【精选高中试题】广东省汕头市高二下学期期末教学质量检测考试理科数学试卷 Word版含答案

绝密★启用前 试卷类型：A
汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测
高二理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第 Ⅰ 卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

)
1. 集合{}{}
2|ln 0,|16A x x B x x =≥=<，则=A B ( )
A ．()41，
B ．[)1,4
C ．[)1,+∞
D ．[),4e
2. 复数2
31i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭
=( )
A ．－3－4i
B ．－3+4i
C ．3－4i
D ．3+4i
3. 函数22
()sin
cos 33
f x x x =+的图象中相邻的两条对称轴间距离为( ) A ． 3π B ．
43
π
C ．
32
π
D ．
76
π 4. 下列命题中，是真命题的是( ) A ．0x R ∃∈，0
0x e
≤ B ．已知a ，b 为实数，则a +b =0的充要条件是a b
=－1
C ． x R ∀∈，2
2x x > D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分条件
5. 现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是( ) A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
6. 已知向量(1,),(1,1),a x b
x ==-若(2)a b a -⊥
，则|2|a b -=( )
A
B
C ．2
D 7. 已知双曲线C ：22
22x y a b
-=1(a >0，b >0)，则C 的渐近线方程为( )
A ．14y x =±
B ．13y x =±
C ．
1
2
y x =± D ．y x =±
8. 在ABC ∆中，A =6
π
，AB AC =3，D 在边
BC 上，且2CD D B =，则AD =( )
A
B
C ．5
D ．
9. 某程序框图如图所示，现将输出(,)x y 值依次记为：11(,)x y ， 22(,)x y ，…，(,)n n x y ，…若程序运行中输出的一个数组是
(10)-x ，
，则数组中的x =( ) A ．32 B ．24 C ．18
D ．16
10. 如图1，已知正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为a ，动点M 、N 、
Q 分别在线段1D A ，1C B ，11C D 上．当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的 正视图面积等于(
)
A ．21
2a B
．214a
C 2
D 2
a
11. 已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为( ) A ．
1
4032π
B ．
1
4032
C ．
12016π D ．1
2016
12. 已知函数-+-≤≤⎧=⎨≤<⎩2
|1|,70
()ln ,x x f x x e x e
，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使 ()2()0f m g a -=则实数a 的取值范围为( )
A ．[1,)-+∞
B ．[1,3]-
C ．
,1][3,)-∞-+∞（U D ．,3]-∞（ 第 Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

)
13. 若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则=p _________.
14. 点(,)M x y
是不等式组03x y x ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y m -+≥
总成立，则m 的取值范围是 .
15. 若三棱锥P-ABC 的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体
积是 .
16. 设20
sin 12cos 2π
⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰
x a x dx
，则6
⎛ ⎝的展开式中常数项是 . 三．解答题：(本大题8个小题 ，共70分,解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。

)
17. (本小题满分12分) 若数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
231n n S a n N +
=-∈，等差数列{}n b
满足113,3b a b S ==+，323b S =
+ (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设3n
n n
b c a =
18. (本小题满分12分) 如图，四棱锥P ABCD -中，∠2BC AD =，PAB ∆与PAD ∆都是等边三角形.
(1)证明：PB CD ⊥；
(2)求二面角B PD A --的余弦值.
第18题图
19. (本小题满分12分) 2016年4月21日上午10时，某省会首次启动重污染天气II 级应急响应，正式实施机动车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
(1)完成被调查人员的频率分布直方图；
(2)若从年龄[15,25)，[25,35)
两人进行追踪调查，记选中的4人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.
20. (本小题满分12分) 如图，已知抛物线1C ：2y =4x 的焦点为
椭圆2C 的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲 线1C 和
2C 在第一象限的交点，且5||2
MF =． (1)求椭圆2C 的标准方程；
(2)设A B ，为抛物线1C 上的两个动点，且使得线段AB 的
中点D 在直线y x =上，(3,2)P 为定点，求PAB △面积的最大值． 第20题图
21. (本小题满分12分) 已知函数()f x =1
2ln x x
e e x x
-+
(1)求曲线y =()f x 在点(1，(1)f )处的切线方程; (2)证明：()f x >1.
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22. (本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图所示，已知PA 是⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B ，C 两点，弦CD //AP ，AD ，BC 点E ，F 为CE 上一点，且2DE EF EC =⋅． (1)求证：EP EF EB CE ⋅=⋅；
(2)若:3:2CE BE =，3DE =，2EF =，求PA 的长．
23．(本小题满分10分)选修4－4；坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为2cos 1
x y αα=-⎧⎪⎨⎪⎩ (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)若直线l 的参数方程为x t
y =⎧⎪⎨=⎪⎩其中t 为参数，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数1()||x f x x -=
+，()g x |4|x m --+=． (1)解关于x 的不等式g [()f x ]+1－m >0；
(2)若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围．
第22题图
2015--2016年高二年级期末统考 理科数学参考 答案
一、选择题：
二、填空题：
13、,22 14、},3|{≥m m 或[)+∞∈,3m ， 15、3
4π
， 16、160- 三、解答题.
17、解：(1)当1n =时，111231,1S a a =-∴=…………（1分） 当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即
1
3n
n a a -=…………（3分） ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=…………（4分）
设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=…………（5分） 所以12)1(23+=-+=n n b n …………（6分）
⑵由（1）可知道：1232135721
,33333n n
n n
n n c T ++==++++…………（7分） 1232135721,33333
n n n n n n c T ++==++++①
2341135721
33333
n n n T ++=++++②，…………（8分） 由①-②得，
1323
1
2)31........3131(2132++-++++=n n n n T …………（9分） 1
3123
1
13113123
1
++--
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=
n n
n …………（10分）
131231131++-⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=n n
n …………（11分） 所以2
23
n n n T +=-
…………（12分） 18.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，
90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB
∆
与PAD ∆都是等边三角形.（1）证明：CD PB ⊥； （2）求二面角B PD A --的余弦值.
证明：（1）取BC 的中点E ，连接DE ，则ADEB 为正方形…………（1分） 过P 作⊥PO 平面ABCD ,垂足为点O ，由PAB ∆与PAD ∆都是等边三角形. 不难得到PD PB PA ==,所以OD OB OA ==,…………（2分） 即点O 为正方形ADEB 的对角线交点，故BD OE ⊥…………（3分） 所以⊥OE 平面PBD ，又⊂PB 平面PBD ，所以PB OE ⊥…………（4分） 因为E O ,分别是BC BD ,的中点，所以CD OE //,所以CD PB ⊥；…………（6分）
（2）由（1）知，可以O 为坐标原点，OP OB OE ,,为z y x ,,轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，设2=AB ，则点)0,0,2(-A ,)0,2,0(-D ,)2,0,0(P …………（7分） 所以)0,2,2(-=AD ,)2,0,2(=AP ,…………（8分）
设平面PAD 的一个法向量为),,(z y x =所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=-=⋅0
22022z x y x ，
取1=x 得到1,1-==z y ，所以)1,1,1(-=n …………（9分）
又⊥OE 平面PBD ，所以可以取平面PBD 的一个法向量)0,0,1(=m …………（10分） 由图像可知，该二面角为锐角，可设为θ
所以cos 33
n m n m
θ⋅=
=
=⋅.…………（12分） 19. 2016年4月21日上午10时，某省会首次启动重污染天气II 级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
(1)完成被调查人员的频率分布直方图；
(2)若从年龄[)15,25，[)25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.
解：(1)各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，画图……………（2分）
……………（5分）
(2)ξ的所有可能取值为：0,1,2,3……………（6分）
()22
642251061515
0104575
C C P C C ξ==⋅=⋅=
……………（7分）
()21112
646442222
51051041562434
11045104575C C C C C P C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅=……………（8分）
()2122
644422225105104156622
21045104575C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⋅+⋅=
……………（9分） ()124422510664
3104575
C C P C C ξ==⋅=⋅=……………（10分）
所以ξ的分布列是：
所以ξ的数学期望是0123757575755
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.……………（12分） 20.如图，已知抛物线21:4C y x =的焦点为
F ，椭圆2C 的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线1C 和2C 在第一象限的交点，且5||2
MF =
．（1）求椭圆2C 的标准方程；
（2）设,A B 为抛物线1C 上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y x =上，
(3,2)P 为定点，求PAB ∆面积的最大值．
解：（1）设椭圆2C 的方程为22
221(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ．
由已知，点(1,0)F ，则1c =．………………（1分）
设点
00(,)M x y 00(,0)x y >，据抛物线定义，得0||1MF x =+．由已知，
05
12x +=
，则
032x =
．从
而0y =
3
(2M ．………………（2分）
设点E 为椭圆的左焦点，则(1,0)E -
，
7||2ME ==
． 据椭圆定义，得
75
2||||622a ME MF =+=
+=，则3a =．……………（4分）
从而2228b a c =-=，所以椭圆2C 的标准方式是22
198x y +=．……（5分）
（2）设点(,)D m m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则
22
11224,4y x y x ==． 两式相减，得
22
12124()y y x x -=-，即1212124
y y x x y y -=-+．因为D 为线段AB 的中点，则122y y m +=．
21.已知函数1
2()ln .x x
e f x e x x
-=+ （1）求曲线()y f x =在点())1(,1f 处的切线方程; （2）证明：()1f x >. 解：(1)显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，………(1分)
且11
'
222()ln x x x x
e xe e
f x e x x x ---=++
……………(3分) 所以切线斜率
e f k ==)1(/
，且2)1(=f ……………(4分) 所以曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程为)1(2-=-x e y 即02=+--e y ex ……………(5分)
（2）由题意知12ln 1)(1
>+⇔>-x
e x e x
f x x
由于0,0>>x e x ，该不等式可以转化为如下等价的不等式:
e e x x x x 2ln ->
,即证对于,0>∀x 不等式e e
x x x x
2
ln ->恒成立。

…………(6分) 设)0(,ln )(>=x x x x h ，则1ln )(/-=x x h
第22题图 由01ln )(/>-=x x h 得到e x 1>
，所以函数)(x h 在),1
(+∞e
上是增函数。

由01ln )(/<-=x x h 得到e x 10<<，所以函数)(x h 在)1
,0(e 上是减函数。

…………(7分)
所以函数)(x h 在),0(+∞上有最小值e
e e e h 1
1ln 1)1(-==…………(8分)
设)0(,2)(>-=x e e x x g x ，则x e x x g -=1)(/
由01)(/
>-=x e x x g 得到10<<x ，所以函数)(x g 在)1,0(上是增函数。

由01)(/
<-=x e
x x g 得到1>x ，所以函数)(x g 在),1(+∞上是减函数。

…………(9分)
所以函数)(x g 在),0(+∞上有最大值e
e e g 1
21)1(-=-=…………(10分)
综上所述： ⇔->e e x x x x 2ln 1)(12ln 1>⇔>+-x f x
e x e x x
…………(12分)
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知PA 是⊙O 相切，A 为切点，过点P 的
割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相交于点
E ，
F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2． （1）求证：EP EF EB CE ⋅=⋅；
（2）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
解：（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠
∴DEF ∆∽CED ∆, ∴C EDF ∠=∠……………………(1分) 又∵AP CD //, ∴C P ∠=∠, ……………………(2分) ∴P EDF ∠=∠,PEA DEF ∠=∠ ∴EDF ∆∽EPA ∆，
∴
ED
EP
EF EA =
，∴EP EF ED EA ⋅=⋅ ……………………(3分) 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，……………………(4分) ∴EP EF EB CE ⋅=⋅．……………………(5分) （Ⅱ）∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE
∴ 2
9
=EC ，………………(6分)
∵2:3:=BE CE ∴3=BE ……………………(7分)
由（1）可知：EP EF EB CE ⋅=⋅，解得4
27
=EP .……………………(8分)
∴4
15
=-=EB EP BP ．
∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2………………(9分)
23．本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为2cos 1x y αα
=-⎧⎪⎨=⎪⎩ (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）若直线l
的参数方程为⎩
⎨⎧==t y t x 3其中t 为参数，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 解(1)∵曲线C 的参数方程为2cos 1x y αα
=-⎧⎪⎨=⎪⎩ (α为参数) ∴曲线C 的普通方程为()2
2
1143x y ++=……………………(2分) 将⎩⎨⎧==θ
ρθρsin cos y x 代入并化简得：32cos ρθ=+ 即曲线c 的极坐标方程为 32cos ρθ
=+……………………(5分) （2）直线l 的普通方程为x y 3=，……………………(6分)
将⎩⎨⎧==θ
ρθρsin cos y x 代入并化简得：
直线l 的极坐标方程为：[)πθθ2,0,3tan ∈=……………………(7分) 所以3πθ=或3
4πθ=……………………(8分) 将3πθ=或34πθ=分别代入32cos ρθ
=+得：56=ρ或2=ρ……………………(9分) 即直线l 与曲线C 两个交点的极坐标为)3,56(πA ,)3
4,2(πB 所以弦长516256=+=AB ……………………(10分) 24．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数
1()||x f x x -=+，()|4|g x x m =--+．
（1）解关于x 的不等式[()]10g f x m +->；
（2）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）由[()]20g f x m +->得|||14|1x x +--<，
3||15x x ∴<+-< ……(*) …………（1分）
（1） 当0<
x 时，不等式(*)可以化为：5213<-<x ，即12-<<-x ………（2分） （2） 当10≤≤
x 时，不等式(*)显然不成立。

………（3分） （3） 当0<x 时，不等式(*)可以化为：5123<-<x ，即32<<x ………（4分） 综上，原不等式的解集为()()2,12,3-- ………（5分）
（Ⅱ）∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方
∴()()f x g x >恒成立，即||1|4|m x x x <+-+-恒成立………（6分）
记41)(-+-+=x x x x h
（1）当0<x 时，41)(-+-+=x x x x h =x 35-，则5)(>x h
（2）当10≤≤x 时，41)(-+-+=x x x x h =x -5，则5)(4≤<x h ………（7分）
（3）当41≤≤x 时，41)(-+-+=x x x x h =x +3，则7)(4≤≤x h ………（8分）
（4）当4>x 时，41)(-+-+=x x x x h =53-x ，则7)(>x h ………（9分） 综上，4)(min =x h ∴m 的取值范围为4m <. ………（10分）。