关于全错位问题的结论

关于“全错位问题”的一个重要结论
一般地，我们把“1”不放在第一位，“2”不放在第二位，“3”不放在第三位……。

“n ”不放在第n 位，称为“全错位问题”。

在全错位问题中，如果一共有n 个元素，我们用f(n)表示全错位问题的排法种数。

则可得一个重要结论：
f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n ≧2) * 例如：n=1时，显然f(1)=0 n=2时 共1种情况
而f(2)=2f(1)+(-1)2=1 符合*式 n=3时 或
共2种情况
而f(3)=3f(2)+(-1)3 =3×1-1=2 符合*式
n=4时，举例：用1、2、3、4这四个数字组成无重复数字的四位
数，1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位，共有多少种排法？
列举如下：
共9种排法
而f(4)=4f(3)+(-1)4=4×2+1=9符合*式
同理可验证：
F(5)=5f(4)+(-1)5=44成立……
下面给予一般性证明f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n≧2)
1.当n=2时，f(3)=1，f(3)=3f(2)-1=2，等式成立，
当n=3时，f(3)=2，f(4)=4f(3)+1=9，等式成立；
2.假设n≤k （k≧3）等式成立，即k个元素a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数的递推关系为f(k)=kf(k-1)+(-1)k，
则当n=k+1时，设全错位排序的元素为a1、a2、a3……a k、a k+1。

在k个元素全错位排序的基础上，k+1个元素全错位排序后，它们全错位排序的方法分为两类，（1）a k+1与a i（i=1、2、……k）互调位置，其余元素全错位排列，方法数为kf(k-1)；（2）a k+1在a i的位置上，但a i
（i=1、2、……k）不在a k+1的位置上，相当于a k+1将的每一个全错位排
列的元素置换一遍，由假设知a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数为f(k)，得该类全错位排序的方法数为k f(k).
故f(k+1)=k f(k)+kf(k-1),由假设f(k)=kf(k-1)+(-1)k，
∴f(k+1)=k f(k)+kf(k-1)=k f(k)+f(k)-(-1)k=（k+1）f(k)+(-1)k+1.
即当n=k+1时，等式也成立.
所以，n个元素全错位排列的方法数的递推关系为
f(n)=nf(n-1)+(-1)n (n≧2).
下面举例说明*式的应用
例1.同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡不同的分配方式有______种?
[解]此题属于4个元素的全错位问题
由f(n)=nf(n-1)+（-1）3得
f(4)=9
故分配方式有9种
例2．设编号为1、2、3、4、5的五个球及编号为1、2、3、4、5的五个盒子，一盒内放一球，恰有两个球的编号与盒子编号相同，则投放总数有多少？
[解]“恰有两个球的编号与盒子编号相同”，等价于“恰有三个球的编号与盒子编号不同”。

故投放总数为N=C2
f(3)=10×2=20(种)
5
例3．编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上，则至多两个号码一致的坐法有多少种？
[解法一]（直接法）至多两个号码一致，分三种情况：
1、“恰两个一致”等价于“恰3个错位” N1=C3
5
·f(3)=20
2、“恰一个一致”等价于“恰4个错位” N2=C4
5
·f(4)=45
3、“没有一致”等到价于“5个全错位” N3=f(5)=44
∴N= N1+ N2+ N3=109
[解法二]（间接法）无任何限制条件时，A5
5
=120
“恰有三个号码一致”，等价于“恰有2个错位”
∴N1=C2
5
f(2)=10
“恰有四个号码一致”与“恰有五个号码一致”的坐法属同一种情况，共一种。

故N2=1
故N=A5
5
-N1-N2=120-10-1=109
例4.某人随机地将编号为1、2、3、4的四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，全部放完。

（1）求编号为奇数的小球放入编号为奇数的盒子中的概率。

（2）当一个小球放入其中一个盒子时，若球的编号与盒子的编号相同，称这球是“放对”的，否则称这球是“放错”的。

设“放对”的球的个数为§，求§的分布列及数学期望。

[解析]（1）四个编号为1、2、3、4的小球放入四个编号为1、2、
3、4的盒子，共有A4
4
=24种不同的放法，而编号为奇数的小球放入编
号为奇数的盒子有A2
2·A2
2
=4种不同的放法，因此所求的概率。

P= = =
（2）对于“§的分布列及数学期望”的求解，关键是对§的可能取值进行正确的判断，球“放错”，即属于“全错位问题”，设“放对”的球的个数为§，则
§=0，则有4个球全错位，故P（§=0）= =
§=1，则有3个球全错位，故
P（§=1）= = =
§=2，则有2个球全错位，故
P（§=2）= = =
§=3时，只要有3个球“放对”，则一定有4个球“放对”，不存在“放错”问题，故§=3时不存在。

§=4时，4个球全“放对”，共1种情况，故P（§=4）=
因此§的分布列为
§0 1 2 4
P
§的数学期望为
E§=0× +1× +2× +4× =1
本题总结：高考对离散型随机变量主要考查两个方面：一是求概率分布列；二是求随机变量的期望。

求概率的过程中要注意分类讨论思想的运用，分类要做到不重不漏。

此题中分类正是抓住了“全错位问题”中，“0个元素全错位”即“4个元素全对”，故分布列中有§=4；因“1个元素全错位”不可能，故§=3不存在；“2个元素全错位”即
“2个元素全对”故分布列中有§=2，“3个元素全错位”即“1个元素全对”，故分布列中有§=1，“4个元素全错位”，即“0个元素全对”，故分布列中有§=0。

另外所有变量的概率之和为1，可用来快速检验计算结果或分类是否正确。

此结论简单易记,使用方便,大家不妨用以下两个练习题验证使用：
练习1：甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，要求甲不跑第一棒，乙不跑第二棒，丙不跑第三棒；丁不跑第四棒，则不同的编排顺序有种？答案：f(4)=9
练习2：把红黄绿白黑蓝六色茶杯的盖子掀开再合上，则至少有3只茶杯的杯盖与杯身同色的有多少种？
[解法一]（直接法）至少有3只同色，分三种情况：
f(3)=40
1、“恰3只同色”等价于“恰3只错位”N1=C3
6
f(2)=15
2、“恰4只同色”等价于“恰2只错位”N2=C2
6
3、“恰5只同色”等价于“6只全同色”N3=1
∴N=N1+ N2+ N3=56
=720
[解法二]（间接法）无任何限制条件时，A6
6
f(5)=264
1、“恰1只同色”等价于“恰5只错位” N1=C5
6
f(4)=135
2、“恰2只同色”等价于“恰4只错位”N2=C4
6
3、“没有同色”等价于“6只全错位”N3=f(6)=265
∴N=A6
- N1- N2- N3=56
6。