山西省祁县中学2016届高三数学5月月考试题 文

祁县中学高三年级月考数学试题（文）
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若i b i
i a -=-2013
)2(，其中R b a ∈,，i 是虚数单位，则22b a +等于（ ）
A ．0
B ．2
C ．
2
5
D ．5 2．已知13
0.5a -=，1
33()5
b -=， 2.5log 1.5
c =，则,,a b c 的大小关系（ ）
A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
3．已知命题p ：“∈∀x R ，01≥+x ”的否定是“∈∀x R ，01<+x ”； 命题q ：函数3
y x -=是幂函数，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ∨
C ．q ⌝
D ．()p q ∧⌝
4．若数列{}a n 满足a 112=
，a a n n =--111（n ≥2 ， ），则2013a 等于（ ） A ．－1 B ．2
1
C ．1
D ．2
5．已知平面向量()21,3, (2,)a m b m =+= ，且 a 与b 反向，则b 等于（ ）
A
B ．52
或 C ．5
2
D
． 6．阅读右面的程序框图，若输出的2
1
=y ，
则输入的x 的值可能为（ ）
A ．1-
B ．0
C ． 1
D ．5
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（
）
A ．8+ B.11+14+15
8.已知圆C 方程为()()2
2210x y r r -+=>，若p ：13r ≤≤；
1
11
2
正视图 侧视图
俯视图
q ：圆C 上至多有3
个点到直线+30x =的距离为1，则p 是q 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
9．已知函数()3
3f x x x =-，若ABC ∆中，角C 是钝角，那么（ ）
A ．()()sin cos f A f
B > B ．()()sin cos f A f B <
C ．()()sin sin f A f B >
D ．()()sin sin f A f B >（小于）
10．已知三棱锥ABC P -，在底面ABC ∆中，060A ∠=
，BC =，ABC PA 面⊥
，PA =，
则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．
163π
B. C.
323
π
D. 16π 11. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数
()y xf x '=的图象可能是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
12.已知函数()
2()e x f x x ax b =++，当1b <时，函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，则2
a b
a +-的取值范围是（ ）
A ．22,3⎛⎤- ⎥⎝⎦
B ．1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
C ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
D ．2,23⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13. 函数
()log (2)a f x x =-必过定点 。

14设等比数列{}n a 的公比为q ，若n S ，1-n S ，1+n S 成等差数列，则5
37
5a a a a ++等于
15.已知变量,x y 满足约束条件13,1,x y y z kx y x y +≥⎧⎪
≤=+⎨⎪-≤⎩
若的最大值为5，且k 为负整数，则k=____________.
16.已知()x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2,log 2
0,2116
x x x x f x
，
若()()12
-+-=a x af x f
y 的零点个数为7，则实数a 的取值范围
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为
()()(),,,2sin cos sin a b c f x x A x B C =-++()
x R ∈，函数
()
f x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称. （I ）当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，求()f x 的值域；
（II ）若7a =且sin sin B C +=，求△ABC 的面积.
18．（本小题满分12分）
十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平．为了解适龄岁的公务员，得到情况如下表：
(1)是否有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由；
(2)把以上频率当概率，若从社会上随机抽取甲、乙、丙3位30到40岁的男公务员，求这三人中至少有一人要生二胎的概率．
附：2
2
()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++
19．（本小题满分12分）
在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4==AB PA ，︒=∠120CDA ，点N 在线段PB 上，且2=PN ．
（Ⅰ）求证：//MN 平面PDC ；
（Ⅱ）求点C 到平面PBD 的距离.
20．（本小题满分12分）
已知函数2
()(21)ln f x x a x a x =-++（a R ∈）. (Ⅰ)若()f x 在区间[]2,1上是单调函数，求实数a 的取值范围；
(Ⅱ)函数()(1)g x a x =-，若0[1,]x e ∃∈使得00()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.
21. （本题满分12分） 如图，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A 、B ，已知点B 在直线l ：y
＝－1上，且椭圆的离心率e ＝
32
. (1)求椭圆的标准方程；
(2)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PQ ⊥y 轴， Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN .
选做题：考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AF 是圆E 切线,F 是切点, 割线ABC BM 是圆E 的直径，
EF 交AC 于D ，AC AB 3
1
=
，030=∠EBC ,2MC =. （1）求线段AF 的长；
（2）求证：ED AD 3=.
23.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线1C ：
4cos ,3sin ,x t y t =+⎧⎨
=-+⎩ （t 为参数）， 2C ：6cos ,
2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）. （Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为2
t π
=-
，Q 为2C 上的动点，求线段PQ 的中点M 到直线
3:cos sin 8C ρθθ=+ 距离的最小值.
24. （本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲 已知关于x 的不等式|2|1m x --≥，其解集为[0,4]. （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值.
祁县中学高三年级月考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
18.（本小题满分12分）
.解：（1）由于
2
2
()
()()()()
n ad bc
k
a b c d a c b d
-
=
++++
=
2
200(80404040)50
12080120809
⨯⨯-⨯
=
⨯⨯⨯
＜6.635，⋅ 4分
故没有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”．⋅ 6分
（2）题意可得，一名男公务员要生二胎的概率为
80
120
=
2
3
，
一名男公务员不生二胎的概率为
40120=1
3
， ⋅ 8分
记事件A:这三人中至少有一人要生二胎 则11126
()1()133327
P A P A =-=-⨯⨯=
⋅ 12分
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在正三角形ABC 中，BM =
在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，
所以CD AD =，︒=∠120CDA ，所以DM =
所以1:3:=MD BM .………………3分
在等腰直角三角形PAB 中，4,PA AB PB ===
所以1:3:=NP BN ，MD BM NP BN ::=， .………………5分 所以PD MN //.
又⊄MN 平面PDC ，⊂PD 平面PDC ，所以//MN 平面PDC …………6分
（2）方法一：BCD P PBD C V V --= .………………8分
93
3243442131=
⨯⨯⨯⨯=-BCD P V ………………10分 ∴35
8380283642421==-⨯⨯=∆PBD S
5
5
4=h .………………12分 方法二：C 到平面PBD 距离等于A 到PBD 距离，即A 到PM 距离d ， ∴5
5
424242
2=
+⨯=
d 20．（本小题满分12分） 解：⑴ x
a x x x f )
)(12()('--=
⋅
2分
当导函数)('
x f 的零点a x =落在区间(1,2)内时， 函数)(x f 在区间[]2,1上就不是单调函数，
所以实数a 的取值范围是：1,2a a ≤≥或； ⋅
6分
（也可以转化为恒成立问题。

酌情给分。

）
（还可以对方程(21)()0x x a --=的两根讨论，求得答案。

酌情给分） ⑵ 由题意知,不等式)()(x g x f ≥在区间],1[e 上有解， 即0)(ln 22
≥-+-x x a x x 在区间],1[e 上有解． ⋅7分
当],1[e x ∈时，ln 1x x ≤≤（不同时取等号），0ln <-∴x x ，
∴ x
x x
x a ln 22--≤
在区间],1[e 上有解． ⋅8分
H C
M B
E
D F
A
令 x x x x x h ln 2)(2--= ，则2
')ln ()
ln 22)(1()(x x x x x x h --+-= ⋅
9分
],1[e x ∈ x x ln 222≥>+∴ 0)('≥∴x h )(x h 单调递增，
],1[e x ∈∴时，1
)
2()()(max --=
=e e e e h x h ⋅11分 1)2(--≤∴e e e a 所以实数a 的取值范围是∝-(，]1
)
2(--e e e …………12分 （也可以构造函数2
()2(ln )F x x x a x x =-+-，分类讨论。

酌情给分）
21．（本小题满分12分）
解：(1)依题意，得b ＝1.
∵e ＝c a ＝
32
，a 2－c 2＝b 2＝1，∴a 2
＝4. ∴椭圆的标准方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)证明：设P (x 0，y 0)，x 0≠0，则Q (0，y 0)，且x 20
4＋y 2
0＝1.
∵M 为线段PQ 中点，∴M (x 0
2，y 0)．
又A (0,1)，∴直线AM 的方程为y ＝
y 0－
x 0x ＋1.
∵x 0≠0，∴y 0≠1，令y ＝－1，得C (x 0
1－y 0，－1)．
又B (0，－1)，N 为线段BC 的中点， ∴N (
x 0
－y 0
，－1)．
∴NM →＝(x 02－
x 0
－y 0
，y 0＋1)．∴OM →·NM →＝x 02(x 0
2
－
x 0
－y 0
)＋y 0·(y 0＋1)
＝x 204
－x 20
－y 0
＋y 20
＋y 0＝(x 20
4
＋y 2
)－
x 20
－y 0
＋y 0＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0，
∴OM ⊥MN .
选做题
22.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）因为BM 是圆E 直径
所以, 090=∠BCM ，又2MC =,030=∠EBC ， 所以32=BC ，…………………………………2分 又,31AC AB =
可知32
1
==BC AB ，
所以33=AC 根据切割线定理得： 93332
=⨯=⋅=AC AB AF ，
即3=AF … …………………………………5分
（Ⅱ）过E 作BC EH ⊥于H ，
则ADF EDH ∆∆～， 从而有AF
EH
AD ED =
，………………………………………8分 又由题意知，BC CH 32
1
==2=EB 所以1=EH ， 因此
3
1
=AD ED ，即ED AD 3= …………………………………10分 23.解:（Ⅰ）2
2
1:(4)(3)1,C x y -++=， 22
2:1364
x y C +=
1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆. ………………………………………3分 2C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆.
…………………………………………………………4分
（Ⅱ）当2
t π
=
时，(4,4)P -，………………………………………………………5分 设(6cos ,2sin )Q θθ 则(23cos ,2sin )M θθ+-+，
3C
为直线(80x -+=，……………………………………7分 M 到3C
的距离d
3)6
πθ+
从而当cos()1,6
π
θ+
=时，d 取得最小值3 ………………………………10分
24.解：（Ⅰ）不等式|2|1m x --≥可化为|2|1x m -≤-，
∴121m x m -≤-≤-，即31m x m -≤≤+, ……………………………2分
∵其解集为[0,4]，∴30
14m m -=⎧⎨+=⎩
，3m =. …………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）3a b +=，
∵ 2
2
2
()2a b a b ab +=++2
2
2
2
2
2
()()2()a b a b a b ≤+++=+， ∴ 2292a b +≥
，∴当且仅当32a b ==时，22a b +取最小值为9
2
.…………10分 （方法二：）∵ 2
2
2
2
2
2
()(11)(11)()9a b a b a b +⋅+≥⨯+⨯=+=，
∴ 2292a b +≥
，∴当且仅当32a b ==时，22a b +取最小值为9
2
.……………10分 （方法三：）∵3a b +=，∴3b a =-，
∴222222399(3)2692()222
a b a a a a a +=+-=-+=-+≥， ∴当且仅当32a b ==时，22a b +取最小值为9
2
.………………………10分。