2024版人教版九年级上册《垂径定理》教案

人教版九年级上册《垂径定
理》教案
目录•课程介绍与目标
•知识回顾与铺垫
•垂径定理的引入与证明
•垂径定理在几何问题中的应用
•垂径定理在生活中的实际应用
•课堂练习与巩固提高
•总结回顾与拓展延伸
01
课程介绍与目标
教材版本及内容概述
教材版本
人教版九年级上册
内容概述
本节课主要学习垂径定理及其推论，包括圆的性质、直径与弦的关系等。

垂径定理是圆的重要性质之一，在解决与圆有关的问题时具有广泛的应用。

知识与技能过程与方法情感态度与价值观教学目标与要求
掌握垂径定理及其推论，理解圆的性质，能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。

通过观察、实验、推理等活动，培养学生的探
究能力和数学思维能力。

感受数学之美，体会数学在解决实际问题中的
应用价值，培养学生的数学兴趣和自信心。

教学方法与手段
教学方法
采用启发式教学法，引导学生通过观察、实验、推理等活动主动探究垂径定理及其
推论。

教学手段
利用多媒体课件、几何画板等辅助教学工具，帮助学生更好地理解垂径定理及其推
论。

同时，鼓励学生动手实践，通过实验操作验证垂径定理的正确性。

02
知识回顾与铺垫
圆的性质及定义
圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的性质包括圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等；圆上任意两点间的
部分叫做圆弧，简称弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是最长的弦，且一个圆有无数条直径。

直径半径弦连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

在同一个圆中，所有的半径都相等。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

弦的长度可能等于直径，也可能小于直径。

03
0201直径、半径、弦等概念
顶点在圆心的角叫做圆心
角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

圆心角
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧的长度与圆心角的度数成正比。

弧在同一个圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对
的弦也相等。

弦与弧的关系圆心角、弧、弦之间的关系
03
垂径定理的引入与证明
垂径定理的表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且
平分弦所对的两条弧。

推论
平分弦（不是直径）的垂直平分线
必过圆心。

1
2
3
要证明的结论
已知条件
证明过程
在圆O 中，DC 为直径，AB 是弦，AB⊥DC 于点E 。

AE=BE ，弧AD=弧BD ，弧AC=弧BC 。

连接OA 、OB ，由于OA 、OB 是半径，所以OA=OB 。

在直角三角形AOE 和直角三角形BOE 中，由于OE=OE （公共边），∠AEO=∠BEO=90°，所以直角三角形AOE≌直角三角形BOE （HL ）。

因此，AE=BE ，∠AOE=∠BOE。

由于∠AOE和∠BOE对应的弧分别是弧AD 和弧BD ，所以弧AD=弧BD 。

同理可证，弧AC=弧BC 。

例题1：已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

分析：根据垂径定理，
连接OA（即半径），在
直角三角形AOC中利用
勾股定理可计算出半径
的长。

解：连接OA，
∵AB=8cm，OC⊥AB于
点C，∴AC=BC=4cm。

在Rt△AOC中，
OC=3cm，AC=4cm，
∴OA=5cm。

分析：要证明AB是⊙O
的直径，只需证明
∠ACB=90°。

根据垂径
定理和已知条件，可以
证明∠ACB=∠DFC=90°。

证明：连接BD，∵AB是
⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所
对的圆周角是直角）。

∵CF⊥AD，
∴∠DFC=90°（垂直的定
义）。

∵直径AB⊥弦CD
于点E，∴CE=DE（垂径
定理）。

∴弧CAD=弧
BAD（等弦所对的圆周
角相等）。

∴∠ACB=∠DFC=90°
010*******
04
垂径定理在几何问题中的应用
03
利用勾股定理证明线段相等
在直角三角形中，可以利用勾股定理来证明两条线段相等。

01
利用垂径定理证明线段相等
通过构造垂直于弦的直径，利用垂径定理及其推论可以证明两条线段相等。

02
构造全等三角形证明线段相等
在证明线段相等时，可以通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质来证明线段相等。

解决线段相等问题
解决角相等问题
利用垂径定理证明角相等
01
通过构造垂直于弦的直径，利用垂径定理及其推论可以证明两个角相等。

利用圆周角定理证明角相等
02
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可以通过这一性质来
证明角相等。

利用三角形的全等或相似证明角相等
03
在证明角相等时，可以通过证明两个三角形全等或相似，利用全等或相
似三角形的性质来证明角相等。

解决面积问题
利用垂径定理求面积
通过构造垂直于弦的直径，利用垂径定理及其推论可以求出与弦
相关的图形的面积。

利用三角形面积公式求面积
在求与弦相关的图形面积时，可以通过构造三角形，利用三角形面
积公式来求解。

利用圆的面积公式求面积
在求与圆相关的图形面积时，可以直接利用圆的面积公式来求解。

05
垂径定理在生活中的实际应用
建筑学中的应用
建筑设计
在建筑设计中，垂径定理可用于计算
建筑物的高度、宽度和深度等尺寸，
以及确定建筑物的结构和比例。

建筑施工
在建筑施工中，垂径定理可用于测量
和定位建筑物的各个部分，确保施工
的准确性和效率。

建筑装饰
垂径定理在建筑装饰中也有应用，例如在计算窗帘、壁纸等装饰材料的尺寸和用量时。

在机械工程中，垂径定理可用于设计和制造各种机械零件，如齿轮、轴承等，以及计算机械系统
的传动比和效率等参数。

机械工程
在土木工程中，垂径定理可用于设计和建造桥梁、道路、隧道等基础设施，以及计算土方的开挖量和填方量等。

土木工程
在水利工程中，垂径定理可用于设计和建造水库、大坝、水渠等水利设施，以及计算水流的速度、流量和水位等参数。

水利工程
工程学中的应用
数学建模
在数学建模中，垂径定理可作为数学模型的基础，用于解决各种实际问题，如优化问题、概率问
题等。

物理学
在物理学中，垂径定理可用于计算物体的运动轨迹和速度等参数，例如在研究抛体运动和圆周运动
时。

计算机图形学
在计算机图形学中，垂径定理可用于生成和处理各种图形和图像，例如在计算图形的中心点、旋转
角度和缩放比例时。

其他领域的应用
06
课堂练习与巩固提高
题目1已知⊙O的直径为10cm，弦AB的长为8cm，P是
弦AB上的一个动点，那么点P到圆心O的最短距离为_______cm。

题目2
题目3
已知⊙O中，弦AB的长等于半径，P为弦AB所
对的弧上一动点，则
∠APB的度数为_______。

已知⊙O的半径为5cm，
弦AB长为8cm，则弦
AB的弦心距为_______
cm。

基础练习题选讲
提高难度练习题挑战
题目1
在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点P，若AP:PB=2:3，CP=2cm，DP=12cm，则弦AB的长为
_______ cm 。

题目2
已知⊙O的半径为5cm，两条平行弦AB和CD的长分别为6cm和8cm，则这两条平行弦之间的
距离为_______ cm。

题目3
在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD。

若AB=8，
CD=4√3，则AF的长为_______。

1 2 3在⊙O中，已知弦AB的长和⊙O的半径，如何求解弦AB所对的圆心角的度数？
问题1
在⊙O中，两条平行弦AB和CD的长度以及它们之间的距离已知，如何求解⊙O的半径？
问题2
在⊙O中，已知直径AB和弦CD的长度以及它们之间的垂直关系，如何求解弦CD所对的弧的度数？
问题3
小组合作探究问题
07
总结回顾与拓展延伸
本节课知识点总结回顾
垂径定理的定义和性质
垂径定理指出，从圆心到弦的垂线平分该弦，并且垂直于
该弦所对的弧。

这一性质在解决与弦、弧、圆心角相关的
问题时非常有用。

垂径定理的推论
通过垂径定理，我们可以推导出一些重要的推论，如“平
分弦（不是直径）的垂直平分线必过圆心”以及“平分弧
的垂直平分线必过圆心”。

垂径定理的应用
垂径定理在几何学中有着广泛的应用，包括计算弦长、弧
长、圆心角等问题。

通过灵活运用垂径定理及其推论，我
们可以解决许多复杂的几何问题。

勾股定理
射影定理
切割线定理
弦切角定理
拓展延伸：其他相关定理介绍
射影定理是平面几何中的一个重要定理，它涉及到两个相似三角形的性质。

射影定理可以用来证明一些复杂的几何问题，特别是在涉及到
相似三角形的情况下。

勾股定理是一个基本的几何定理，它指出在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理在解决与直角三角形相关的问题时非
常有用。

弦切角定理是圆的一个基本性质，它指出弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

这个定理在解决与圆的弦、切线和圆周角相关的问题时非常有用。

切割线定理是圆的一个基本性质，它指出从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

这个定理在解决与圆的切线相关的问题时非常
有用。

感谢您的观看
THANKS。