北师大版数学八年级下册1.4角平分线教学课件

FG=MN,四边形OMPG的面积与四边形OFPN的面积相等.那么点
P是否在∠AOB的平分线上?请说明理由.
例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC,
A
∠C=90°, AD是△ABC的角平分
E
线,DE⊥AB,垂足为E.
(2)求证:AB=AC+CD.
C
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
D
B
例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平
在一个角的内部, 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
4 角平分线第2课时三角形的内角平分线
2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°=∠ABE.
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等
例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
∴点F在∠DAE的平分线上.
在等腰直角三角形BDE中，
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
证法2:∵∠C=90°,∠A=30°,
∴BD= AB,∠BDE=90°.
∴
BE平分∠ABC.
∴BC=BD.
4.解作法:如图,(1)作∠AOB的平分线OM;
(2)连接CD;
(3)作CD的垂直平分线交OM于点P,则P点即
为所求.
1.4 角平分线第2课时三角形的内角平分线
三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平
分线，你发现了什么？
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
C
A
∴BD= AB,∠BDE=90°.
解：连接OC
S
S
S
S
1
1
1
AB OE BC ON AB OM
2
2
2
1
OM • ( AB BC OM )
2
1
4 32 64
2
O
D M
如图,点F,G是OA上的两点,点M,N是OB上的两点,且
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：
(1)∠ECD＝∠EDC；
(2)OC＝OD；
(3)OE是线段CD的垂直平分线．
证明：(1)∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，
ED⊥OB，
(3)∵ED＝EC，OD＝OC，
∴ED＝EC，
∴OE是线段CD的垂直平分线．
∴BC= AB∵DE垂直平分AB,
∴AD是∠BAC的平分线
∴ CD＝DE (角平分线的性质).
定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等
例3 如图,点F,G是OA上的两点,点M,N是OB上的两点,且FG=MN,四边形OMPG的面积与四边形OFPN的面积相等.
B
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
ABC
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
E
D
B
你能写出角平分线的性质
A
也叫平分线的判定定理
几何语言：
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分
别是D,E
∴点P在∠AOB的平分线上
D
P
O
E
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上
(或直线经过某一点)的根据之一.
B
例1 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60度，点D
在BC上，AD=10，且DE=DF,DE⊥AB,DF⊥AC,垂
1.4 角平分线第1课时
定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∴ ∠ODP= DP= ∠OEP,∠DOP＝ ∠EOP , OP=OP
∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(AAS)
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
A
用符号语言表示为：
C
D
∵∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
P
O
1
2
B
E
∴PD=PE.
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
例.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
E
(1)如果CD=4cm,AC的长;
（1）解：∵AD是△ABC的角平分 C
线,DE⊥AB,垂足为E，∴DE=CD=4cm.
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.
在等腰直角三角形BDE中，
BD 2DE 4 2 cm.
2
D
B
AC BC CD BD (4 4 2)cm.
例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
∴BC= AB∵DE垂直平分AB,
(2)如图,作∠BAC的角平分线,作∠BCA的角平分线,两角平分线交于一点P,P点是修建油库的位置.
A
D
O
P
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
E
∴ ∠ODP= ∠OEP=90°
B
在Rt△ODP和Rt △OEP中
DP= EP, OP＝ OP
∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL)
∴ ∠AOP= ∠BOP，点P在∠AOB的平分线上.
逆定理： 在一个角的内部, 到角的两边距离相等
的点在这个角的平分线上.
求证：求证角A的平分线过点P,且PD=PE=PF
证明：过点P作PD，PE，PF分
别垂直于AB，BC，CA，垂足
分别为D，E，F.
A
D
N
P
F
M
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
B
∴PD=PE.同理PE=PF.
C
E
∴PD=PE=PF.∴点P在角A的平分线上,即三条角平分线相交于一点
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(AAS)
∴PD=PE
A
D
C
P
B
E
角平分线的性质
DE= AD= x10=5
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
∴∠BAD=∠B=30°.
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.
∴OE是线段CD的垂直平分线．
∴∠ECD＝∠EDC.
(2)∵在Rt△ODE和Rt△OCE中，OE＝OE，ED＝EC
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL)，∴OC＝OD.
3．如图，O是△ABC内
一点，且O到△ABC三边
AB，BC，CA的距离OF＝
OD＝OE，若∠ABC＝
60°，∠ACB＝50°，
求∠BOC的度数．
解：∵O到三边AB，BC，CA的距离
P
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
内角的平分线交于一点,并且
解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点(A除外)都满足到AB,AC的距离相等,可以修建油库.
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
例2 如图,BD=CD,CE⊥AB,BF⊥AC.
求证:∠BAD=∠CAD.
分析:要证明点D在∠BAC的平分线上,只需证明点D到
∠BAC两边的距离相等,可以由△BDE≌△CDF得到.
证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∠ = ∠,
在△EBD 和△FCD 中, ∠ = ∠,
= ,
∴△EBD≌△FCD(AAS). ∴DE=DF.
定理的逆命题吗?
′
思
考
分
析
逆命题：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等
的点,在这个角的平分线上.
请你证明它是不是真命题?
逆命题：在一个角的内部,且到角的两边距离相等
的点,在这个角的平分线上. 角平分线的判定
已知:如图,PD=PE,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
习题1.9答案
1.解如图,结论:三角形的三个
内角的平分线交于一点,并且
这个点到三角形的三边的距离相等.
2.证明∵AD平分∠BAC且
DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
又BD=DC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴BE=CF.
3.证明证法1:∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°.
足分别是E,F.求DE的长.
A
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线
E
又∵2BAC=60°，
∴∠BAD= 30°.
B
在Rt△ADE中，∠AED=90°, AD= 10,
1
1
DE= AD= x10=5
2
2
D
F
C
例2 如图,BD=CD,CE⊥AB,BF⊥AC.
AOC
BOC
AOB
∴点F在∠DAE的平分线上.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如图，在四边形OACB中,CM⊥OA于点M,若∠1 =∠2,∠3+∠4= 180°
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E，∴DE=CD=4cm.
(2)如图,作∠BAC的角平分线,作∠BCA的角平分线,两角平分线交于一点P,P点是修建油库的位置.
∴OE＝OB.
又∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
∴OC平分∠ACD.
本课小结
角平分线的性质定理
到角的两边的距离相等的点在角
的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
角平分线的判定定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴点D在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,到角
的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
∴∠BAD=∠CAD.
练习．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝
90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.
求证：OC平分∠ACD.
证明：如图，过点O作OE⊥AC.
∵AO平分∠BAC，∠ABD＝90°，
分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,
若OM＝4,若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
如图,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,E,BE,CD相交于点O,连接AO.
这个点到三角形的三边的距离相等.
证明∵AD平分∠BAC且DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
∵DE垂直平分AB,∴EA=EB.
∴∠ABE=∠A=30°.
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°=∠ABE.
∴BE平分∠ABC.
又∵∠C=90°,BE=BE,
证法2:∵∠C=90°,∠A=30°,
1
∴
Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).
2
∴BC= AB
1 ∵DE垂直平分AB,
∴
∠DBE=∠CBE
2
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度
尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
求证:三条角平分线相交于一点,且这点三条边的距离相等
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点
P作三边的垂线，垂足分别是点D,E,F.
OF＝OD＝OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点．
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝25°，
∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB
＝180°－30°－25°＝125°.
4.如图，在四边形OACB
中,CM⊥OA于点M,若∠1
=∠2,∠3+∠4= 180°
求证:CA=CB.
P2
练习.如图, 直线
l1 、 l2 、 l3 表 示 三
条互相交叉的公路,
l1
现要建一个货物中
P1
转站, 要求它到三
条公路的距离相等,
可选择的地址有几
P4
P3
处? 画出它的位置.
l3
l2
例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC,
A
∠C=90°, AD是△ABC的角平分
线,DE⊥AB,垂足为E.