所以()()11f x f x --=--,所以()()2f x f x -=--.因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+,所以()()2f x f x -=+.
所以有()()22f x f x +=--,所以()()26f x f x -=--,所以()()26f x f x +=-,即有()()8f x f x +=,所以()f x 的一个周期为8.
对于A 项,因为()()22f x f x +=--,且2
1131224f ⎛⎫⎛⎫
-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
令3
2x =
,有713224f f ⎛⎫
⎛⎫
=--=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,故A 错误;对于B 项,因为()1f x -为奇函数,()f x 的周期为8.故()()71f x f x +=-,()()71f x f x -+=--.所以()()()()7117f x f x f x f x -+=--=--=-+,从而()7f x +为奇函数,故B 正确;
对于C 项,()2
1f x x =-+在区间(]1,0-上是增函数,且()f x 的图象关于点()1,0-对称,所以()f x 在
()2,0-上单调递增,又()f x 周期为8,故()f x 在()6,8上单调递增,故C 项错误;
对于D 项,作出()f x 与lg y x =-的大致图象,如图所示.
其中lg y x =-单调递减且lg121-<-,所以两函数图象有6个交点,故方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解,故D 正确.故选:BD.
方法点睛:根据抽象函数的奇偶性,可根据对称性得出解析式关系式,进而由两个关系式,即可得出函数的周期.三、填空题
13.已知()2
22x f x =+,则()1f =__________.
【正确答案】2
【分析】对x 赋值即可求得(1)f .
【详解】()()02
12022f f ==+=.
故2.14
.函数()
22log 4y x -的定义域是__________.【正确答案】(]()
2,01,2-⋃【分析】由已知,解不等式组2011040x
x x x ⎧≥⎪-⎪
-≠⎨⎪->⎪⎩
,即可得出答案.
【详解】要使函数有意义,则2011040x
x x x ⎧≥⎪-⎪
-≠⎨⎪->⎪⎩
,解得20x -<≤或12x <<,
所以函数的定义域为(2,0](1,2)-⋃.故答案为.(2,0](1,2)
-⋃15.在直角坐标系中,O 是原点,A
1),将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点,则B 点坐标为__.【正确答案】(-1
【分析】由已知∠AOx =30°,则∠BOx =120°,又OB=2,结合三角函数定义求点B 的坐标.【详解】依题意知OA =OB =2,∠AOx =30°,∠BOx =120°,
设点B 坐标为(x ,y ),所以x =2cos 120°=-1,y =2sin 120°
B (-1
故(-1
16.若正实数0x 是关于x 的方程e ln x x ax ax +=+的根,则00e x
ax -=__________.
【正确答案】0
【分析】设()e x
f x x =+,同构变形得到ln e e ln x ax x ax +=+,即()()ln f x f ax =,从而得到00ln x ax =,
即0
0e x ax =,从而结果.
【详解】令()e x
f x x =+,则()f x 在()0,∞+上单调递增,
e ln x x ax ax +=+,即ln e e ln x ax x ax +=+,故()()ln
f x f ax =,
∵正实数0x 是方程e ln x x ax ax +=+的根,
()()00ln f x f ax ∴=,则00ln x ax =,得0
0e x ax =,即00e 0x ax -=.
故0四、解答题
17.已知集合{|13}A x x =<<,{}24x B x
=>∣.(1)求集合A B ⋃,B R ð;
(2)若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为A B ⋂,求,a b 的值.
【正确答案】(1){1}A B x
x ⋃=>∣,{}R 2B x x =≤∣ð;(2)5a =-,6b =.
【分析】(1)解出集合B ,根据并集以及补集的运算,即可求出答案;
(2)先求出交集,进而根据一元二次不等式的解集,得出一元二次方程的根,代入即可求出答案.
【详解】(1)解24x >可得,2x >,所以{2}B x x =>∣.因为{13}A x
x =<<∣,所以{1}A B x
x ⋃=>∣,{}R 2B x x =≤∣ð.(2)由(1)知,{23}A B x
x ⋂=<<∣,所以20x ax b ++<的解集为{23}x
x <<∣,所以20x ax b ++=的解为2,3.所以420930a b a b ++=⎧⎨++=⎩,解得5
6a b =-⎧⎨=⎩
.
所以,5a =-,6b =.
18.已知函数||
()2x f x =-
(1)判断并证明函数()f x 的奇偶性;
(2)判断函数()f x 在区间[0,)+∞上的单调性(不必写出过程),并解不等式(2)(21).f x f x +>-【正确答案】(1)函数()f x 是R 上的偶函数,证明见解析
(2)函数()f x 在[)0,∞+上单调递增,1,33⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
【分析】(1)利用偶函数的定义判断并证明函数为偶函数;
(2)根据指数函数和复合函数及函数的加减合成的单调性规律判定函数的单调性,然后结合函数是
偶函数,将不等式转化为221x x +>-,进而两边同时平方,等价转化为二次方程,求解即得.【详解】(1)证明:依题意,函数()f x 的定义域为R .对于任意R x ∈,都有()
()2
2x
x
f x f x --===,
所以函数()f x 是R 上的偶函数.
(2)解:函数()f x 在[)0,∞+上单调递增.
因为函数()f x R 上的偶数函数,所以()()
221f x f x +>-等价于()()221f x f x +>-.因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增,
所以221x x +>-,即23830x x --<,解得1
33x -<<,
所以不等式()()221f x f x +>-的解集为1,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭

19.已知函数()π2sin 216f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
(1)求函数()f x 的单调增区间;
(2)当ππ,63x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时,求()f x 的值域.
【正确答案】(1)()πππ,πZ 36k k k ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦;
(2)[]0,3.
【分析】(1)由正弦函数性质知在()πππ
2π22πZ 262
k x k k -≤+≤+∈上递增,即可求增区间;(2)应用整体法求π
26
x +的区间,再由正弦函数性质求值域.【详解】(1)由()πππππ
2π22πππZ 26236
k x k k x k k -
≤+≤+⇒-≤≤+∈,所以函数()f x 的单调增区间是()πππ,πZ 36k k k ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦.
(2)由ππ,63x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
,可得ππ5π2,666x -≤+≤
从而1sin 2,162πx ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以[]π2sin 210,36x ⎛
⎫++∈ ⎪⎝
⎭.
所以()f x 的值域为[]0,3.
20.将函数(
)2
cos 2sin g x x x x =-的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝
⎭个单位长度后得到()f x 的图
象.
(1)若()()0f x f ≤恒成立,求ϕ;
(2)若()f x 在7ππ,6⎛⎫
⎪⎝⎭
上是单调函数,求ϕ的取值范围.
【正确答案】(1)π6
ϕ=(2)ππ,62ϕ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
【分析】(1)先化简()g x ,根据平移规律可得到()f x ,利用()0f 是函数的最大值即可求解;(2)由7ππ,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得πππ222π2,2π2
662x ϕϕϕ⎛⎫
++∈++++ ⎪⎝⎭
,结合函数的周期可考虑区间ππ2,262ϕϕ⎛⎫++
⎪⎝⎭,利用正弦函数的性质列出不等式即可【详解】(1)∵(
)(
)2
πcos 2sin 21cos 22sin 216g x x x x x x x ⎛⎫=-=--=+- ⎪⎝
⎭,∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫
=++- ⎪⎝⎭

又()()0f x f ≤恒成立,∴()0f 是函数的最大值,故
()ππ22π62
k k ϕ+=+∈Z ,得π
π6k ϕ=+,k ∈Z ,
∵π
02
ϕ<≤
,∴π6ϕ=.
(2)∵7ππ,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴πππ222π2,2π2
662x ϕϕϕ⎛⎫
++∈++++ ⎪⎝⎭
,令π226t x ϕ=++,所以()f x 在7ππ,6⎛⎫
⎪⎝⎭上是单调函数可转化成()()2sin 1f x h t t ==-在
ππ2π2,2π262ϕϕ⎛⎫
++++ ⎪⎝⎭
是单调函数,
因为()2sin 1h t t =-的周期为2πT =,所以()2sin 1h t t =-在ππ2,262ϕϕ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
是单调函数,
∵π02ϕ<≤,∴ππ7π2666ϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦,ππ3π2,222ϕ⎛⎤
+∈ ⎥⎝⎦
.
∵()2sin 1h t t =-在ππ2,262ϕϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭是单调函数,∴π
π2,62
π02ϕϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩
∴ππ,62ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.
21.某书商为提高某套丛书的销售量,准备举办一场展销会,据市场调查,当每套丛书售价定为x 元
时,销售量可达到()100.1x -万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为20元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.(1)求每套丛书利润y 与售价x 的函数关系,并求出每套丛书售价定为80元时,书商能获得的总利润是多少万元?
(2)每套丛书售价定为多少元时,每套丛书的利润最大?并求出最大利润.【正确答案】(1)()100
200100100y x x x
=--<<-,总利润为110(万元);(2)当90元时,每套利润
最大为60元.
(1)首先据销售量求得x 的范围,然后计算出供货价格,可得利润函数,令80x =代入计算出每套书的利润,再乘以销量可得总利润;(2)利用基本不等式可得最值.
【详解】(1)∵0
100.10x x >⎧⎨->⎩∴0100
x <<()
1010020200100100.1100y x x x x x ⎛
⎫=-+=--<< --⎝⎭
当80x =时,100
80205510080
y =-
-=-(元)此时销量为100.1802-⨯=(万件)总利润为255110⨯=(万元)(2)100
20100y x x
=---∵0100x <<∴1000
x ->
∴()100100808060100y x x ⎡⎤
=-+-+≤-=⎢⎥-⎣⎦
当且仅当
100
100100x x
=--,即x =90元时,每套利润最大为60元..
本题考查基本不等式的实际应用,解题关键是确定利润函数,并凑出应用基本不等式的条件“一正二定”,然后再考虑“三相等”.
22.已知函数()21log f x a x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
,其中a ∈R .
(1)若()13f <,求实数a 的取值范围;
(2)设函数()()()2log 425g x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦,试讨论函数()g x 的零点个数.【正确答案】(1)()1,7-;(2)答案见解析.
【分析】(1)求出()1f ,根据对数函数的单调性,列出不等式,求解即可得到答案;
(2)原题可转化为,结合()g x 的定义域,求方程()()2
4510a x a x -+--=根的个数.对a 的取值范
围分类讨论,得出()()2
4510a x a x -+--=根的个数,结合函数()g x 的定义域即可得出答案.
【详解】(1)因为()()221log 13log 8f a =+<=,所以018a <+<,即17a -<<,所以a 的取值范围为()1,7-.
(2)由已知可得,()()()2log 425g x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦
()221log log 425a a x a x ⎛⎫
⎡⎤=+--+- ⎪⎣⎦⎝⎭
.求函数()g x 零点的个数,即求方程()0g x =根的个数.由()0g x =,可得()221log log 425a a x a x ⎛⎫
+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭

即()1
425a a x a x
+=-+-,整理可得,()()2
4510a x a x -+--=.
①当4a =时,可化为10x +=,解得=1x -,方程只有一个根,故此时函数()g x 有一个零点;②当3a =时,方程可化为2210x x ++=,解得=1x -,方程只有一个根,故此时函数()g x 有一个零点;
③当4a ≠且3a ≠时,解方程()()2
4510a x a x -+--=得,=1x -或14
x a =
-.令()1
u x a x
=
+,()()425v x a x a =-+-.则()()111u v a -=-=-,112444u v a a a ⎛⎫⎛⎫
==- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
.
(ⅰ)2a >且4a ≠且3a ≠,
则10a ->且240a ->,此时有()()110u v -=->,11044u v a a ⎛⎫⎛⎫
=> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
,故此时函数()g x 有两
个零点;
(ⅱ)12a <≤,则10a ->,240a -<,则()()110u v -=->,11044u v a a ⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
,即1
4a -不在
函数()g x 的定义域内,故此时函数()g x 有一个零点;
(ⅲ)当1a ≤,则10a -≤,240a -<,则()()110u v -=-≤,11044u v a a ⎛⎫⎛⎫
=< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
,即此时1-和
1
4
a -均不在函数()g x 的定义域内,故此时函数()g x 无零点.综上,当(],1a ∈-∞时,()g x 无零点;当(]{}1,23,4a ∈⋃时,()g x 有一个零点;当()()2,33,4(4,)a ∈⋃⋃+∞时,()g x 恰有2个零点.
方法点睛:结合()g x 的定义域,转化为求方程()()2
4510a x a x -+--=根的个数.然后对a 分类讨论,
即可得出解析.。

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