考研数学(二)题库(高等数学)-第四章 向量代数和空间解析几何【圣才出品】

x2/2＋y2/2－z2/3＝0 中，x2，y2 系数相等，则旋转轴应是 z 轴。（若三项系数均不相等，
则应选 D 项）
10．方程 x2－y2－z2＝4 表示的旋转曲面是（ ）。 A．柱面 B．双叶双曲面 C．锥面 D．单叶双曲面 【答案】B 【解析】x2－y2－z2＝4 等价于 x2/4－（y2＋z2）/4＝1，故可将原方程表示的旋转曲 面看作是将 xOy 平面 x2/4－y2/4＝1 绕 x 轴旋转一周所得的双叶双曲面。
→
→
→
→
【解析】由a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}可知 λa＋μb＝{3λ＋2μ，5λ＋μ，－2λ＋4μ}，
→
→
→
→
又 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则（λa＋μb）·{0，0，1}＝0，即（－2λ＋4μ）×1＝0 得 λ＝2μ。
→→
→→
2．设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有（
→→
→
→
A．|a＋b|＝|a|＋|b|
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第四章 向量代数和空间解析几何
一、选择题
→
→
→
→
1．若向量a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}，且 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则 λ 与 μ 的关
系为（ ）。
A．λ＝μ
B．λ＝－μ
C．λ＝2μ
D．λ＝3μ
【答案】C
（－7）×（－1）＋3×（－1）＝0，所以直线与平面平行。
x 3y 2z 1 0 7．设有直线 L : 2x y 10z 3 0 及平面∏：4x－2y＋z－2＝0，则直线 L（ ）。
A．平行于∏
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B．在∏上
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→→→
→ →→
→→
3．设三向量a，b，c满足关系a＋b＋c＝0，则a×b＝（
）。
→→
A．c×b
→→
B．b×c
→→
C．a×c
→→
D．b×a
【答案】B
→ →→
→ →→
→
→→ →→
→→
→→ →→
【解析】a＋b＋c＝0⇒（a＋b＋c）×b＝0⇒a×b＋c×b＝0⇒a×b＝－c×b＝b×c。
→ → →→
→ → →→
→
→→
→
→→
【解析】由a·b＝a·c可知，a·b－a·c＝0，故a·（b－c）＝0，a⊥（b－c）。
→→→
→ → →→ →→→ → →
→
→
→
12．设a，b，c均为非零向量，且a＝b×c，b＝c×a，c＝a×b，则|a|＋|b|＋|c|＝（ ）。
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
6．直线 L：（x＋3）/（－2）＝（y＋4）/（－7）＝z/3 与平面∏：4x－2y－2z＝3
的关系是（ ）。
A．平行
B．直线 L 在平面∏上
C．垂直相交
D．相交但不垂直
【答案】A
→
【解析】平面∏：4x－2y－2z＝3 的法向量为n＝{2，－1，－1}，直线 L：（x＋3）/
→
→→
（－2）＝（y＋4）/（－7）＝z/3 的方向向量l ＝{－2，－7，3}，由于l ·n＝（－2）×2＋
0 0。 63
9．方程 x2/2＋y2/2－z2/3＝0 表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）。
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A．x 轴
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B．y 轴
C．z 轴
D．直线 x＝y＝z
【答案】C
【解析】由于选项中有三项均为坐标轴，可先考虑旋转轴是否为坐标轴，观察曲面方程
为（ ）。
A．0
B．π/3
C．π/4
D．π/2
【答案】A
【解析】设直线与平面的夹角为 φ 。直线（x－1）/1＝（y－2）/2＝（z＋1）/（－1）
→
→
的方向向量为 l ＝{1，2，－1}，平面 x－y－z＋1＝0 的法向量为n＝{1，－1，－1}，则
r l
gnr
1 2 1
sin r r l gn
→→→
r
【解析】由题意可知，a，b，c两两垂直，且 a
→→
→
r
→→
→→
4．已知向量a，b的模分别为|a|＝2， b 2 且a·b＝2，则|a×b|＝（
）。
A．2
B． 2
C． 2 2
D．1
【答案】A
【解析】
ar gbr ar
r b
cos
a·r ,
r b
2
2
cos

a·r ,
r b
2
⇒
a·r ,
r b
π 4
，则
ar
r b
ar
r b
sin
a·r ,
r b
→→
→
→
B．|a＋b|＝|a|－|b|
→→
→→
C．|a＋b|＝|a－b|
→→→→
D．a＋b＝a－b
）。
【答案】C
→→
→→
【解析】由向量与平面几何图形之间的关系可知，a⊥b时，以a，b为边的四边形为矩
→→
→→
→→
→→
形，且|a＋b|与|a－b|均是该矩形的对角线长，则必有|a＋b|＝|a－b|。
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→ →→
→ → →→
11．设三向量a，b，c满足关系a·b＝a·c，则（
→
→→
A．必有a＝0 或b＝c
→ →→
B．必有a＝b－c＝0
→
→→
C．当a≠0 时，必有b＝c
）。
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→
→→
D．必有a⊥（b－c）
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【答案】D
2
2g 2 2 。 2
x2y z 7
3x 6y 3z 8
5．直线 L1 : 2x
yz
7
与
L2
:
2x
yz
0
之间的关系是（
）。
A．L1∥L2
B．L1，L2 相交但不垂直
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C．L1⊥L2 且相交
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D．L1，L2 是异面直线
C．垂直于∏
D．与∏斜交
【答案】C
【解析】直线
L
:
x 3y 2z 2x y 10z
1 0 30
→
的方向向量为 l ＝{1，3，2}×{2，－1，－10}＝
→
→→
{－28，14，－7}，平面∏：4x－2y＋z－2＝0 的法向量为n＝{4，－2，1}，由于 l ∥n，故
有 L⊥∏。
8．直线（x－1）/1＝（y－2）/2＝（z＋1）/（－1）与平面 x－y－z＋1＝0 的夹角
【答案】A
【解析】直线
L1
:
x 2x
2y z 7 yz 7
→
的方向向量为 l 1＝{1，2，－1}×{－2，1，1}＝{3，
1，5}，直线
L2
:
3x 6
2x
y y
3z 8 z0
→
的方向向量为l 2＝{3，6，－3}×{2，－1，－1}＝{－9，
→→
－3，－15}，由于l 1∥ l 2，故 L1∥L2。