信号与系统基础及应用第2章 连续时间信号分析

2 2
Adt

A
T
ak

2 T
T
2 T
x(t)
cos
k0tdt
2
2 T
2 2
A cos
k
2π T
tdt
2A sin kπ
kπ T
A0 Sa( k0 )
π
2
抽样函数
Sa(x) sin x x
抽样函数定义为
Sa(x) sin x x
为偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ(k=1,2,…)时， Sa(kπ)=0。
2. 三角函数形式的傅里叶级数
傅立叶（J. B. J Fourier，1768 –1830），法国 著名数学家、 物理学家。
1807年提出：任何一 个周期信号都可以展 开成傅里叶级数。
狄里赫利（1805 －1859）,德国数 学家，解析数论 奠基者，现代函 数概念的定义者。
1829年提出：只有在满 足一定条件时，周期信 号才能展开成傅里叶级 数。
【例2.3】 已知 x(t) 3cos(0t 4) ，求出Xk。
解:
x(t) 3cos(0t 4)
3 1 2
e j(0t4)
e j(0t4)
x(t) 3 ej4ej0t 3 e e j4 j0t
2
2
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
1.完备正交函数集
（1） 在[t1,t2]区间上定义的非零实函数x1(t)与x2(t)， 若满足条件：
t2 t1
x1(t)x2 (t)dt

0
则函数x1(t)与x2(t)为区间[t1, t2]上的正交函数。 （2） 若 x1(t)与x2(t)是复变函数，则 x1(t)与x2(t)在[t1,t2] 区间上正交的条件是：
ck 2
e e jk jk0t


c k
2 k 1
e e jk jk0t

c0

k 1
ck 2
e e jk jk0t
ck 2 k 1
e e jk jk0t
ck ck
k k
令
Xk

ck 2
e jk
为复函数

x(t)
吉布斯现象产生的原因：
时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性， 使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。
约西亚·威拉德·吉布斯 （Josiah Willard Gibbs）
美国人，1839-1903， 物理化学家，数学 物理学家
9%
1.2
1
N=5 0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
π 0 0 π
解: 先求傅里叶系数
1
0 (1) cos k d 1
π
1 cos k d
π π
π0
0， (k 0 , 1 , 2 ,L )
1
0 (1) sin k d 1
π
1 sin kd
π π
π0
1 cos k 0 1 cos k π
4 sin
π
4 sin + 4 sin 3
π
3π
4 sin + 4 sin 3 + 4 sin 5
π
3π
5π
4 sin + 4 sin 3 + 4 sin 5 + 4 sin 7
π
3π
5π
7π
（3）吉布斯现象（Gibbs phenomenon）
用有限次谐波分量近似具有不连续点的 周期信号时，在不连续点出现过冲；当 选取的项数越多，在所合成的波形中出 现的峰起越靠近原信号的不连续点；当 选取的项数很大时，该峰起值趋于一个 常数，大约等于总跳变值的9%。

1 2j
e e jk0t
jk0t
x(t)

c0

k 1
ck 2
[e j(k0t k )

e ] j(k0t k )
c0

ck k 1 2
e e jk jk0t


ck
k 1 2
e e jk jk0t
c0

k 1
x(t) c1g1(t) c2g2 (t) L cr gr (t) L cN gN (t)
N
x(t) cr gr (t)
r 1
其均方误差为 ：
2
t
1
t2 t1
t2 t1

x(t)

N r 1
cr gr
2 (t) dt

若 lim 2 (t) 0 ，则称此函数集为完备正交函数集。 N
（1）Dirichlet条件表述如下：
周期信号x(t)在区间[t0,t0+T]上有定义，且
1）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点 的数目应是有限个；
2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
3）在一周期内，信号满足绝对可积。
狄里赫利（Dirichlet）条件解决了傅里叶级数 分解的严格性问题！
结论
任何一个连续函数都可以在定义域里用某个正交 函数集来表示，若此函数集不仅是正交而且完备， 则用它来表示信号时将没有误差，即逼近误差是 柯西收敛的，最终趋于零。
常见的完备正交 函数集有：
三角函数集 虚指数函数集 切比雪夫多项式集合 沃尔什函数集
（5）三角函数集
cos n0t，sin n t|0 n0,1,2,...
0
0.5
1
1.5
2
9%
1.2
N=50 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
9%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
9%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
N=15 N=500
3. 指数形式的傅里叶级数
再次写出三角函数的傅里叶级数如下：

x(t) c0 ck cos(k0t k ) k 1
c0 a0
ck ak2 bk2
tan k

bk ak
利用欧拉公式
cos
k0t

1 2
e e jk0t
jk0t
sin
k0t
t2 t1
x1 (t ) x2 (t )dt

t2 t1
x1 (t ) x2 (t )dt

0
（3）设有一函数集｛g1(t), g2(t)，…，gN(t)｝，它们定义 在区间[t1, t2]上，如果对于所有i、 j(可取1, 2, …，N)都有
t2 t1
gi
(t)

g
* j
(t
)dt
Sa(x)
MATLAB中抽样函数用 sinc(x)表示。
1
sinc(x) sin πx
πx
－3 －2
－ o

2 3
x
Sa(x)函数的波形
2
ak T
T
2 T
2
x(t) cos
k0tdt

2 A
T
Sa( k0
2
)
bk

ห้องสมุดไป่ตู้2 T
T
2 T
2
x(t) sin
k0tdt
2.2 连续时间信号的傅里叶变换（CTFT） （Continuous Time Fourier Transform）
2.1 连续时间周期信号的傅里叶级数（CTFS） 2.1.1 连续时间周期信号的傅里叶级数 2.1.2 连续时间周期信号的频谱与功率谱 2.1.3 连续时间傅里叶级数的性质
2.1.1 连续时间周期信号的傅里叶级数
X1

3 2
ej4 ,
X 1

3 2
e j4，
其他 X k 0, k 1
2.1.2 周期信号的频谱与功率谱 1.频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信 号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。
周期信号指数形式傅里叶级数的复振幅Xk一般为复函数，因 而描述其特点的频谱图一般要画两个，一个称为幅度频谱， 另一个称为相位频谱，代表了周期信号中各次谐波幅值、相 位随频率的变化关系。
欲使均方误差最小，其第r个函数gr(t)的加权系数cr
应按下式选取：
cr
t2 t1
x(t ) g r* (t )dt
t2 t1
gr (t) 2dt
对于函数集{gr(t)}，所谓完备性，是指对任意函数x(t)， 都可以用一无穷级数表示：

x(t) cr gr (t) r 1
且此级数之和收敛于x(t)。

2 T
2 2
A sin
k
2π T
tdt

0
于是【例2.1】中x(t)的傅里叶级数表示为
x(t)
A
T

2 A
T
k 1
Sa
(
k0
2
)
cos
k0t
【例2.2 】 设 x (θ) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
x(
)


1 1
, ,
将 x (θ) 展成傅里叶级数。
（6）虚指数函数集
e | jn0t n0,1,2,L
正交
性质
t0 T t0
(e jn0t
)
(e jm0t
) dt

0, T ,
mn mn
式中， T = 2π
0
为指数函数公共周期，m、n为整数。
正交虚指数函数集可具体写为
0
叫做基频。
1, e j0t , e j20t , e j30t ,L L
是完备正交函数集，正交区间为[t0, t0+T]。
2π T=
0
是 各 个 函 数 cosn0t ， sinn0t 的 公 共 周 期 。
上述正交三角函数集中，当n=0时，cos0°=1, sin0°=0，由于0 不应计在此正交函数集中，故正交三角函数集可具体写为
1,cos0t,cos 20t,L ,sin0t,sin 20t,L
bk ak
【例2.1】求图中信号x(t)的傅里叶级数。
解：该信号x(t)的周期为T，基频为
0

2
T
它在一个周期（-T/2，T/2）内的表达式为
x(t
)


A
,
0 ,
t
2
t T
2
2
计算其傅里叶
级数的系数：
a0

1 T
T
2 T
2
x(t)dt

1 T
=
π

k
π

π


k
0
2 1 cos kπ
kπ


4 kπ
,
k

1,
3, 5,L
0, k 2, 4, 6
x( ) 4 [sin 1 sin 3 L 1 sin(2k 1) L ]
π
3
2k 1
( )

0,i j

Ki
,
i

j
则该函数集就称为区间[t1, t2]上的正交函数集。
如果
t2 t1
gi
(t)

g
* j
(t
)dt

0,i 1,i
j j
则称该函数集为归一化正交函数集。
（4）用一个在区间[t1, t2]上的正交函数集｛gr (t)｝中各
函数的线性组合逼近定义在[t1, t2]区间上的信号x(t)，即
X k e jk0t
k
式中，T=2π/ω0为指数函数公共周期，k为整数。
复振幅系数为
1
Xk T
T /2 x(t)e jk0t dt, k 0, 1, 2,L
T /2
采用指数形式傅里叶级数的原因是：表达形式和 系数计算比三角形式简单。
k<0时的负频率：欧拉公式引入的，没有实际物理意义。
《信号与系统基础及应用》
• 第1章 信号与系统基础知识 • 第2章 连续时间信号分析 • 第3章 连续时间系统分析 • 第4章 离散时间信号分析 • 第5章 离散时间系统分析 • 第6章 离散傅里叶变换及应用 • 第7章 数字滤波器设计
第2章 连续时间信号分析
2.1 连续时间周期信号的傅里叶级数（CTFS） （Continuous Time Fourier Series）
（2）三角函数形式的傅里叶级数
x(t) a0 a1 cos0t a2 cos 20t L ak cos k0t L b1 sin0t b2 sin 20t L bk sin k0t L

x(t) a0 (ak cos k0t bk sin k0t) k 1
式中，ω0=2π/T 称为基波角频率（基频），a0、ak和bk为加权系 数。 由于x(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数 的周期T相同，故上述展开式在(-∞, ∞)区间也是成立的。
可得加权系数：
a0

1 T
t0 T x(t)dt
t0
2
ak T
t0 t0
T
x(t )
cos
k0tdt
2
bk T
t0 t0
T
x(t) sin
k0tdt
ak 为kω0的偶函数 ak ak
bk 为kω0的奇函数
bk bk
另一种常用的表示形式（仅有余弦函数）如下：

x(t) c0 ck cos(k0t k ) k 1
c0 a0
ck ak2 bk2
tan k