论文浅谈勾股定理的证明方法

xx师范学院
本科生毕业论文（设计）
题目浅谈勾股定理的证明方法
专业数学与应用数学
院系数学与计算机科学学院
学号xxxxxx
姓名xxx
指导教师xxxx
答辩时间二0一二年五月
论文工作时间：2011年12月至2012年5月
浅谈勾股定理的证明方法
学生：xxx
指导老师：xxx
摘要：本文讨论了勾股定理的证明和思想.这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”.（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”. 勾股定理,它描述的是直角三角形三边的数量关系.为什么叫勾股定理呢?这是中国古代的一种说法.所谓勾股,古人把一个弯曲成直角的手臂,上臂称为勾,前臂称为股,所以称之为勾股定理.勾股定理是数学中发现最早的一个定理.
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力.千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，反复被人论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名.
关键词：勾股定理；证明；思想；
Application of the Pythagorean theorem in
mathematics
Undergraduate: xxxx
Supervisor: xxxx
Abstract: This article discusses the proof of Pythagorean Theorem and geometry. This theorem in China is also known as the "business in foreign high theorem", called "the Pythagorean theorem" or "hundred cattle theorem". (Pythagoras discovered this theorem, namely cut per cow for celebration, also known as the "hundred cattle theorem"), the French, Belgians and called the theorem as the "bridge of asses." the Pythagorean Theorem, which describes the relationship between the number of the three side of a right triangle. Why is called the Pythagorean Theorem? This is an ancient Chinese saying. The so-called Pythagorean, the a bent at a right angle to the arm, upper arm called hook, forearm known as the unit, so called the Pythagorean theorem. The Pythagorean Theorem is a mathematical was found in one of the earliest theorem.
The Pythagorean Theorem is the geometry of the Pearl; therefore it is full of charm. For thousands of years, people on the proof of it like a flock of ducks, including the famous mathematician, also have spare math enthusiasts; there are ordinary people, but also a distinguished political power, and even the country's president. Maybe because of the Pythagorean Theorem is important and simple, easier to attract people, repeatedly being demonstrated. 1940 published a book entitled "the Pythagorean proposition" the proof of Pythagorean Theorem album, some of which is very exciting, and some very simple, because some proof of identity of special and very famous.
Keywords: Pythagorean theorem; proof; geometry;
目录
绪论 (1)
1 勾股定理 (1)
1.1勾股定理的历史 (1)
1.2勾股定理的趣事 (2)
2勾股定理的证明 (4)
2.1传说中毕达哥拉斯的证法 (4)
2.2赵爽弦图的证法 (5)
2.3刘徽的证法 (5)
2.4美国第20任总统茄菲尔德的证法 (6)
2.5其他证法 (7)
2.5.1欧几里德证明方法 (7)
2.5.2梅文鼎证明 (8)
2.5.3利用相似三角形性质证明 (9)
3 勾股定理体现的数学思想 (9)
3.1数形结合的思想 (10)
3.2方程思想 (10)
3.3分类思想 (11)
3.4转化的思想 (12)
总结 (13)
参考文献 (14)
致谢 (15)
绪论
勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理.
对于勾股定理的由来，各国各民族都有不同的文字记载，但中华民族是最早发现勾股定理的民族之一.勾股定理是一坛千年佳酿，令人陶醉神往.它以其简洁,优美的形式，丰富深刻的内容，展现了自然界的和谐与唯美.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.
1 勾股定理
勾股定理: 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，古埃及人利用打结作直角三角形，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）.
定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222
+=；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a b c
1.1勾股定理的历史
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”.为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五”.商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为 5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”.由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作“商高定理”.
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了.
赵爽：东汉末至三国时代吴国人为《周髀算经》作注,并著有《勾股圆方图说》.赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截,割,拼,补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数,形数统一,代数和几何紧密结合,互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法,只是具体图形的分合移补略有不同而已.
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义.事实上,“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说:在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展的，十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这
种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续.中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子不可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地的数据呢?”商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦'就必定是5”.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的.
1.2 勾股定理的趣事
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500多种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？
只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味. 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法.
他是这样分析的，如图所示：
a
因为21()2
abcd S a b =+梯形 =221(2)2
a a
b b ++ abcd AED EBC CED S S S S =++梯形
=221111(2)2222
ab ba c ab c ++=+
所以比较以上两个式子可得222c a b =+
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法. 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一.例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率.据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的．至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线.正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了.1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成.这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献.邮票上的图案是对勾股定理的说明.希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里.
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理.
2002年的世界数学家大会在中国北京举行，这是21世纪数学家的第一次大聚会，这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案，可以说是充分表现了我国古代数学的成就，也充分弘扬了我国古代的数学文化，另外，我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权，这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定.
今天，世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图，它在国外被称为“唐图”（Tang ram ），意思是中国图（不是唐代发明的图）.七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》，其中有正方形切割术，并由之证明了勾股定理.而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形，即弦图，还不是七巧板.现在的七巧板是经过一段历史演变过程的.
甚至还有人提出过这样的建议：在地球上建造一个大型装置，以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命，最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形，可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上，因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理，所以用它来
做标志最容易被外来者所识别！
2勾股定理的证明
勾股定理是数学中有名的定理，它是几何学的基础知识，在《基础几何学》中对它进行了详细的介绍.目前勾股定理的证明方法已有很多种，基本上每种证明方法大都把几何知识与代数知识相结合，充分体现了数形结合思想的魅力，转化思想的巧妙.本文就讨论几种具有代表性的证明方法以及一些具有探究性的证明方法，窥视勾股定理的奥妙. 2.1 传说中毕达哥拉斯的证法
b a b b a a b a
a
b
c c c c c c b b
左边的正方形是由1个边长为a 的正方形和1个边长为b 的正方形以及4个直角边分别为a 、b ，斜边为c 的直角三角形拼成的.右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为a 、b ，斜边为c 的直角三角形拼成的.因为这两个正方形的面积相等(边长都是a b +)，所以可以列出等式
22114422
a b ab c ab ++⨯=+⨯， 化简得222a b c +=.
在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的
是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂，最直观的方式展现出来了勾股定理奥妙.
2.2 赵爽弦图的证法
c
b A D
H E G F
一般认为,中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家,是公元3世纪三国时的赵爽.赵爽为<周髀算经>作注,给出弦图和一名为“勾股圆方图说”的短文. 以a 、b 为直角边（b a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个
直角三角形的面积等于12
ab . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. 因为RT DAH ≌RT ABE
所以HDA EAB ∠=∠
因为90HAD HDA ∠=∠=
所以90EAB HAD ∠+∠=
因为EF FG GH HE b a ====-
所以2ABCD c c .是一个边长为的正方形，它的面积等于
因为90HEF ∠=
所以EFGH b a .―是一个边长为的正方形，它的面积等于
()2
2214c a b ab =-+⨯
222a b c .∴+= 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义.事实上，“数形统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续.”
2.3 刘徽的证法
c D a
b A
B
C
第一种方法：边长为c 的正方形可以看作是由4个直角边分别为a 、b ，斜边为c 的直角三角形围在外面形成的.因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式
2214()2
c ab a b +⨯=+ 化简得222a b c .+=
第二种方法：边长为c 的正方形可以看作是由4个直角边分别为a 、b ，斜边为c 的三角形拼接形成的，不过中间缺出一个边长为b a -的正方形“小洞”.因为边长为c 的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式 ：
221()42
c b a ab =-+⨯ 化简得： 222a b c .+=
这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲.
2.4 美国第20任总统茄菲尔德的证法
a
以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三
角形的面积等于12
ab . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使
A 、E 、
B 三点在一条直线上.
因为EAD CBE Rt Rt ≌
故有 ADE BEC ∠=∠
90AED ADE ∠+∠=
90AED BEC ∠+∠=
所以 180 90 90.DEC -∠==
即DEC ∆是一个等腰直角三角形，它的面积等于212C . 又因为 90, 90DAE EBC ∠=∠=
所以AD BC
所以 ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于21()2
a b + 则22111()2222
a b ab c +=⨯+ 所以 222a b c +=.
这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话.
2.5 其他证法
除了前面讨论的证明方法，下面讨论一下其他的一些证明方法，同样非常值得我们探究学习.
2.5.1 欧几里德证明方法
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明. 设△ABC 为一直角三角形，其中A 为直角.从A 点划一直线至对边，使其垂直于对边.延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等.
在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理： • 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等.（SAS 定理） • 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半. • 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积. • 任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积
做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结,BF CD . 过C 作CL DE ⊥，交AB 于点M ，交DE 于点L .
因为,AF AC AB AD ==
FAB GAD ∠=∠ 所以 FAB GAD ∆≅∆
因为 FAB ∆的面积等于21
2
a
GAD ∆的面积等于矩形ADLM 的面积的一半
所以矩形ADLM 的面积 等于2a 同理可证，矩形MLEB 的面积等于2b
因为正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 所以222b a c +=，即222a b c +=.
这种方法简单易懂，灵活运用了几何和代数方法的结合.
2.5.2 梅文鼎证明
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D E F 、、在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .
因为D E F 、、在一条直线上, 且Rt GEF Rt EBD ≅ 所以 EGF BED ∠=∠
因为 90EGF GEF ∠+∠=
90BED GEF ∠+∠= 所以 1809090BEG ∠=-= 又因为AB BE EG GA c ====
所以 ABEG 是一个边长为c 的正方形. 故有90ABC CBE ∠+∠= 因为Rt ABC Rt EBD ≅ 所以ABC EBD ∠=∠ 90EBD CBE ∠+∠= 即90CBD ∠=
又因为90,90BDE BCP ∠=∠= BC BD a ==
所以BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形.
设多边形GHCBE 的面积为S ，则
221
a b 22s ab +=+⨯
21
22
c s ab =+⨯
所以 222a b c +=
2.5.3 利用相似三角形性质证明
A
B
如图，在直角ABC ∆中，设直角边AC BC 、的长度分别为,a b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD AB ⊥，垂足是D .
ADC ACB ∆∆在和中，
因为 90ADC ACB ∠=∠= CAD BAC ∠=∠ 所以 ADC ACB ∆∆∽
::AD AC AC AB = 即 2AC AD AB =⨯
同理可证， CDB ACB ∆∆∽，从而有2BC BD AB =⨯ 所以222()AC BC AD DB AB AB +=+⨯=，即222a b c +=. 大家都知道勾股定理的证明方法实在是太多了，据目前估测就已有500多种，在这里本文就一些勾股定理的证明方法作一些浅谈，以显示勾股定理证明的博大精深和丰富的内涵，为什么这么多人会对勾股定理的证明作如此深入的探究，这个问题我希望能够引起大家对勾股定理的兴趣，为勾股定理的证明多做一些思考和探究.同时引起大家对数学的兴趣和对数学的探究，为数学研究做出自己的努力.
3 勾股定理体现的数学思想
掌握基本数学思想和方法能使数学更容易理解和记忆.本文阐述了勾股定理应用中所蕴含的四种数学思想，从而使复杂的问题简单化.在教学中，我们必须充分重视数学思维的培养，并注意各种思维方式的应用，通过具体的，解决数学问题的独立探索和专研，领会数学思维的规律和方法，提高数学思维的严密性、灵活性等思维品质，达到举一反三、概括迁移、融会贯通的效果.
勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题的简单化，抽象问题具体化勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常涉及到一些常用的数学思想.
3.1 数形结合的思想
数形结合思想即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题的简单化，抽象问题具体化.
例1 如图1，把矩形纸条ABCD 沿,EF GH 同时折叠， ,B C 两点恰好落在
AD 边的P 点处，若6,8,90===∠︒PH PF FPH ,则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）.
.20A .22B .24C .30D
解：由题意知
,PF BF GH HC ==
因为︒=∠90FPH
所以10FH =
所以810624BC BF FH HC PF FH PH =++=++=++= 选C .
3.2 方程思想
方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思想求解的题目随处可见.
图1
图2
A
例2.如图2，ABC Rt 中，O 为直角边BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与斜边AB 相切于点D ，与BC 交于另一点E .
（1）求证： AOC AOD ∆≅∆
（2）若1BE =，3BD =，求O 的半径及图中阴影部分的面积S .
解：第（1）问，与勾股定理无关，在这里不解答.在解答
（2）时可以直接利用（1）的有关结论.
（2） 设半径为r ，在Rt ODB ∆中，2223(1)r r +=+，解得4r =.由（1）有
AC AD =,所以2229(3)AC AC +=+
解得12AC =
所以1122S AC BC =
⨯-2211
129454822
r πππ=⨯⨯-⨯=-.
3.3 分类思想
数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏
地分别加以讨论，从而获得完整的问题的解答.数学里的许多问题，只有用分类讨论的思想才能保证解答完整准确，做到“不漏不重”.
例3、李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.
（1）如图3，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点
A 沿着正方体表面爬到点1C 处；
（2）如图4，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；
（3）如图5，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图6所示，且1120AOA ∠=，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A .
1
图6
图5
图4
图3
A
A
A
1
A A A 1
解：（ 1 ）555)55(22121=++=+=CC AC AC （ 2 ） ①2216)55(++=AC =136 ② 1465)56(221=++=AC 因为146﹥136
所以最短路程为342cm
（ 3 ）由已知得所求的最短的路程为341=AA .
3.4 转化的思想
原苏联数学家雅诺夫卡娅在回答“解题意味着什么？”时说“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题.”可以说，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，化归为一个比较熟悉、比较容易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的.可见，转化是解数学问题的一种重要方法.数学解题的过程实际就是转化的过程，换言之，解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程，通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，最终求得问题的解答. 例4.
π 将一块弧长为 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的 圆锥的高为 ( )
A B C D 解：解答本题的关键是要把空间图形的问题设法转化为平面图形的问题.圆
锥的母线长为弧长所在圆的半径，而弧长等于圆锥底面圆周长，在圆锥中构造
直角三角形，求得h ==
所以，选B .
在数学教学中，如果我们加强了数学基本思想方法的教学，并注重思维训练，可优化学生的思维，有助于学生能力的迁移，更能提高数学的教学质量. 数学思想方法已成为未来社会公民必须具备的数学素养中的核心内容.数学思想方法是随着学生对数学知识的学习、运用逐渐形成的.数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁.教师在平时教学中要让学生在学习中注意总结提炼，相互讨论，在解题的同时掌握有关的数学思想方法.
总结
勾股定理是中学数学中解决问题的基本定理之一，作为学学习数学的基础学习工具.本文共用三个章节来讨论勾股定理，第一章简单描述了勾股定理的历史背景，这样可以让同学更进一步地了解勾股定理，另外，提出了有关勾股定理的趣闻趣事，这样可以提高大家对勾股定理研究学习的兴趣.
第二章主要是浅谈了几种有关勾股定理的证明方法，以几种经典的证明方法为引子，浅谈了几种从不同角度思考来证明勾股定理的方法，可以让大家更深入地理解勾股定理的结构，对勾股定理的证明可以从不同角度去思考，启迪同学面对同一问题要从不同的角度来思考和看待问题.第三章主要用举例来叙述勾股定理所蕴含的几种思想及简单应用，学习了这些思想在解决数学中很多问题就迎刃而解.学好勾股定理对以后探究很多学术问题和实际生活中的问题都有很大帮助，所以学好勾股定理相当重要，对勾股定理证明方法的探究也有很高的价值.。